Funkcja kwadratowa - zastosowania

Klasa 1 liceum i technikum

Gdzie pojawia się funkcja kwadratowa?

Wszędzie tam, gdzie coś najpierw rośnie, a potem maleje (albo odwrotnie): wysokość rzuconej piłki, pole figury przy ustalonym obwodzie, przychód przy zmianie ceny. We wszystkich tych zadaniach pytanie brzmi podobnie: kiedy wielkość jest największa (najmniejsza) i ile wynosi? A odpowiedź zawsze kryje się w tym samym miejscu - w wierzchołku paraboli, o którym mówiliśmy w poprzedniej lekcji.

W tej lekcji wierzchołek będziemy znajdować z symetrii paraboli: leży on dokładnie w połowie między miejscami zerowymi. (Gotowe wzory na współrzędne wierzchołka poznasz w dziale o funkcji kwadratowej.)

Przykład 1 - rzut pionowy

Zadanie. Piłkę wyrzucono pionowo w górę. Jej wysokość (w metrach) po czasie $t$ (w sekundach) opisuje wzór $h(t) = -5t^2 + 20t$. Po jakim czasie piłka osiągnie najwyższy punkt, na jakiej wysokości się on znajduje i kiedy piłka spadnie na ziemię?

Krok 1. Szukamy miejsc zerowych funkcji $h$ - to momenty, w których piłka jest na wysokości 0:

$-5t^2 + 20t = 0 \quad\Longrightarrow\quad -5t(t - 4) = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = 0 \ \text{ lub } \ t = 4.$

Piłka startuje w chwili $t = 0$ i spada na ziemię po 4 sekundach.

Krok 2. Współczynnik przy $t^2$ jest ujemny ($a = -5$), więc parabola ma ramiona w dół - wierzchołek to punkt najwyższy. Z symetrii paraboli leży on w połowie między miejscami zerowymi:

$t_W = \frac{0 + 4}{2} = 2.$

Krok 3. Obliczamy wysokość maksymalną:

$h(2) = -5 \cdot 4 + 20 \cdot 2 = -20 + 40 = 20.$

Odpowiedź: Piłka wzniesie się najwyżej po 2 sekundach, na wysokość 20 m; na ziemię spadnie po 4 sekundach.

Przykład 2 - największe pole przy danym obwodzie

Zadanie. Mamy 40 m siatki na prostokątny wybieg. Jakie wymiary wybiegu dają największe pole?

Krok 1. Oznaczamy bok prostokąta: $x$ (w metrach). Skoro obwód to 40 m, suma dwóch sąsiednich boków wynosi 20 m, więc drugi bok ma długość $20 - x$. Pole jako funkcja $x$:

$P(x) = x(20 - x) = -x^2 + 20x, \qquad x \in (0, 20).$

Krok 2. To funkcja kwadratowa z $a = -1 < 0$ - ma maksimum w wierzchołku. Miejsca zerowe widać z postaci iloczynowej: $x = 0$ i $x = 20$, więc:

$x_W = \frac{0 + 20}{2} = 10.$

Krok 3. Drugi bok: $20 - 10 = 10$, a pole: $P(10) = 10 \cdot 10 = 100$.

Odpowiedź: Największe pole, $100\ \text{m}^2$, ma wybieg o wymiarach $10 \times 10$ m - czyli kwadrat. To ogólna prawidłowość: spośród prostokątów o danym obwodzie największe pole ma kwadrat.

Przykład 3 - optymalna cena biletu

Zadanie. Przy cenie biletu 20 zł na seans przychodzi 300 widzów. Oszacowano, że każda złotówka podwyżki odstrasza 10 widzów. Jaka cena biletu daje największy przychód?

Krok 1. Oznaczamy podwyżkę: $x$ (w złotych). Wtedy cena biletu to $20 + x$, liczba widzów to $300 - 10x$, a przychód:

$R(x) = (20 + x)(300 - 10x).$

Krok 2. To funkcja kwadratowa (po wymnożeniu: $R(x) = -10x^2 + 100x + 6000$, czyli $a = -10 < 0$ - jest maksimum). Miejsca zerowe odczytujemy z postaci iloczynowej: czynnik $20 + x$ zeruje się dla $x = -20$, a czynnik $300 - 10x$ dla $x = 30$. Stąd:

$x_W = \frac{-20 + 30}{2} = 5.$

Krok 3. Optymalna podwyżka to 5 zł, czyli cena $20 + 5 = 25$ zł. Widzów będzie $300 - 50 = 250$, a przychód:

$R(5) = 25 \cdot 250 = 6250.$

Odpowiedź: Największy przychód, 6250 zł, daje cena 25 zł. Zauważ, że podnoszenie ceny dalej zmniejsza przychód - to typowy wniosek z modelu kwadratowego.

Schemat rozwiązywania zadań optymalizacyjnych:

1. oznacz zmienną i zapisz badaną wielkość jako funkcję tej zmiennej;
2. upewnij się, że to funkcja kwadratowa, i sprawdź znak $a$ (maksimum czy minimum?);
3. znajdź odciętą wierzchołka (np. jako średnią miejsc zerowych);
4. oblicz wartość w wierzchołku i sprawdź, czy wynik mieści się w dziedzinie zadania (np. bok prostokąta musi być dodatni);
5. odpowiedz na pytanie z zadania.

Najczęstsze pytania

Jak znaleźć największą wartość funkcji kwadratowej bez wzorów na wierzchołek? Jeśli znasz miejsca zerowe $x_1$, $x_2$ (np. z postaci iloczynowej), to odcięta wierzchołka jest ich średnią: $x_W = \tfrac{x_1 + x_2}{2}$. Wstaw ją do wzoru funkcji - otrzymasz wartość ekstremalną.

Skąd wiadomo, czy w wierzchołku jest maksimum, czy minimum? Decyduje znak współczynnika $a$: dla $a < 0$ ramiona biegną w dół i wierzchołek jest punktem najwyższym (maksimum), dla $a > 0$ - najniższym (minimum).

Dlaczego w zadaniach trzeba sprawdzać dziedzinę? Bo model matematyczny obowiązuje tylko dla sensownych danych: czas i długość nie mogą być ujemne, liczba widzów nie może przekroczyć pojemności sali itp. Wynik spoza dziedziny zadania trzeba odrzucić.

Przećwicz

• Zastosowania praktyczne → - procent składany, rozpad, prędkość i skala pH.

Podsumowanie

• W zadaniach praktycznych funkcja kwadratowa modeluje wielkości, które rosną, a potem maleją (lub odwrotnie); ekstremum jest w wierzchołku paraboli.
• Odcięta wierzchołka = średnia miejsc zerowych: $x_W = \tfrac{x_1 + x_2}{2}$.
• Schemat: zapisz wielkość jako funkcję - sprawdź znak $a$ - znajdź wierzchołek - sprawdź dziedzinę - odpowiedz na pytanie.
• Typowe zastosowania: rzuty (wysokość maksymalna), optymalizacja pola, optymalizacja ceny i przychodu.