Własności wartości bezwzględnej

Klasa 2 liceum i technikum

Moduł iloczynu i ilorazu

To najużyteczniejsze własności - pozwalają „rozbić” moduł na czynniki:

$|a \cdot b| = |a| \cdot |b|, \qquad \left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}.$

Dlaczego tak jest. Iloczyn zmienia znak co najwyżej „raz na czynnik”, a moduł i tak każdy znak usuwa - więc obie strony opisują tę samą liczbę nieujemną. Sprawdźmy na liczbach:

$|(-3) \cdot 4| = |-12| = 12, \qquad |-3| \cdot |4| = 3 \cdot 4 = 12. \qquad \checkmark$

Zastosowanie. Wyrażenie $|2x - 6|$ można zapisać jako $2|x - 3|$ - bo $|2x-6| = |2(x-3)| = |2| \cdot |x-3|$. Ten zabieg upraszcza wiele równań.

Moduł a potęgowanie

$|a|^2 = a^2.$

Kwadrat i tak usuwa znak, więc moduł niczego nie zmienia. Ta równość jest podstawą jednej z metod rozwiązywania równań: skoro obie strony $|W_1| = |W_2|$ są nieujemne, wolno je podnieść do kwadratu i dostać $W_1^2 = W_2^2$.

Uwaga na kierunek: nie wolno pisać $\sqrt{a^2} = a$. Poprawnie jest

$\sqrt{a^2} = |a|,$

bo pierwiastek arytmetyczny jest nieujemny.

Nierówność trójkąta

$|a + b| \le |a| + |b|.$

Równość zachodzi wtedy, gdy $a$ i $b$ mają ten sam znak (albo któreś jest zerem) - wtedy „dodają się” bez znoszenia. Gdy znaki są przeciwne, po lewej stronie następuje częściowe zniesienie i wynik jest mniejszy.

Przykłady.

$|3 + 5| = 8 = |3| + |5| \quad \text{(ten sam znak - równość)},$

$|3 + (-5)| = |-2| = 2 < 8 = |3| + |-5| \quad \text{(przeciwne znaki - ostra nierówność)}.$

Nazwa bierze się z geometrii: to odpowiednik nierówności trójkąta, wedle której droga „na skróty” nie jest dłuższa niż przez punkt pośredni.

Czego robić NIE wolno

To najważniejsza część lekcji - poniższe „wzory” są fałszywe:

• $|a + b| \ne |a| + |b|$ w ogólności (kontrprzykład wyżej);
• $|a - b| \ne |a| - |b|$; dla $a = 2$, $b = 5$: $|2-5| = 3$, a $|2| - |5| = -3$ (a moduł nie bywa ujemny!);
• $\sqrt{a^2} \ne a$ dla $a < 0$;
• $|{-x}| \ne -|x|$ - to pierwsze jest zawsze nieujemne, a drugie zawsze niedodatnie.

Zasada kciuka. Moduł „przechodzi” przez mnożenie i dzielenie, ale nie przez dodawanie i odejmowanie. To ta sama zasada, co przy pierwiastkach.

Przykłady zastosowań

Przykład 1. Uprość $|3x| + |{-2x}|$ dla dowolnego $x$.

$|3x| = 3|x|, \qquad |-2x| = 2|x| \quad\Longrightarrow\quad |3x| + |-2x| = 5|x|.$

Przykład 2. Oblicz $|{-4}| \cdot |3 - 7|$.

$|-4| \cdot |3 - 7| = 4 \cdot |-4| = 4 \cdot 4 = 16.$

Przykład 3. Uprość $\sqrt{(x-5)^2}$.

$\sqrt{(x-5)^2} = |x - 5|.$

Nie $x - 5$, bo dla $x < 5$ ta różnica jest ujemna, a pierwiastek nie może dać wyniku ujemnego.

Najczęstsze pytania

Czy $|a - b| = |b - a|$? Tak - wyrażenia różnią się znakiem, a moduł go usuwa. To ta sama własność, dzięki której odległość nie zależy od kolejności liczb.

Kiedy w nierówności trójkąta zachodzi równość? Gdy oba składniki mają ten sam znak albo któryś jest zerem. Wtedy nic się nie znosi i moduły po prostu się dodają.

Czy z $|a| = |b|$ wynika $a = b$? Nie - wynika, że $a = b$ albo $a = -b$. Dlatego równania z modułami po obu stronach zawsze rozbijamy na dwa przypadki.

Czy wolno podnosić równanie z modułem do kwadratu? Tak, gdy obie strony są nieujemne (np. $|W_1| = |W_2|$) - korzystamy wtedy z $|a|^2 = a^2$. Przy nierównościach trzeba dodatkowo uważać, bo podnoszenie do kwadratu wymaga nieujemności obu stron.

Po co znać te własności, skoro można wszystko rozbić na przypadki? Bo skracają pracę. Zamiana $|2x-6|$ na $2|x-3|$ czy $\sqrt{(x-5)^2}$ na $|x-5|$ pozwala rozwiązać zadanie w kilka linijek zamiast w kilkanaście.

Przećwicz

• Podstawy modułu → - upraszczanie wyrażeń z modułem i korzystanie z jego własności.

Podsumowanie

• $|a| \ge 0$, $|-a| = |a|$, $|a| = 0$ tylko dla $a = 0$.
• Moduł przechodzi przez mnożenie i dzielenie: $|ab| = |a||b|$, $\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$.
• $|a|^2 = a^2$ oraz $\sqrt{a^2} = |a|$.
• Nierówność trójkąta: $|a+b| \le |a| + |b|$, z równością przy zgodnych znakach.
• Moduł nie przechodzi przez dodawanie i odejmowanie.