Pole przekroju graniastosłupa i ostrosłupa - zadania krok po kroku

Klasa 4 liceum i technikum

Pole przekroju wielościanu liczymy w trzech krokach: ustalamy, jakim wielokątem jest przekrój (konstrukcja z lekcji przekroje wielościanów - konstrukcje), znajdujemy długości jego boków i wysokości z trójkątów prostokątnych ukrytych w bryle, a na końcu stosujemy wzór na pole trójkąta, prostokąta albo trapezu. Kąt nachylenia płaszczyzny przekroju do podstawy to kąt dwuścienny - wyznacza się go w płaszczyźnie prostopadłej do krawędzi przecięcia.

Wszystkie zadania poniżej sprowadzają się do twierdzenia Pitagorasa, funkcji trygonometrycznych kąta ostrego i podobieństwa. Warto mieć pod ręką pola trójkątów i trygonometrię kąta ostrego.

Przekrój przekątny graniastosłupa

Przykład 1. Prostopadłościan ma wymiary $4 \times 3 \times 6$ (wysokość $6$). Oblicz pole przekroju przekątnego $ACC_1A_1$ i długość przekątnej tego przekroju.

Krok 1. Kształt. Krawędzie $AA_1$ i $CC_1$ są równoległe i prostopadłe do podstawy, więc przekrój jest prostokątem o bokach $|AC|$ i $|AA_1| = 6$.

Krok 2. Przekątna podstawy. $|AC| = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$.

Krok 3. Pole i przekątna.

$P = 5 \cdot 6 = 30, \qquad |AC_1| = \sqrt{5^2 + 6^2} = \sqrt{61}.$

Odpowiedź. Pole przekroju wynosi $30$, a jego przekątna - $\sqrt{61}$ (to zarazem przekątna prostopadłościanu).

Przekrój przez przekątną podstawy i wierzchołek

Przykład 2. Sześcian ma krawędź $4$. Oblicz pole przekroju płaszczyzną $ACB_1$ i kąt nachylenia tej płaszczyzny do płaszczyzny podstawy.

Krok 1. Kształt. Boki $AC$, $CB_1$ i $B_1A$ to przekątne trzech ścian sześcianu - mają równą długość $4\sqrt{2}$. Przekrój jest trójkątem równobocznym:

$P = \frac{\left(4\sqrt{2}\right)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{32\sqrt{3}}{4} = 8\sqrt{3}.$

Krok 2. Kąt liniowy. Płaszczyzna przekroju przecina podstawę wzdłuż $AC$. Niech $O$ będzie środkiem $AC$. W kwadracie $ABCD$ odcinek $OB$ jest prostopadły do $AC$, a w trójkącie równoramiennym $AB_1C$ odcinek $OB_1$ też jest prostopadły do $AC$. Kąt $\varphi = \angle BOB_1$ to więc kąt między płaszczyznami.

Krok 3. Tangens. W trójkącie prostokątnym $OBB_1$: $|OB| = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$, $|BB_1| = 4$:

$\operatorname{tg}\varphi = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \sqrt{2}, \qquad \varphi \approx 54{,}7^\circ.$

Odpowiedź. $P = 8\sqrt{3}$, $\operatorname{tg}\varphi = \sqrt{2}$ ($\varphi \approx 54{,}7^\circ$).

Pole przekroju z rzutu

Rzut prostokątny figury płaskiej na płaszczyznę nachyloną pod kątem $\varphi$ ma pole $P \cdot \cos\varphi$ (wymiar wzdłuż krawędzi przecięcia się nie zmienia, a wymiar prostopadły do niej skraca się $\cos\varphi$ razy). Odwrotnie:

$P = \frac{P_{\text{rzutu}}}{\cos\varphi}.$

Sprawdźmy na przykładzie 2: rzutem trójkąta $ACB_1$ na podstawę jest trójkąt $ACB$ o polu $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$, a $\cos\varphi = \frac{|OB|}{|OB_1|} = \frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Stąd $P = 8 \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ - ten sam wynik. Ta metoda jest szczególnie wygodna, gdy dany jest kąt nachylenia przekroju.

Przykład 3. Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $6$ i wysokość $3\sqrt{2}$. Oblicz kąt nachylenia płaszczyzny $ACB_1$ do podstawy i pole przekroju $ACB_1$.

Krok 1. Kąt. Jak w przykładzie 2: $|OB| = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$, więc

$\operatorname{tg}\varphi = \frac{|BB_1|}{|OB|} = \frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = 1, \qquad \varphi = 45^\circ.$

Krok 2. Wysokość przekroju. $|OB_1| = \sqrt{\left(3\sqrt{2}\right)^2 + \left(3\sqrt{2}\right)^2} = \sqrt{36} = 6$.

Krok 3. Pole. Przekrój to trójkąt równoramienny o podstawie $|AC| = 6\sqrt{2}$ i wysokości $6$:

$P = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot 6 = 18\sqrt{2}.$

Kontrola z rzutu: trójkąt $ABC$ ma pole $18$, a $\frac{18}{\cos 45^\circ} = 18\sqrt{2}$.

Odpowiedź. $\varphi = 45^\circ$, $P = 18\sqrt{2}$.

Przykład 4. Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma krawędź podstawy $6$. Płaszczyzna przechodząca przez krawędź podstawy $AB$ i wierzchołek $C_1$ jest nachylona do podstawy pod kątem $60^\circ$. Oblicz wysokość graniastosłupa i pole przekroju $ABC_1$.

Krok 1. Kąt liniowy. Niech $E$ będzie środkiem $AB$. W trójkącie równobocznym $ABC$ odcinek $CE$ (wysokość) jest prostopadły do $AB$, a w trójkącie równoramiennym $ABC_1$ - odcinek $C_1E$. Kąt $\angle CEC_1 = 60^\circ$.

Krok 2. Wysokość bryły. $|CE| = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$, więc

$H = |CE| \cdot \operatorname{tg} 60^\circ = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 9, \qquad |C_1E| = \frac{|CE|}{\cos 60^\circ} = 6\sqrt{3}.$

Krok 3. Pole przekroju.

$P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3}.$

Z rzutu: $\frac{P_{ABC}}{\cos 60^\circ} = \frac{9\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = 18\sqrt{3}$ - zgadza się.

Odpowiedź. $H = 9$, $P = 18\sqrt{3}$.

Przekrój przekątny ostrosłupa

Przykład 5. Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $6$ i krawędź boczną $3\sqrt{6}$. Oblicz pole przekroju przekątnego $ASC$.

Krok 1. Kształt. Płaszczyzna $ASC$ zawiera wysokość $SO$ ostrosłupa (spodek $O$ to środek $AC$). Przekrój to trójkąt równoramienny o podstawie $|AC|$ i wysokości $H = |SO|$.

Krok 2. Długości. $|AC| = 6\sqrt{2}$, $|AO| = 3\sqrt{2}$, a z trójkąta prostokątnego $AOS$:

$H = \sqrt{\left(3\sqrt{6}\right)^2 - \left(3\sqrt{2}\right)^2} = \sqrt{54 - 18} = 6.$

Krok 3. Pole.

$P = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot 6 = 18\sqrt{2}.$

Odpowiedź. $P = 18\sqrt{2}$.

Przekrój równoległy do podstawy

Płaszczyzna równoległa do podstawy odcina ostrosłup podobny do całego. Skala podobieństwa to stosunek wysokości: $k = \frac{H - x}{H}$, gdzie $x$ - odległość płaszczyzny od podstawy. Przekrój jest wielokątem podobnym do podstawy w skali $k$, więc ma pole $k^2 P_p$, a odcięty ostrosłup ma objętość $k^3 V$ (zobacz objętość brył podobnych).

Przykład 6. Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $12$ i wysokość $9$. Przecięto go płaszczyzną równoległą do podstawy w odległości $3$ od niej. Oblicz pole przekroju i stosunek objętości odciętego ostrosłupa do objętości całego.

Krok 1. Skala. Nad płaszczyzną zostaje ostrosłup o wysokości $9 - 3 = 6$, więc $k = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.

Krok 2. Przekrój. To kwadrat o boku $\frac{2}{3} \cdot 12 = 8$:

$P = 8^2 = 64 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot 144.$

Krok 3. Objętości. $V = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 9 = 432$, odcięty ostrosłup: $V_1 = \left(\frac{2}{3}\right)^3 \cdot 432 = \frac{8}{27} \cdot 432 = 128$.

Odpowiedź. Pole przekroju to $64$, a stosunek objętości $8 : 27$ (ostrosłup ścięty ma objętość $432 - 128 = 304$).

Uwaga na częsty błąd: skalę liczymy od wierzchołka, a nie od podstawy. Płaszczyzna w odległości $3$ od podstawy daje $k = \frac{2}{3}$, a nie $\frac{1}{3}$.

Przekrój czworościanu i kąt dwuścienny

Przykład 7. Czworościan foremny $ABCD$ ma krawędź $6$. Punkt $M$ jest środkiem krawędzi $CD$. Oblicz pole przekroju $ABM$ i cosinus kąta $AMB$.

Krok 1. Boki przekroju. $AM$ i $BM$ to wysokości trójkątów równobocznych $ACD$ i $BCD$:

$|AM| = |BM| = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}.$

Krok 2. Wysokość trójkąta $ABM$. Niech $E$ - środek $AB$. Trójkąt $ABM$ jest równoramienny, więc

$|EM| = \sqrt{\left(3\sqrt{3}\right)^2 - 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}, \qquad P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3\sqrt{2} = 9\sqrt{2}.$

Krok 3. Kąt z twierdzenia cosinusów.

$\cos\angle AMB = \frac{27 + 27 - 36}{2 \cdot 27} = \frac{18}{54} = \frac{1}{3}.$

Odcinki $AM$ i $BM$ są prostopadłe do $CD$, więc $\angle AMB$ to kąt dwuścienny czworościanu foremnego przy krawędzi $CD$: $\cos\varphi = \frac{1}{3}$, $\varphi \approx 70{,}5^\circ$ (zobacz kąt dwuścienny).

Odpowiedź. $P = 9\sqrt{2}$, $\cos\angle AMB = \frac{1}{3}$.

Schemat rozwiązywania zadań z przekrojami

1. Narysuj bryłę i przekrój - zaznacz punkty, przez które przechodzi płaszczyzna, i połącz te w jednej ścianie.
2. Rozpoznaj wielokąt - trójkąt, prostokąt, trapez; sprawdź, czy nie jest równoramienny lub równoboczny (to skraca rachunki).
3. Znajdź trójkąty prostokątne - wysokość bryły, przekątne ścian i podstawy, wysokości ścian.
4. Kąt nachylenia przekroju - poprowadź w obu płaszczyznach odcinki prostopadłe do wspólnej krawędzi z jednego punktu; kąt między nimi to kąt dwuścienny.
5. Sprawdź wynik drugą drogą - np. przez $P = \frac{P_{\text{rzutu}}}{\cos\varphi}$.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć pole przekroju graniastosłupa? Ustal kształt przekroju i policz jego boki z trójkątów prostokątnych w bryle. Przekrój przekątny graniastosłupa prostego to prostokąt o bokach: przekątna podstawy i wysokość, więc $P = d \cdot H$.

Jak obliczyć pole przekroju przekątnego ostrosłupa? W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym przekrój przekątny to trójkąt o podstawie $a\sqrt{2}$ i wysokości równej wysokości ostrosłupa: $P = \frac{1}{2} a\sqrt{2} \cdot H$.

Jak obliczyć kąt nachylenia płaszczyzny przekroju do podstawy? Znajdź krawędź, wzdłuż której przekrój przecina podstawę. Z jednego jej punktu poprowadź odcinki prostopadłe do tej krawędzi w podstawie i w przekroju - kąt między nimi to szukany kąt. Policz go z tangensa w trójkącie prostokątnym, którego przyprostokątną jest wysokość bryły.

Jaki jest przekrój ostrosłupa płaszczyzną równoległą do podstawy? Wielokąt podobny do podstawy w skali $k = \frac{H - x}{H}$, gdzie $x$ - odległość od podstawy. Jego pole to $k^2 P_p$.

Jak obliczyć pole przekroju sześcianu płaszczyzną przez przekątną podstawy i wierzchołek górnej podstawy? Przekrój $ACB_1$ to trójkąt równoboczny o boku $a\sqrt{2}$, więc $P = \frac{(a\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$. Dla $a = 4$ wychodzi $8\sqrt{3}$.

Jaki kąt tworzą ściany czworościanu foremnego? Kąt dwuścienny czworościanu foremnego ma cosinus $\frac{1}{3}$, czyli około $70{,}5^\circ$.

Przećwicz

• Przekroje wielościanów → - pole przekroju przekątnego, przekrój przez przekątną podstawy i wierzchołek, przekrój równoległy do podstawy.
• Kąt dwuścienny → - kąt nachylenia płaszczyzny przekroju i ściany bocznej do podstawy, kąt między ścianami.
• Objętość wielościanów → - objętość brył i ich części odciętych płaszczyzną.

Wszystkie typy w jednym miejscu: graniastosłupy i ostrosłupy - zadania z rozwiązaniami.

Podsumowanie

• Pole przekroju: rozpoznaj wielokąt, policz jego boki i wysokości z trójkątów prostokątnych w bryle.
• Przekrój przekątny prostopadłościanu: $P = \sqrt{a^2 + b^2} \cdot H$; ostrosłupa prawidłowego czworokątnego: $P = \frac{1}{2} a\sqrt{2} \cdot H$.
• Kąt nachylenia przekroju do podstawy to kąt między odcinkami prostopadłymi do wspólnej krawędzi.
• Pole przekroju to pole jego rzutu podzielone przez $\cos\varphi$.
• Przekrój równoległy do podstawy ostrosłupa jest podobny do podstawy w skali $k = \frac{H - x}{H}$ i ma pole $k^2 P_p$; odcięty ostrosłup ma objętość $k^3 V$.