Ekstrema lokalne funkcji - jak je wyznaczyć za pomocą pochodnej

Klasa 3 liceum i technikum

Funkcja $f$ ma w punkcie $x_0$ maksimum lokalne, jeśli istnieje otoczenie tego punktu zawarte w dziedzinie, w którym żadna wartość funkcji nie jest większa od $f(x_0)$; minimum lokalne - jeśli żadna nie jest mniejsza. Maksima i minima lokalne to razem ekstrema lokalne. Za pomocą pochodnej znajdujemy je tak: szukamy miejsc zerowych $f'$ i sprawdzamy, czy pochodna zmienia w nich znak.

To kolejna lekcja rozdziału elementy analizy matematycznej. W poprzedniej - pochodna a monotoniczność - z tabeli znaków pochodnej odczytywaliśmy, gdzie funkcja rośnie, a gdzie maleje. Ekstrema leżą dokładnie na granicach tych przedziałów: tam, gdzie wzrost przechodzi w spadek, albo odwrotnie.

Maksimum i minimum lokalne - co to znaczy

Słowo „lokalne” jest tu najważniejsze. Maksimum lokalne nie musi być największą wartością funkcji - wystarczy, że jest największe w pobliżu punktu $x_0$, czyli w jakimś (może bardzo małym) przedziale $(x_0 - \delta;\ x_0 + \delta)$.

Na rysunku funkcja $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3$ ma w $x = 0$ maksimum lokalne równe $3$: w pobliżu zera wszystkie wartości są mniejsze niż $3$. Ale już $f(3{,}2) \approx 5{,}05$, więc $3$ nie jest największą wartością funkcji - największej wartości ta funkcja w ogóle nie ma, bo dla dużych $x$ rośnie bez ograniczenia. Podobnie minimum lokalne $f(2) = -1$ nie jest wartością najmniejszą.

Zapis formalny (dla maksimum):

$\exists\, \delta > 0 \ \ \forall x \in (x_0 - \delta;\ x_0 + \delta) \colon \ f(x) \leq f(x_0)$

Dla minimum nierówność jest odwrócona: $f(x) \geq f(x_0)$. Mówimy, że funkcja osiąga maksimum lokalne w punkcie $x_0$, a liczba $f(x_0)$ to wartość tego maksimum. W odpowiedzi podajemy jedno i drugie: „maksimum lokalne w $x = 0$, równe $3$”.

W polskiej szkole otoczenie punktu musi być zawarte w dziedzinie. Dlatego w końcu dziedziny (np. w $x = 0$ dla $\sqrt{x}$) ekstremum lokalnego nie ma - nawet jeśli funkcja przyjmuje tam swoją najmniejszą wartość. Wartościami na końcach przedziałów zajmiemy się w następnej lekcji.

Warunek konieczny - pochodna równa zero

W punkcie maksimum lokalnego styczna do gładkiego wykresu jest pozioma: gdyby była nachylona w górę, na prawo od $x_0$ wartości byłyby większe, a gdyby w dół - na lewo. Mówi o tym twierdzenie Fermata o ekstremum:

Jeśli funkcja $f$ ma ekstremum lokalne w punkcie $x_0$ i jest w nim różniczkowalna, to $f'(x_0) = 0$.

Uzasadnienie dla maksimum: dla małych $h > 0$ mamy $f(x_0 + h) \leq f(x_0)$, więc iloraz różnicowy $\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ jest $\leq 0$, a jego granica (pochodna prawostronna) też jest $\leq 0$. Dla $h < 0$ licznik jest $\leq 0$, mianownik ujemny, więc iloraz jest $\geq 0$ i pochodna lewostronna jest $\geq 0$. Obie są równe $f'(x_0)$, zatem $f'(x_0) = 0$.

Punkty, w których $f'(x) = 0$, nazywamy punktami krytycznymi (albo stacjonarnymi). To kandydaci na ekstrema - i tylko kandydaci, bo twierdzenie działa w jedną stronę.

Kontrprzykład: funkcja x³

Dla $f(x) = x^3$ pochodna $f'(x) = 3x^2$ zeruje się w $x = 0$, a mimo to ekstremum nie ma: $f(x) < 0$ dla $x < 0$ i $f(x) > 0$ dla $x > 0$, więc w każdym otoczeniu zera są wartości i większe, i mniejsze od $f(0) = 0$. Pochodna jest dodatnia po obu stronach zera - funkcja rośnie „przez” punkt krytyczny, tylko na chwilę się spłaszcza.

Wniosek: samo $f'(x_0) = 0$ nie wystarcza. Trzeba sprawdzić, co pochodna robi wokół punktu $x_0$.

Warunek wystarczający - zmiana znaku pochodnej

Z poprzedniej lekcji wiemy, że znak pochodnej mówi, czy funkcja rośnie, czy maleje. Jeśli funkcja najpierw rośnie, a potem maleje, to w punkcie przejścia ma maksimum. Stąd:

Jeśli $f'(x_0) = 0$ i pochodna zmienia znak w punkcie $x_0$, to $f$ ma w $x_0$ ekstremum lokalne: maksimum przy zmianie z $+$ na $-$, minimum przy zmianie z $-$ na $+$.

Twierdzenie działa także w punkcie, w którym pochodna nie istnieje, o ile funkcja jest w nim ciągła - liczy się zmiana znaku $f'$ wokół punktu.

W praktyce znaku nie trzeba sprawdzać w każdym punkcie: wystarczy rozłożyć pochodną na czynniki. Przy pierwiastku jednokrotnym (czynnik $(x - x_0)$ w pierwszej potędze) pochodna zmienia znak, przy pierwiastku podwójnym ($(x - x_0)^2$) - nie zmienia. Ogólnie: zmiana znaku następuje przy pierwiastkach krotności nieparzystej.

Ekstremum bez pochodnej

Twierdzenie Fermata zakłada, że pochodna w $x_0$ istnieje. Gdy jej nie ma, ekstremum nadal może być. Najprostszy przykład to $f(x) = |x|$: $f(0) = 0$, a wszystkie inne wartości są dodatnie, więc w zerze jest minimum - choć wykres ma tam ostry „dziubek” i pochodnej brak (z lewej nachylenie $-1$, z prawej $+1$).

Bogatszy przykład to $f(x) = |x^2 - 4|$. W punktach $x = -2$ i $x = 2$ wartość jest równa $0$, a wszędzie indziej - dodatnia, więc są tam minima lokalne, chociaż pochodna nie istnieje (pochodne jednostronne w $x = 2$ to $-4$ i $4$). Między nimi, dla $-2 < x < 2$, funkcja ma wzór $4 - x^2$, a jego pochodna $-2x$ zmienia znak z $+$ na $-$ w zerze: maksimum lokalne $f(0) = 4$.

Dlatego pełna lista kandydatów na ekstrema to: punkty, w których $f'(x) = 0$, oraz punkty dziedziny, w których pochodna nie istnieje. W zadaniach z wielomianami i funkcjami wymiernymi pochodna istnieje w całej dziedzinie, więc zostają same miejsca zerowe $f'$.

Jak wyznaczyć ekstrema funkcji - schemat

1. Dziedzina funkcji (przy funkcji wymiernej - wyłączone miejsca zerowe mianownika).
2. Pochodna $f'(x)$ - uproszczona i rozłożona na czynniki.
3. Punkty krytyczne: rozwiązujemy $f'(x) = 0$ i zostawiamy tylko rozwiązania z dziedziny.
4. Znak pochodnej wokół każdego punktu krytycznego - najlepiej w tabeli razem z punktami wyłączonymi z dziedziny.
5. Wnioski: zmiana $+ \to -$ to maksimum, $- \to +$ to minimum, brak zmiany - brak ekstremum.
6. Wartości ekstremów: $f(x_0)$ liczymy z wzoru funkcji, nie pochodnej.

Przykład 1. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji $f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x + 3$.

Krok 1. Dziedzina: $\mathbb{R}$ (wielomian).

Krok 2. Pochodna:

$f'(x) = -3x^2 + 12x - 9 = -3(x^2 - 4x + 3) = -3(x - 1)(x - 3)$

Krok 3. $f'(x) = 0$ dla $x = 1$ lub $x = 3$.

Krok 4. Pochodna to parabola o ramionach skierowanych w dół, więc jest ujemna na zewnątrz przedziału $(1;\ 3)$ i dodatnia w jego środku. Kontrola: $f'(0) = -9 < 0$, $f'(2) = 3 > 0$, $f'(4) = -9 < 0$.

Krok 5. W $x = 1$ znak zmienia się z $-$ na $+$ (minimum), w $x = 3$ z $+$ na $-$ (maksimum).

Krok 6. $f(1) = -1 + 6 - 9 + 3 = -1$, $\ f(3) = -27 + 54 - 27 + 3 = 3$.

Odpowiedź. Minimum lokalne w $x = 1$ równe $-1$, maksimum lokalne w $x = 3$ równe $3$.

Przykład 2. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji $f(x) = x^4 - 4x^3 + 10$.

Krok 1. Dziedzina: $\mathbb{R}$.

Krok 2. $f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3)$.

Krok 3. $f'(x) = 0$ dla $x = 0$ (pierwiastek podwójny) lub $x = 3$.

Krok 4. Czynnik $4x^2$ jest nieujemny, więc znak pochodnej to znak $(x - 3)$ - z wyjątkiem samego zera, gdzie pochodna jest równa $0$. Kontrola: $f'(-1) = -16$, $f'(1) = -8$, $f'(4) = 64$.

Krok 5. W zerze pochodna się zeruje, ale znaku nie zmienia - tak jak dla $x^3$, funkcja tylko na chwilę ma poziomą styczną. W $x = 3$ znak zmienia się z $-$ na $+$.

Krok 6. $f(3) = 81 - 108 + 10 = -17$.

Odpowiedź. Funkcja ma jedno ekstremum: minimum lokalne w $x = 3$ równe $-17$.

Przykład 3. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$.

Krok 1. Mianownik $x^2 + 1$ jest zawsze dodatni, więc $D_f = \mathbb{R}$.

Krok 2. Pochodna ilorazu:

$f'(x) = \frac{2(x^2 + 1) - 2x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-2(x - 1)(x + 1)}{(x^2 + 1)^2}$

Krok 3. Ułamek zeruje się, gdy zeruje się licznik: $x = -1$ lub $x = 1$.

Krok 4. Mianownik jest dodatni, więc znak $f'$ to znak licznika $2 - 2x^2$: ujemny dla $|x| > 1$, dodatni dla $|x| < 1$. Kontrola: $f'(-2) = -\frac{6}{25}$, $f'(0) = 2$, $f'(2) = -\frac{6}{25}$.

Krok 5 i 6. Minimum w $x = -1$: $f(-1) = \frac{-2}{2} = -1$. Maksimum w $x = 1$: $f(1) = \frac{2}{2} = 1$.

Odpowiedź. Minimum lokalne $f(-1) = -1$, maksimum lokalne $f(1) = 1$.

Przy funkcji wymiernej z miejscami zerowymi mianownika te punkty też wpisujemy do tabeli (z adnotacją „poza dziedziną”), bo pochodna może zmienić znak po drugiej stronie „dziury” w dziedzinie. Taki przypadek pokazuje zadanie o ekstremach funkcji wymiernej - tam minimum lokalne wychodzi większe od maksimum lokalnego.

Ekstremum w danym punkcie - zadania z parametrem

Częsty typ zadania: „dla jakiej wartości parametru funkcja ma ekstremum w punkcie $x_0$?”. Warunek konieczny daje równanie $f'(x_0) = 0$, z którego wyliczamy parametr. Potem trzeba sprawdzić warunek wystarczający - bez tego rozwiązanie jest niepełne, a czasem błędne.

Przykład 4. Dla jakiej wartości $a$ funkcja $f(x) = x^3 + ax^2 - 9x + 1$ ma ekstremum lokalne w punkcie $x = -3$? Jakie to ekstremum?

Krok 1. Warunek konieczny. $f'(x) = 3x^2 + 2ax - 9$, więc

$f'(-3) = 27 - 6a - 9 = 18 - 6a = 0 \iff a = 3$

Krok 2. Warunek wystarczający. Dla $a = 3$:

$f'(x) = 3x^2 + 6x - 9 = 3(x + 3)(x - 1)$

Pierwiastek $-3$ jest jednokrotny, a parabola $f'$ ma ramiona w górę: na lewo od $-3$ pochodna jest dodatnia, na prawo (aż do $1$) ujemna. Zmiana $+ \to -$ oznacza maksimum.

Krok 3. Wartość. $f(-3) = -27 + 27 + 27 + 1 = 28$.

Odpowiedź. $a = 3$; wtedy w $x = -3$ jest maksimum lokalne równe $28$ (a przy okazji w $x = 1$ minimum lokalne $f(1) = -4$).

Przykład 5 (pułapka). Dla jakiej wartości $a$ funkcja $f(x) = x^3 - ax^2 + 12x$ ma ekstremum lokalne w punkcie $x = 2$?

Krok 1. $f'(x) = 3x^2 - 2ax + 12$, a $f'(2) = 12 - 4a + 12 = 24 - 4a = 0$ daje $a = 6$.

Krok 2. Dla $a = 6$: $f'(x) = 3x^2 - 12x + 12 = 3(x - 2)^2 \geq 0$. Pochodna nie zmienia znaku w $x = 2$ - funkcja jest rosnąca w całym $\mathbb{R}$.

Odpowiedź. Takiej wartości $a$ nie ma. Jedyny kandydat $a = 6$ odpada w warunku wystarczającym - kto poprzestał na $f'(2) = 0$, podałby błędną odpowiedź $a = 6$.

Ekstremum lokalne a wartość największa

Ekstremum lokalne opisuje zachowanie funkcji w pobliżu punktu, a wartość największa i najmniejsza - na całym zbiorze. To dwa różne pojęcia:

Wielomian trzeciego stopnia nigdy nie ma wartości największej ani najmniejszej w $\mathbb{R}$ - dąży do $+\infty$ z jednej strony i do $-\infty$ z drugiej. Natomiast w przedziale domkniętym największa i najmniejsza wartość istnieją zawsze i mogą leżeć na końcach przedziału, a nie w ekstremach. Jak je znaleźć, pokazuje następna lekcja: największa i najmniejsza wartość funkcji.

Typowe błędy

• Uznanie każdego miejsca zerowego pochodnej za ekstremum. $f'(x_0) = 0$ to tylko warunek konieczny. Przy pierwiastku podwójnym pochodnej (jak $x = 0$ dla $x^4 - 4x^3 + 10$) ekstremum nie ma.
• Wartość ekstremum liczona z pochodnej. $f'(x_0)$ jest zawsze równe $0$; wartością ekstremum jest $f(x_0)$.
• Zła kolejność znaków. Zmiana $+ \to -$ to maksimum (funkcja najpierw rośnie), $- \to +$ to minimum. Pomaga szkic: ↗↘ to „górka”, ↘↗ to „dołek”.
• Pominięcie dziedziny. Rozwiązanie $f'(x) = 0$ spoza dziedziny nie jest punktem krytycznym, a punkt wyłączony z dziedziny nie jest ekstremum, nawet jeśli pochodna zmienia wokół niego znak.
• Parametr bez sprawdzenia. Z równania $f'(x_0) = 0$ dostajemy tylko kandydata - trzeba jeszcze sprawdzić zmianę znaku (przykład 5).
• Mylenie maksimum lokalnego z wartością największą. Funkcja może mieć maksimum lokalne, a wartości największej nie mieć wcale.

Najczęstsze pytania

Jak wyznaczyć ekstrema funkcji? Oblicz pochodną, rozwiąż równanie $f'(x) = 0$ i zbadaj znak pochodnej wokół każdego rozwiązania. Zmiana znaku z plusa na minus oznacza maksimum lokalne, z minusa na plus - minimum. Wartość ekstremum to $f(x_0)$ obliczone ze wzoru funkcji.

Co to jest ekstremum lokalne funkcji? To wspólna nazwa maksimum i minimum lokalnego. Funkcja ma maksimum lokalne w $x_0$, gdy w pewnym otoczeniu tego punktu żadna wartość nie przekracza $f(x_0)$, a minimum - gdy żadna nie jest mniejsza od $f(x_0)$.

Czy jeśli pochodna jest równa zero, to funkcja ma ekstremum? Nie zawsze. $f'(x_0) = 0$ to warunek konieczny, ale nie wystarczający: funkcja $f(x) = x^3$ ma $f'(0) = 0$, a ekstremum w zerze nie ma, bo pochodna nie zmienia znaku. Ekstremum jest dopiero wtedy, gdy pochodna zmienia znak.

Jaki jest warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum? Warunek konieczny: jeśli funkcja różniczkowalna ma ekstremum w $x_0$, to $f'(x_0) = 0$. Warunek wystarczający: jeśli pochodna zmienia znak w $x_0$, to funkcja ma tam ekstremum - maksimum przy zmianie z $+$ na $-$, minimum przy zmianie z $-$ na $+$.

Jak sprawdzić, czy to maksimum, czy minimum? Sprawdź znak pochodnej tuż przed punktem i tuż za nim (np. podstawiając wygodne liczby albo odczytując znak z rozkładu na czynniki). Jeśli funkcja najpierw rośnie, a potem maleje, jest maksimum; jeśli najpierw maleje, a potem rośnie - minimum.

Czy funkcja może mieć ekstremum, gdy nie ma pochodnej? Tak. Funkcja $f(x) = |x|$ ma minimum w zerze, choć pochodna tam nie istnieje. Dlatego kandydatami na ekstrema są nie tylko miejsca zerowe pochodnej, ale też punkty dziedziny, w których pochodna nie istnieje.

Czym się różni maksimum lokalne od wartości największej? Maksimum lokalne jest największe tylko w pobliżu punktu, a wartość największa - w całym rozważanym zbiorze. Funkcja $x^3 - 3x^2 + 3$ ma maksimum lokalne równe $3$, ale już $f(4) = 19$, więc $3$ nie jest jej wartością największą.

Ile ekstremów może mieć wielomian trzeciego stopnia? Dwa albo żadnego. Pochodna jest funkcją kwadratową: przy $\Delta > 0$ ma dwa pierwiastki jednokrotne (maksimum i minimum), a przy $\Delta \leq 0$ nie zmienia znaku i ekstremów nie ma.

Przećwicz

• Monotoniczność i ekstrema - zadania → - 12 zadań: przedziały monotoniczności i ekstrema wielomianów i funkcji wymiernych, pułapka $f'(x_0) = 0$ bez ekstremum, współczynniki $a$ i $b$ z danego ekstremum, liczba ekstremów zależna od parametru i ekstrema funkcji z pierwiastkiem.
• Cały zestaw: granica i pochodna funkcji - zadania →

Podsumowanie

• Maksimum (minimum) lokalne w $x_0$: w pewnym otoczeniu $x_0$ żadna wartość nie jest większa (mniejsza) od $f(x_0)$.
• Warunek konieczny: $f'(x_0) = 0$ (dla funkcji różniczkowalnej w $x_0$) - wyznacza kandydatów.
• Warunek wystarczający: zmiana znaku pochodnej; $+ \to -$ to maksimum, $- \to +$ to minimum.
• Pierwiastek podwójny pochodnej nie daje zmiany znaku, więc nie daje ekstremum ($x^3$ w zerze).
• Ekstremum może leżeć w punkcie bez pochodnej ($|x|$ w zerze).
• Wartość ekstremum to $f(x_0)$; przy parametrze zawsze sprawdzamy warunek wystarczający.
• Ekstremum lokalne to nie to samo co wartość największa lub najmniejsza.

Zobacz też

• Pochodna a monotoniczność - poprzednia lekcja: tabela znaków pochodnej i przedziały monotoniczności.
• Największa i najmniejsza wartość funkcji - następna lekcja: wartości skrajne w przedziale domkniętym.
• Twierdzenie Fermata o ekstremum - pełny dowód warunku koniecznego i jego historia.
• Pochodna funkcji - definicja, wzory i zastosowania - zwięzłe zestawienie: styczna, monotoniczność, ekstrema i optymalizacja na jednej stronie.
• Monotoniczność funkcji - definicja funkcji rosnącej i malejącej bez pochodnej.