Okrąg opisany na czworokącie - kiedy można go opisać

Klasa 3 liceum i technikum

Okrąg opisany na czworokącie to okrąg, który przechodzi przez wszystkie cztery wierzchołki czworokąta; o samym czworokącie mówimy wtedy, że jest wpisany w okrąg. Taki okrąg istnieje tylko dla niektórych czworokątów: dokładnie dla tych, w których kąty przeciwległe sumują się do $180^\circ$. Z równoległoboków warunek spełnia tylko prostokąt, a z trapezów - tylko trapez równoramienny.

Dlaczego nie każdy czworokąt

Przez trzy punkty niewspółliniowe przechodzi dokładnie jeden okrąg - dlatego każdy trójkąt ma okrąg opisany. W czworokącie okrąg przez wierzchołki $A$, $B$, $D$ jest już wyznaczony, a czwarty wierzchołek $C$ może na nim leżeć, ale nie musi. Środek okręgu opisanego musiałby być jednakowo oddalony od wszystkich wierzchołków, czyli leżeć na symetralnych wszystkich czterech boków - a cztery symetralne zwykle nie przecinają się w jednym punkcie.

Potrzebny jest więc warunek, który da się sprawdzić bez rysowania. Dają go kąty.

Warunek opisania okręgu - twierdzenie i dowód

Twierdzenie. Czworokąt wypukły $ABCD$ można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy $\alpha + \gamma = 180^\circ$ (wtedy także $\beta + \delta = 180^\circ$).

Dowód (czworokąt wpisany ⇒ suma kątów 180°). Niech $ABCD$ będzie wpisany w okrąg o środku $O$.

1. Kąt $\alpha = \angle DAB$ jest kątem wpisanym opartym na łuku $BCD$ (tym, na którym nie leży $A$). Z twierdzenia o kącie wpisanym odpowiadający mu kąt środkowy ma miarę $2\alpha$.
2. Kąt $\gamma = \angle BCD$ jest oparty na łuku $BAD$ - kąt środkowy ma miarę $2\gamma$.
3. Łuki $BCD$ i $BAD$ razem tworzą cały okrąg, więc oba kąty środkowe tworzą kąt pełny: $2\alpha + 2\gamma = 360^\circ$, czyli $\alpha + \gamma = 180^\circ$.
4. Suma wszystkich kątów czworokąta to $360^\circ$, więc także $\beta + \delta = 180^\circ$. $\blacksquare$

Dowód (suma kątów 180° ⇒ czworokąt wpisany). Załóżmy, że $\alpha + \gamma = 180^\circ$, i weźmy okrąg $o$ przechodzący przez $A$, $B$, $D$. Przypuśćmy, że $C$ na nim nie leży.

1. Półprosta $DC$ przecina okrąg $o$ w drugim punkcie $C'$, różnym od $C$ (leży on na łuku $BD$ niezawierającym $A$).
2. Czworokąt $ABC'D$ jest wpisany w $o$, więc z pierwszej części $|\angle BC'D| = 180^\circ - \alpha = \gamma$.
3. Punkty $C$ i $C'$ leżą na jednej półprostej wychodzącej z $D$. W trójkącie $BCC'$ jeden z kątów $BCD$, $BC'D$ jest kątem zewnętrznym, a drugi - kątem wewnętrznym do niego nieprzyległym. Kąt zewnętrzny trójkąta jest większy od każdego niesąsiedniego kąta wewnętrznego, więc $|\angle BCD| \neq |\angle BC'D|$ - sprzeczność z punktem 2.

Zatem $C$ leży na okręgu $o$. $\blacksquare$

Które czworokąty można wpisać w okrąg

• Prostokąt (więc i kwadrat) - zawsze: $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Środek okręgu leży w punkcie przecięcia przekątnych, a promień to połowa przekątnej.
• Równoległobok - tylko wtedy, gdy jest prostokątem. W równoległoboku $\alpha = \gamma$, więc warunek $\alpha + \gamma = 180^\circ$ daje $\alpha = 90^\circ$.
• Romb - tylko kwadrat (romb, który jest prostokątem).
• Trapez - tylko równoramienny. Kąty przy ramieniu dają $\alpha + \delta = 180^\circ$, a warunek okręgu $\alpha + \gamma = 180^\circ$, czyli $\gamma = \delta$: kąty przy podstawie są równe. Pełny dowód jest w lekcji dowody z czworokątami.
• Deltoid - tylko wtedy, gdy kąty między nierównymi bokami są proste. W deltoidzie $\beta = \delta$, a $\beta + \delta = 180^\circ$ daje $\beta = \delta = 90^\circ$.

Przykład 1. Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg, $\alpha = 70^\circ$ i $\beta = 95^\circ$. Oblicz pozostałe kąty.

$\gamma = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ, \qquad \delta = 180^\circ - 95^\circ = 85^\circ.$

Sprawdzenie: $70^\circ + 95^\circ + 110^\circ + 85^\circ = 360^\circ$.

Odpowiedź. $\gamma = 110^\circ$, $\delta = 85^\circ$.

Jak obliczyć promień okręgu opisanego

Okrąg opisany na czworokącie jest jednocześnie okręgiem opisanym na każdym trójkącie z trzech jego wierzchołków. Promień liczymy więc jak dla trójkąta - najwygodniej z twierdzenia sinusów w trójkącie $ABD$:

$\frac{|BD|}{\sin\alpha} = 2R \qquad\Longrightarrow\qquad R = \frac{|BD|}{2\sin\alpha}.$

Przykład 2 - prostokąt. Oblicz promień okręgu opisanego na prostokącie o bokach $5$ i $12$.

Przekątna prostokąta jest średnicą okręgu (kąt prosty jest oparty na średnicy):

$d = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13, \qquad R = \frac{13}{2} = 6{,}5.$

Odpowiedź. $R = 6{,}5$.

Trapez równoramienny wpisany w okrąg

Środek okręgu opisanego na trapezie równoramiennym leży na jego osi symetrii - bo ta oś jest symetralną obu podstaw. Może leżeć wewnątrz trapezu, na dłuższej podstawie albo poza trapezem; to zależy od kształtu. Wygodnie liczyć go we współrzędnych.

Przykład 3. Trapez równoramienny ma podstawy $8$ i $6$ oraz wysokość $7$. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trapezie.

Krok 1. Oznaczenia. Niech $O$ leży na osi symetrii w odległości $y$ od dłuższej podstawy $AB$ (a więc $7 - y$ od krótszej). Połowy podstaw mają długości $4$ i $3$.

Krok 2. Równanie $|OA| = |OD|$ z twierdzenia Pitagorasa:

$4^2 + y^2 = 3^2 + (7 - y)^2 \quad\Longrightarrow\quad 16 + y^2 = 9 + 49 - 14y + y^2 \quad\Longrightarrow\quad 14y = 42, \quad y = 3.$

Krok 3. Promień. $R = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5$.

Sprawdzenie: $|OD| = \sqrt{3^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{25} = 5$. Wynik $y = 3 > 0$ oznacza, że środek leży wewnątrz trapezu. Ujemne $y$ znaczyłoby, że leży pod dłuższą podstawą, czyli poza trapezem.

Odpowiedź. $R = 5$.

Twierdzenie Ptolemeusza - ciekawostka

Czworokąt wpisany ma też piękną własność długości: iloczyn przekątnych jest równy sumie iloczynów boków przeciwległych,

$|AC| \cdot |BD| = |AB| \cdot |CD| + |BC| \cdot |DA|.$

Dla prostokąta $5 \times 12$ z przykładu 2: $13 \cdot 13 = 169 = 5 \cdot 5 + 12 \cdot 12$ - to nic innego jak twierdzenie Pitagorasa. Twierdzenie Ptolemeusza wykracza poza podstawę programową, ale bywa wygodnym sprawdzeniem wyników.

Najczęstsze pytania

Kiedy na czworokącie można opisać okrąg? Wtedy i tylko wtedy, gdy sumy jego przeciwległych kątów wynoszą $180^\circ$. Wystarczy sprawdzić jedną parę - druga suma wyniesie wtedy $360^\circ - 180^\circ = 180^\circ$.

Czy na każdym trapezie można opisać okrąg? Nie, tylko na trapezie równoramiennym. W trapezie, który nie jest równoramienny, kąty przeciwległe nie sumują się do $180^\circ$.

Czy na rombie można opisać okrąg? Tylko na takim, który jest kwadratem. Przeciwległe kąty rombu są równe, więc suma $180^\circ$ oznacza dwa kąty proste.

Czy na równoległoboku można opisać okrąg? Tylko wtedy, gdy jest prostokątem - z tego samego powodu co w rombie.

Gdzie leży środek okręgu opisanego na prostokącie? W punkcie przecięcia przekątnych. Przekątna jest średnicą, więc $R = \frac{d}{2}$.

Jak obliczyć promień okręgu opisanego na trapezie? Środek leży na osi symetrii trapezu równoramiennego; jego położenie wyznacza równanie $|OA| = |OD|$. Można też użyć wzoru $R = \frac{|BD|}{2\sin\alpha}$ z twierdzenia sinusów.

Czy na deltoidzie można opisać okrąg? Tylko wtedy, gdy dwa jego równe kąty (między bokami różnej długości) są proste. Taki deltoid ma przekątną $AC$ będącą średnicą okręgu.

Przećwicz

• Okrąg opisany na czworokącie → - czy da się opisać okrąg, promień okręgu na prostokącie i trapezie, położenie środka, kąty.
• Kąty w czworokątach → - kąty czworokąta wpisanego zależne od $x$.

Wszystkie typy w jednym miejscu: czworokąty - zadania z rozwiązaniami.

Podsumowanie

• Czworokąt wypukły da się wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy $\alpha + \gamma = 180^\circ$.
• Dowód: kąty przeciwległe są oparte na łukach, które razem dają cały okrąg.
• Z równoległoboków wpisać w okrąg można tylko prostokąty, z trapezów - tylko równoramienne.
• Promień: $R = \frac{d}{2}$ w prostokącie, $R = \frac{|BD|}{2\sin\alpha}$ w dowolnym czworokącie wpisanym; w trapezie równoramiennym środek leży na osi symetrii.