Czworokąt wpisany i opisany na okręgu - zadania na dowodzenie

Q: Jak udowodnić, że w czworokąt można wpisać okrąg?

Pokaż, że sumy długości przeciwległych boków są równe: a + c = b + d. Czasem prościej wskazać punkt równo oddalony od wszystkich czterech boków - np. przecięcie dwusiecznych.

Q: Czy trapez opisany na okręgu musi być równoramienny?

Nie. Warunek a + b = c_1 + c_2 spełnia np. trapez prostokątny o podstawach 12 i 6 i ramionach 8 i 10. Równoramienny musi być trapez wpisany w okrąg.

Klasa 3 liceum i technikum

Narzędzia do dowodów z czworokątami

$\text{wpisany w okrąg} \iff \alpha + \gamma = 180^\circ \qquad\qquad \text{opisany na okręgu} \iff a + c = b + d$

$\text{trapez: } \alpha + \delta = 180^\circ \qquad \text{równoległobok: } \alpha = \gamma,\ a = c,\ b = d$

Środek okręgu wpisanego leży na dwusiecznych kątów, środek okręgu opisanego - na symetralnych boków. Odcinki styczne z jednego punktu są równe.

Dowód geometryczny to ciąg kroków, z których każdy wynika z założenia, z definicji albo ze znanego twierdzenia - a ostatni krok jest tezą. W zadaniach z czworokątami wpisanymi i opisanymi prawie zawsze łączymy dwa fakty: warunek okręgu ( $\alpha + \gamma = 180^\circ$ albo $a + c = b + d$ ) i własność samego czworokąta (równoległe boki, równe boki, równe kąty). Poniżej pięć klasycznych dowodów rozpisanych w całości.

Jak zapisać dowód

Założenie - co wiemy (i jakie oznaczenia wprowadzamy).
Teza - co mamy udowodnić. Zapisz ją, zanim zaczniesz.
Uzasadnienie - kolejne kroki, każdy z podaną przyczyną („bo kąty jednostronne”, „bo czworokąt jest wpisany w okrąg”).
Wniosek - powtórzenie tezy i znak $\blacksquare$ .

Rysunek pomaga zobaczyć zależności, ale nie jest dowodem: to, że coś „widać”, trzeba jeszcze uzasadnić. Sprawdzenie na liczbach też nie jest dowodem - pokazuje tylko jeden przypadek.

Dowód 1. Trapez wpisany w okrąg jest równoramienny

Trapez ABCD wpisany w okrąg. Kąty α i δ leżą przy jednym ramieniu, kąty α i γ są przeciwległe.

Założenie. $ABCD$ jest trapezem ( $AB \parallel CD$ ) wpisanym w okrąg; $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ to kąty przy wierzchołkach $A, B, C, D$ .

Teza. $|AD| = |BC|$ .

Krok 1. Kąty $\alpha$ i $\delta$ leżą przy ramieniu $AD$ - są jednostronne przy prostych równoległych $AB$ i $CD$ , więc $\alpha + \delta = 180^\circ$ .

Krok 2. Czworokąt jest wpisany w okrąg, więc kąty przeciwległe $\alpha$ i $\gamma$ spełniają $\alpha + \gamma = 180^\circ$ .

Krok 3. Z kroków 1 i 2: $\delta = 180^\circ - \alpha = \gamma$ . Kąty przy krótszej podstawie są równe; tak samo $\beta = 180^\circ - \gamma = 180^\circ - \delta = \alpha$ .

Krok 4. Jeśli podstawy są równe, trapez jest równoległobokiem, a ten - jak pokazuje dowód 2 niżej - prostokątem, więc $|AD| = |BC|$ . W przeciwnym razie niech $AB$ będzie dłuższą podstawą (w razie potrzeby zamieniamy nazwy). Wtedy równe kąty $\alpha = \beta$ są ostre. Prowadzimy wysokości $DK$ i $CL$ na prostą $AB$ . Trójkąty prostokątne $AKD$ i $BLC$ mają równe przyprostokątne $|DK| = |CL| = h$ i równe kąty ostre $\alpha = \beta$ - są przystające, skąd $|AD| = |BC|$ . $\blacksquare$

Wniosek. Na trapezie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy jest równoramienny (w drugą stronę: w trapezie równoramiennym $\gamma = \delta$ , więc $\alpha + \gamma = \alpha + \delta = 180^\circ$ ).

Dowód 2. Równoległobok wpisany w okrąg jest prostokątem

Założenie. $ABCD$ jest równoległobokiem wpisanym w okrąg.

Teza. Wszystkie kąty $ABCD$ są proste.

Krok 1. W równoległoboku kąty przeciwległe są równe: $\alpha = \gamma$ .

Krok 2. Czworokąt jest wpisany w okrąg: $\alpha + \gamma = 180^\circ$ .

Krok 3. Stąd $2\alpha = 180^\circ$ , czyli $\alpha = \gamma = 90^\circ$ . Kąty sąsiednie równoległoboku sumują się do $180^\circ$ , więc $\beta = \delta = 90^\circ$ . $\blacksquare$

Dowód 3. Równoległobok opisany na okręgu jest rombem

Założenie. $ABCD$ jest równoległobokiem opisanym na okręgu; $|AB| = a$ , $|BC| = b$ .

Teza. $a = b$ .

Krok 1. W równoległoboku przeciwległe boki są równe: $|CD| = a$ i $|DA| = b$ .

Krok 2. Czworokąt jest opisany na okręgu: $|AB| + |CD| = |BC| + |DA|$ , czyli $a + a = b + b$ .

Krok 3. Stąd $2a = 2b$ , więc $a = b$ - wszystkie boki są równe i równoległobok jest rombem. $\blacksquare$

Dowody 2 i 3 mają ten sam schemat: własność czworokąta zamienia warunek okręgu w równanie z jedną niewiadomą.

Dowód 4. Ramię trapezu opisanego widać ze środka okręgu pod kątem prostym

Środek O okręgu wpisanego leży na dwusiecznych kątów A i D. Ponieważ α + δ = 180°, w trójkącie AOD kąt przy O ma 180° − 90° = 90°.

Założenie. Trapez $ABCD$ ( $AB \parallel CD$ ) jest opisany na okręgu o środku $O$ .

Teza. $|\angle AOD| = 90^\circ$ (i tak samo $|\angle BOC| = 90^\circ$ ).

Krok 1. Środek okręgu wpisanego jest jednakowo oddalony od prostych $AB$ i $AD$ , więc leży na dwusiecznej kąta $A$ : $|\angle OAD| = \frac{\alpha}{2}$ . Tak samo $|\angle ODA| = \frac{\delta}{2}$ .

Krok 2. Kąty przy ramieniu $AD$ sumują się do $180^\circ$ : $\alpha + \delta = 180^\circ$ , więc

$|\angle OAD| + |\angle ODA| = \frac{\alpha + \delta}{2} = 90^\circ.$

Krok 3. W trójkącie $AOD$ suma kątów to $180^\circ$ :

$|\angle AOD| = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ. \qquad \blacksquare$

Zastosowanie. Trójkąt $AOD$ jest prostokątny, a promień $r$ poprowadzony do punktu styczności $T$ na ramieniu $AD$ jest jego wysokością. Odcinki styczne $|AT| = x$ i $|TD| = w$ są rzutami przyprostokątnych na przeciwprostokątną, więc $r^2 = x \cdot w$ (znane twierdzenie o wysokości w trójkącie prostokątnym). Dla trapezu równoramiennego $x = \frac{a}{2}$ i $w = \frac{b}{2}$ , co daje znowu $h = 2r = \sqrt{ab}$ .

Dowód 5. Dwusieczne kątów czworokąta tworzą czworokąt wpisany w okrąg

Dwusieczne kątów czworokąta ABCD przecinają się parami w punktach P, Q, R, S. Czworokąt PQRS zawsze da się wpisać w okrąg.

Założenie. Dwusieczne kątów czworokąta wypukłego $ABCD$ przecinają się parami: dwusieczne kątów $A$ i $B$ w punkcie $P$ , $B$ i $C$ - w $Q$ , $C$ i $D$ - w $R$ , $D$ i $A$ - w $S$ , przy czym punkty $P, Q, R, S$ są różne (czyli w $ABCD$ nie da się wpisać okręgu).

Teza. Na czworokącie $PQRS$ można opisać okrąg.

Krok 1. Kąt przy $P$ . W trójkącie $ABP$ kąty przy $A$ i $B$ to $\frac{\alpha}{2}$ i $\frac{\beta}{2}$ , więc

$|\angle APB| = 180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}.$

Punkt $S$ leży na prostej $AP$ , a punkt $Q$ - na prostej $BP$ . Kąt czworokąta $PQRS$ przy wierzchołku $P$ (między półprostymi $PS$ i $PQ$ ) jest więc albo tym samym kątem co $APB$ (gdy $S$ i $Q$ leżą po tej samej stronie $P$ co $A$ i $B$ , jak na rysunku), albo kątem do niego wierzchołkowym. W obu przypadkach ma tę samą miarę.

Krok 2. Kąt przy $R$ . Tak samo w trójkącie $CDR$ :

$|\angle CRD| = 180^\circ - \frac{\gamma + \delta}{2},$

a kąt czworokąta $PQRS$ przy wierzchołku $R$ ma - z tego samego powodu - tę samą miarę.

Krok 3. Suma kątów przeciwległych.

$|\angle P| + |\angle R| = 360^\circ - \frac{\alpha + \beta + \gamma + \delta}{2} = 360^\circ - \frac{360^\circ}{2} = 180^\circ.$

Krok 4. Suma kątów przeciwległych czworokąta $PQRS$ wynosi $180^\circ$ , więc można na nim opisać okrąg. $\blacksquare$

Ciekawe, że dowód nie korzysta z żadnych długości - tylko z sum kątów. Gdyby w $ABCD$ dało się wpisać okrąg, wszystkie cztery dwusieczne przecięłyby się w jednym punkcie (środku tego okręgu) i czworokąt $PQRS$ zdegenerowałby się do punktu.

Typowe błędy w dowodach

Zakładanie tezy. W dowodzie 1 nie wolno napisać „trapez jest równoramienny, więc…” - to właśnie mamy wykazać.
Twierdzenie w złą stronę. „Czworokąt wpisany ma $\alpha + \gamma = 180^\circ$ ” i „czworokąt o $\alpha + \gamma = 180^\circ$ jest wpisany” to dwa różne zdania. Oba są prawdziwe, ale trzeba świadomie wybrać, z którego korzystamy.
Pomylenie warunków. Kąty ( $\alpha + \gamma = 180^\circ$ ) dotyczą okręgu opisanego, boki ( $a + c = b + d$ ) - okręgu wpisanego.
Kąty sąsiednie zamiast przeciwległych. W trapezie sumy $180^\circ$ dają kąty przy ramieniu, w czworokącie wpisanym - kąty przeciwległe.

Najczęstsze pytania

Jak udowodnić, że czworokąt można wpisać w okrąg? Pokaż, że suma jednej pary jego przeciwległych kątów wynosi $180^\circ$ . Druga para sumuje się wtedy do $180^\circ$ automatycznie, a twierdzenie odwrotne gwarantuje istnienie okręgu.

Jak udowodnić, że w czworokąt można wpisać okrąg? Pokaż, że sumy długości przeciwległych boków są równe: $a + c = b + d$ . Czasem prościej wskazać punkt równo oddalony od wszystkich czterech boków - np. przecięcie dwusiecznych.

Czy wystarczy sprawdzić twierdzenie na przykładzie? Nie. Przykład liczbowy pokazuje tylko jeden przypadek. Dowód musi działać dla każdego czworokąta spełniającego założenia.

Czy w dowodzie można korzystać z rysunku? Rysunek służy do oznaczeń i pomaga znaleźć pomysł, ale każdą zależność odczytaną z rysunku trzeba uzasadnić twierdzeniem albo definicją.

Czy trapez opisany na okręgu musi być równoramienny? Nie. Warunek $a + b = c_1 + c_2$ spełnia np. trapez prostokątny o podstawach $12$ i $6$ i ramionach $8$ i $10$ . Równoramienny musi być trapez wpisany w okrąg.

Przećwicz

Zadania na dowodzenie → - twierdzenie Varignona, deltoid z okręgiem wpisanym, $h^2 = ab$ w trapezie równoramiennym, prostopadłe przekątne i czworokąt wpisany.
Dowody z nierównościami (inny rodzaj zadań „wykaż, że”): dowodzenie nierówności ze średnimi.

Wszystkie typy w jednym miejscu: czworokąty - zadania z rozwiązaniami.

Podsumowanie

Dowód = założenie, teza, uzasadnienie krok po kroku, wniosek.
Trapez wpisany w okrąg jest równoramienny, równoległobok wpisany - prostokątem, równoległobok opisany - rombem.
W trapezie opisanym na okręgu każde ramię widać ze środka okręgu pod kątem prostym.
Dwusieczne kątów czworokąta (bez okręgu wpisanego) wyznaczają czworokąt wpisany w okrąg.
Kluczowy chwyt: połączyć warunek okręgu z własnością danego czworokąta.