Granica funkcji w punkcie - co oznacza i jak ją odczytać

Q: Czym różni się granica funkcji od wartości funkcji?

Wartość f(x_0) to liczba obliczona w samym punkcie. Granica opisuje, co dzieje się w pobliżu punktu. Mogą być równe (funkcja ciągła), różne (przestawiony punkt) albo wartość może nie istnieć, choć granica istnieje.

Q: Czy funkcja może mieć granicę w punkcie, w którym nie jest określona?

Tak. Funkcja x² - 4/x - 2 nie jest określona w punkcie 2, a jej granica w tym punkcie wynosi 4. Ważne jest tylko, żeby funkcja była określona w pobliżu punktu.

Q: Co mówi definicja Heinego granicy funkcji?

Że lim_x → x_0 f(x) = g, jeśli dla każdego ciągu argumentów x_n → x_0 o wyrazach różnych od x_0 ciąg wartości f(x_n) dąży do g. Sprowadza granicę funkcji do granic ciągów.

Klasa 3 liceum i technikum

Granica funkcji w punkcie - najważniejsze fakty

Zapis: $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = g$ - „granica funkcji $f$ przy $x$ dążącym do $x_0$ jest równa $g$ ”.

Definicja Heinego (przez ciągi):

$\lim_{x \to x_0} f(x) = g \iff \text{dla każdego ciągu } x_n \to x_0,\ x_n \neq x_0:\ \lim_{n \to \infty} f(x_n) = g$

Definicja Cauchy’ego (z epsilonem):

$\forall_{\varepsilon > 0}\ \exists_{\delta > 0}\ \forall_{x}\ \ 0 < |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - g| < \varepsilon$

Granica nie zależy od wartości $f(x_0)$ - funkcja może mieć w $x_0$ inną wartość albo nie być tam w ogóle określona.

Granica funkcji $f$ w punkcie $x_0$ to liczba $g$ , do której zbliżają się wartości $f(x)$ , gdy argument $x$ zbliża się do $x_0$ (z obu stron, ale nie jest mu równy). Zapisujemy $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = g$ . Liczy się tylko zachowanie funkcji w pobliżu punktu $x_0$ - to, co dzieje się w samym punkcie, nie ma na granicę wpływu.

To pierwsza lekcja rozdziału elementy analizy matematycznej. Opiera się na granicy ciągu z poprzedniego rozdziału: tam badaliśmy wyrazy $a_n$ przy $n \to \infty$ , a teraz - wartości funkcji, gdy $x$ zbliża się do konkretnej liczby. Z granicy funkcji wyrosną dalej ciągłość, asymptoty i pochodna.

Intuicja: co się dzieje w pobliżu punktu

Weźmy funkcję

$f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$

Dla $x = 2$ mianownik jest zerem, więc $f(2)$ nie istnieje. Możemy jednak policzyć wartości dla argumentów coraz bliższych $2$ - z lewej i z prawej strony:

x	1,9	1,99	1,999	2	2,001	2,01	2,1
f(x)	3,9	3,99	3,999	—	4,001	4,01	4,1

Z obu stron wartości zbliżają się do $4$ . Mówimy, że granica funkcji $f$ w punkcie $2$ jest równa $4$ :

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4$

Skąd akurat $4$ ? Licznik to różnica kwadratów: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ . Dla $x \neq 2$ można skrócić ułamek i dostajemy $f(x) = x + 2$ . Wykres funkcji $f$ to więc prosta $y = x + 2$ , z której wyjęto jeden punkt.

Wykres f(x) = (x² − 4)/(x − 2) to prosta y = x + 2 bez jednego punktu. Funkcja nie ma wartości w x = 2 (puste kółko), ale jej wartości zbliżają się do 4 - to jest granica.

Tabela pokazuje coś ważnego: przy liczeniu granicy nigdy nie podstawiamy $x = 2$ . Patrzymy na argumenty bliskie $2$ i różne od $2$ . Dzięki temu granica może istnieć tam, gdzie funkcja nie jest określona - i właśnie w takich miejscach jest najbardziej potrzebna.

Granica a wartość funkcji w punkcie

Granica i wartość to dwie różne rzeczy. Mogą być równe, mogą się różnić, a wartość może w ogóle nie istnieć. Zobaczmy funkcję z „przestawionym” punktem:

$g(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}x^2 + 1 & \text{dla } x \neq 2 \\ 1 & \text{dla } x = 2 \end{cases}$

Funkcja z „przestawionym” punktem: g(2) = 1 (pełna kropka), ale wartości g(x) dla x bliskich 2 zbliżają się do 3 (puste kółko). Granica w punkcie 2 jest równa 3.

Dla argumentów bliskich $2$ wzór $\frac{1}{2}x^2 + 1$ daje wartości bliskie $\frac{1}{2} \cdot 4 + 1 = 3$ , więc $\lim\limits_{x \to 2} g(x) = 3$ . Sama wartość w punkcie to $g(2) = 1$ . Granica „nie widzi” tego jednego punktu - zmiana wartości $g(2)$ na dowolną inną liczbę nie zmienia granicy.

Trzy możliwe sytuacje w punkcie $x_0$ :

Funkcja	Wartość w x₀ = 2	Granica przy x → 2	Czy równe?
h(x) = x + 2	4	4	tak - funkcja jest ciągła
f(x) = (x² − 4)/(x − 2)	nie istnieje	4	nie da się porównać
g(x) z przestawionym punktem	1	3	nie

Gdy granica istnieje i jest równa wartości, funkcja jest ciągła w punkcie - to temat lekcji o ciągłości funkcji. Dla takich funkcji granicę liczy się najprościej: wystarczy podstawić.

Definicja Heinego - granica przez ciągi

Słowa „ $x$ zbliża się do $x_0$ ” trzeba zapisać precyzyjnie. Najprościej zrobić to za pomocą ciągów, które już znamy.

Definicja Heinego. Liczba $g$ jest granicą funkcji $f$ w punkcie $x_0$ , jeżeli dla każdego ciągu argumentów $(x_n)$ zbieżnego do $x_0$ , o wyrazach różnych od $x_0$ (i należących do dziedziny $f$ ), ciąg wartości $f(x_n)$ jest zbieżny do $g$ .

Innymi słowy: jakąkolwiek drogą podejdziemy do $x_0$ , wartości funkcji zawsze zmierzają do tej samej liczby $g$ .

Przykład 1. Uzasadnij z definicji Heinego, że $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = 4$ .

Krok 1. Bierzemy dowolny ciąg $x_n \to 2$ , w którym $x_n \neq 2$ dla każdego $n$ .

Krok 2. Dla $x_n \neq 2$ wolno skrócić ułamek: $f(x_n) = \dfrac{(x_n - 2)(x_n + 2)}{x_n - 2} = x_n + 2$ .

Krok 3. Z twierdzeń o granicach ciągów: $\lim\limits_{n \to \infty} (x_n + 2) = 2 + 2 = 4$ .

Odpowiedź. Dla każdego takiego ciągu $f(x_n) \to 4$ , więc granica funkcji w punkcie $2$ jest równa $4$ . Na przykład dla $x_n = 2 + \frac{1}{n}$ mamy $f(x_n) = 4 + \frac{1}{n} \to 4$ .

Przykład 2. Uzasadnij, że $\lim\limits_{x \to 3} (x^2 + 1) = 10$ .

Krok 1. Niech $x_n \to 3$ , $x_n \neq 3$ .

Krok 2. Granica iloczynu ciągów to iloczyn granic, więc $x_n^2 = x_n \cdot x_n \to 3 \cdot 3 = 9$ , a stąd $x_n^2 + 1 \to 10$ .

Odpowiedź. $\lim\limits_{x \to 3} (x^2 + 1) = 10$ - tyle samo, ile wartość funkcji w punkcie $3$ .

Definicja Heinego przydaje się też w drugą stronę - do pokazania, że granica nie istnieje. Wystarczą dwa ciągi zbieżne do $x_0$ , dla których ciągi wartości mają różne granice.

Przykład 3. Funkcja $s(x) = \dfrac{|x|}{x}$ ma wartość $1$ dla $x > 0$ i $-1$ dla $x < 0$ . Ciąg $x_n = \frac{1}{n} \to 0$ daje $s(x_n) = 1 \to 1$ , a ciąg $x_n = -\frac{1}{n} \to 0$ daje $s(x_n) = -1 \to -1$ . Dwie różne granice, więc $\lim\limits_{x \to 0} s(x)$ nie istnieje. Takim sytuacjom - gdy funkcja z lewej i z prawej zmierza do różnych liczb - poświęcona jest lekcja o granicach jednostronnych.

Definicja Cauchy’ego - granica z epsilonem

Druga, równoważna definicja nie używa ciągów, tylko odległości. Przypomina definicję granicy ciągu z $\varepsilon$ :

Definicja Cauchy’ego. $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = g$ , jeżeli dla każdej liczby $\varepsilon > 0$ istnieje liczba $\delta > 0$ taka, że dla wszystkich $x$ z dziedziny spełniających $0 < |x - x_0| < \delta$ zachodzi $|f(x) - g| < \varepsilon$ .

Po ludzku: jeśli chcemy, żeby wartości różniły się od $g$ o mniej niż $\varepsilon$ , wystarczy wziąć argumenty dostatecznie bliskie $x_0$ - bliższe niż $\delta$ . Warunek $0 < |x - x_0|$ wyklucza sam punkt $x_0$ .

Przykład 4. Dla $f(x) = 3x - 1$ i $x_0 = 1$ granica wynosi $2$ . Jak dobrać $\delta$ do $\varepsilon$ ?

Krok 1. Liczymy odległość wartości od granicy: $|f(x) - 2| = |3x - 3| = 3|x - 1|$ .

Krok 2. Warunek $3|x - 1| < \varepsilon$ oznacza $|x - 1| < \frac{\varepsilon}{3}$ , więc wystarczy $\delta = \frac{\varepsilon}{3}$ .

Żądana dokładność ε	1	0,3	0,03	0,003
Wystarczające δ = ε/3	1/3	0,1	0,01	0,001

Odpowiedź. Dla każdego $\varepsilon > 0$ działa $\delta = \frac{\varepsilon}{3}$ , więc $\lim\limits_{x \to 1} (3x - 1) = 2$ . W szkole definicji Cauchy’ego nie trzeba stosować w zadaniach - wystarczy rozumieć, co mówi.

Odczytywanie granic z wykresu

Na wykresie granicę w punkcie $x_0$ odczytujemy tak: przesuwamy palec po wykresie w stronę $x_0$ z lewej i z prawej i patrzymy, do jakiej wysokości zmierzamy. Pełna kropka oznacza punkt wykresu, puste kółko - punkt, którego na wykresie nie ma. Przy granicy jedno i drugie nie ma znaczenia, liczy się to, dokąd prowadzi krzywa.

Wykres do przykładu: w x = −2 dziura (granica −1, wartość f(−2) = 2), w x = 1 skok (z lewej wartości zbliżają się do 1,25, z prawej do 3), w x = 3 zwykły punkt wykresu.

Przykład 5. Na rysunku jest wykres funkcji $f$ określonej na przedziale $\langle -4;\ 5\rangle$ . Odczytaj granice w punktach $-2$ , $1$ i $3$ oraz porównaj je z wartościami funkcji.

Krok 1. Punkt $-2$ . Z obu stron łuk paraboli zmierza do wysokości $-1$ (puste kółko). Pełna kropka nad nim to wartość $f(-2) = 2$ . Zatem $\lim\limits_{x \to -2} f(x) = -1 \neq f(-2)$ .

Krok 2. Punkt $1$ . Z lewej strony łuk zmierza do wysokości $1{,}25$ , z prawej prosta zaczyna się na wysokości $3$ . Wartości z dwóch stron dążą do różnych liczb, więc $\lim\limits_{x \to 1} f(x)$ nie istnieje (choć $f(1) = 3$ ).

Krok 3. Punkt $3$ . Wykres przechodzi tu bez przerw, z obu stron zmierzamy do wysokości $1$ , a $f(3) = 1$ .

Odpowiedź. $\lim\limits_{x \to -2} f(x) = -1$ , $\lim\limits_{x \to 1} f(x)$ nie istnieje, $\lim\limits_{x \to 3} f(x) = 1$ . Tylko w punkcie $3$ granica jest równa wartości funkcji.

Kiedy granica nie istnieje

Granica funkcji w punkcie nie istnieje w trzech typowych sytuacjach:

skok - z lewej i z prawej wartości zmierzają do różnych liczb (jak w punkcie $1$ wyżej); szczegóły w lekcji o granicach jednostronnych;
ucieczka do nieskończoności - np. $\frac{1}{x^2}$ przy $x \to 0$ rośnie ponad każdą liczbę; zapisujemy wtedy $+\infty$ i mówimy o granicy niewłaściwej;
oscylacja - wartości „skaczą” coraz szybciej i nie zbliżają się do żadnej liczby; klasyczny przykład spoza szkolnego programu to $\sin\frac{1}{x}$ przy $x \to 0$ .

Typowe błędy

Liczenie granicy przez podstawienie, gdy funkcja nie jest określona. Dla $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$ podstawienie $x = 2$ daje $\frac{0}{0}$ - to nie jest wynik, tylko sygnał, że trzeba przekształcić wyrażenie (o tym w następnej lekcji).
Utożsamianie granicy z wartością. Funkcja $g$ z przestawionym punktem ma $g(2) = 1$ , ale granicę $3$ .
Odczytywanie granicy z pełnej kropki. Na wykresie granica to wysokość, do której zmierza krzywa, a nie położenie odosobnionego punktu.
Sprawdzanie tylko jednej strony. Granica istnieje dopiero wtedy, gdy z lewej i z prawej wartości zmierzają do tej samej liczby.

Najczęstsze pytania

Co to jest granica funkcji w punkcie? To liczba, do której zbliżają się wartości funkcji, gdy argument zbliża się do danego punktu z obu stron, ale nie jest mu równy. Zapisujemy $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = g$ .

Czym różni się granica funkcji od wartości funkcji? Wartość $f(x_0)$ to liczba obliczona w samym punkcie. Granica opisuje, co dzieje się w pobliżu punktu. Mogą być równe (funkcja ciągła), różne (przestawiony punkt) albo wartość może nie istnieć, choć granica istnieje.

Czy funkcja może mieć granicę w punkcie, w którym nie jest określona? Tak. Funkcja $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$ nie jest określona w punkcie $2$ , a jej granica w tym punkcie wynosi $4$ . Ważne jest tylko, żeby funkcja była określona w pobliżu punktu.

Co mówi definicja Heinego granicy funkcji? Że $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = g$ , jeśli dla każdego ciągu argumentów $x_n \to x_0$ o wyrazach różnych od $x_0$ ciąg wartości $f(x_n)$ dąży do $g$ . Sprowadza granicę funkcji do granic ciągów.

Czym różni się definicja Heinego od definicji Cauchy’ego? Heine opisuje granicę przez ciągi argumentów, Cauchy - przez odległości $\varepsilon$ i $\delta$ . Obie definicje są równoważne: funkcja ma granicę według jednej wtedy i tylko wtedy, gdy ma ją według drugiej.

Jak odczytać granicę funkcji z wykresu? Idź po wykresie w stronę danego punktu z lewej i z prawej i sprawdź, do jakiej wysokości zmierzasz. Jeśli z obu stron to ta sama wysokość, jest ona granicą - niezależnie od tego, czy w punkcie jest pełna kropka, puste kółko, czy kropka gdzie indziej.

Kiedy granica funkcji w punkcie nie istnieje? Gdy wartości z lewej i z prawej strony zmierzają do różnych liczb (skok), gdy uciekają do nieskończoności albo gdy oscylują i nie zbliżają się do żadnej liczby.

Przećwicz

Obliczanie granic funkcji - zadania → - 10 zadań: odczytywanie granic z wykresu, podstawienie, symbol 0/0 z rozkładem na czynniki, schemat Hornera i wyrażenie sprzężone, granica z parametrami.
Cały zestaw: granica i pochodna funkcji - zadania →

Podsumowanie

$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = g$ : wartości $f(x)$ zbliżają się do $g$ , gdy $x \to x_0$ , $x \neq x_0$ .
Granica nie zależy od wartości $f(x_0)$ - funkcja może tam mieć inną wartość albo nie być określona.
Definicja Heinego: dla każdego ciągu $x_n \to x_0$ ( $x_n \neq x_0$ ) zachodzi $f(x_n) \to g$ .
Definicja Cauchy’ego: dla każdego $\varepsilon > 0$ istnieje $\delta > 0$ , że $0 < |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - g| < \varepsilon$ .
Dwa ciągi argumentów z różnymi granicami wartości dowodzą, że granica nie istnieje.
Z wykresu: granica to wysokość, do której zmierza krzywa z obu stron.

Zobacz też

Jak obliczyć granicę funkcji w punkcie - następna lekcja: twierdzenia o działaniach na granicach i symbol $\frac{0}{0}$ .
Granica ciągu liczbowego - definicja z $\varepsilon$ , na której opiera się definicja Heinego.
Granica funkcji - zestawienie definicji i metod - zwięzła ściąga z całego tematu.
Odczytywanie własności funkcji z wykresu - pełne kropki, puste kółka i dziedzina na wykresie.