Największa i najmniejsza wartość funkcji w przedziale domkniętym - metoda z pochodną

Q: Jak wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale?

Oblicz pochodną i znajdź punkty krytyczne leżące wewnątrz przedziału. Policz wartości funkcji w tych punktach i na obu końcach przedziału. Największa z otrzymanych liczb to wartość największa, najmniejsza - wartość najmniejsza.

Q: Czym się różni wartość największa od maksimum lokalnego?

Maksimum lokalne jest największe tylko w pobliżu punktu, a wartość największa - w całym przedziale. Wartość największa może leżeć na końcu przedziału, gdzie maksimum lokalnego w ogóle nie ma.

Q: Co mówi twierdzenie Weierstrassa?

Funkcja ciągła w przedziale domkniętym langle a;\ brangle przyjmuje w nim wartość największą i najmniejszą. Twierdzenie gwarantuje istnienie tych wartości; gdzie leżą, ustalamy, porównując wartości na końcach i w punktach krytycznych.

Q: Czy funkcja zawsze ma wartość największą w przedziale?

W przedziale domkniętym - tak, jeśli jest w nim ciągła. W przedziale otwartym może jej nie mieć: f(x) = x³ - 3x² w przedziale (1;\ 4) zbliża się do 16, ale tej wartości nie przyjmuje.

Q: Czy trzeba sprawdzać, czy punkt krytyczny to maksimum, czy minimum?

Nie. W przedziale domkniętym wystarczy porównać wartości wszystkich kandydatów - końców i punktów krytycznych. Badanie znaku pochodnej jest potrzebne dopiero przy przedziale otwartym albo przy całej prostej.

Q: Co zrobić, gdy punkt krytyczny nie należy do przedziału?

Pominąć go. Jeśli w przedziale nie ma żadnego punktu krytycznego, funkcja jest w nim monotoniczna, więc wartość największa i najmniejsza leżą na końcach.

Q: Jak wyznaczyć zbiór wartości funkcji za pomocą pochodnej?

Dla funkcji ciągłej na przedziale domkniętym zbiór wartości to langle m;\ Mrangle, gdzie m i M to wartość najmniejsza i największa. Na przedziale nieograniczonym trzeba jeszcze policzyć granice funkcji w ±∞ (lub na otwartych końcach).

Klasa 3 liceum i technikum

Wartość największa i najmniejsza w przedziale ⟨a; b⟩

Twierdzenie Weierstrassa: funkcja ciągła w przedziale domkniętym $\langle a;\ b\rangle$ przyjmuje w nim wartość największą i najmniejszą.

Kandydaci - porównujemy wartości funkcji tylko w tych punktach:

$f(a), \qquad f(b), \qquad f(x_k) \ \text{ dla punktów krytycznych } x_k \in (a;\ b)$

Punkty krytyczne: $f'(x_k) = 0$ albo $f'(x_k)$ nie istnieje.

Dla funkcji ciągłej: zbiór wartości na $\langle a;\ b\rangle$ to $\langle m;\ M\rangle$ , gdzie $m$ - najmniejsza, $M$ - największa wartość.

Wartość największa funkcji $f$ w zbiorze $A$ to taka wartość $f(x_0)$ , gdzie $x_0 \in A$ , że $f(x) \leq f(x_0)$ dla każdego $x \in A$ ; wartość najmniejsza - gdy $f(x) \geq f(x_0)$ dla każdego $x \in A$ . Dla funkcji ciągłej w przedziale domkniętym obie istnieją, a znajdujemy je, porównując wartości funkcji na końcach przedziału i w punktach krytycznych leżących w jego wnętrzu.

To kolejna lekcja rozdziału elementy analizy matematycznej. W poprzedniej - ekstrema lokalne funkcji - szukaliśmy punktów, w których funkcja jest największa lub najmniejsza w pobliżu. Teraz pytamy o cały przedział. Dla paraboli robiliśmy to już bez pochodnej w lekcji najmniejsza i największa wartość funkcji kwadratowej - tam kandydatami były końce i wierzchołek. Pochodna pozwala zrobić to samo dla dowolnej funkcji.

Wartość największa a maksimum lokalne

Te pojęcia łatwo pomylić, bo w wielu zadaniach dają tę samą liczbę. Różnice:

	Maksimum lokalne	Wartość największa
Porównujemy z	wartościami w pobliżu punktu	wszystkimi wartościami w zbiorze
Ile ich może być	kilka, o różnych wartościach	jedna liczba (może być osiągana w kilku punktach)
Na końcu przedziału	nie (potrzebne otoczenie)	tak, bardzo często
Zależy od przedziału	nie	tak
Zawsze istnieje	nie	dla funkcji ciągłej na ⟨a; b⟩ - tak

Twierdzenie Weierstrassa - dlaczego metoda działa

Twierdzenie Weierstrassa. Jeśli funkcja $f$ jest ciągła w przedziale domkniętym $\langle a;\ b\rangle$ , to istnieją punkty $x_1, x_2 \in \langle a;\ b\rangle$ takie, że $f(x_1) \leq f(x) \leq f(x_2)$ dla każdego $x \in \langle a;\ b\rangle$ .

Twierdzenie mówi, że wartości skrajne istnieją, ale nie mówi, gdzie są. To dopowiada rozumowanie z poprzedniej lekcji. Jeśli wartość największa jest przyjmowana w punkcie $x_2$ leżącym wewnątrz przedziału, to $f(x_2)$ jest też maksimum lokalnym, więc $x_2$ jest punktem krytycznym (pochodna równa $0$ albo nie istnieje). Jeśli nie wewnątrz - to na końcu. Innych możliwości nie ma, dlatego wystarczy sprawdzić skończoną listę kandydatów.

Oba założenia są potrzebne:

Przedział musi być domknięty. Funkcja $f(x) = x^2$ w przedziale $(0;\ 2)$ nie ma ani wartości najmniejszej, ani największej: wartości zbliżają się do $0$ i do $4$ , ale ich nie osiągają, bo końców nie ma w przedziale.
Funkcja musi być ciągła. Funkcja określona wzorem $f(x) = x$ dla $x \in \langle 0;\ 1)$ i $f(1) = 0$ jest zdefiniowana na całym przedziale domkniętym $\langle 0;\ 1\rangle$ , ale w $x = 1$ ma skok. Jej wartości zbliżają się do $1$ , lecz jedynki nie osiąga - wartości największej nie ma. W przedziale, w którym funkcja nie jest ciągła, metoda „porównaj kandydatów” może zawieść.

Ciągłość i jej konsekwencje omawia lekcja funkcja ciągła w zbiorze.

Jak wyznaczyć wartość największą i najmniejszą - algorytm

Sprawdź ciągłość funkcji w przedziale $\langle a;\ b\rangle$ (np. czy miejsca zerowe mianownika nie wpadają do przedziału).
Oblicz pochodną i znajdź punkty krytyczne.
Odrzuć punkty krytyczne spoza wnętrza przedziału $(a;\ b)$ .
Oblicz wartości funkcji na obu końcach i w pozostałych punktach krytycznych.
Porównaj: największa z tych liczb to wartość największa, najmniejsza - wartość najmniejsza.

Nie trzeba badać, czy punkt krytyczny to maksimum, czy minimum - porównanie liczb załatwia wszystko. Wystarczy pewność, że lista kandydatów jest pełna.

Przykład 1. Wyznacz wartość największą i najmniejszą funkcji $f(x) = x^3 - 12x + 5$ w przedziale $\langle -3;\ 3\rangle$ .

Krok 1. Wielomian jest ciągły w całym $\mathbb{R}$ .

Krok 2. $f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x - 2)(x + 2)$ , punkty krytyczne: $x = -2$ i $x = 2$ .

Krok 3. Oba leżą w przedziale $(-3;\ 3)$ .

Krok 4. Wartości:

x	−3 (koniec)	−2 (krytyczny)	2 (krytyczny)	3 (koniec)
f(x)	14	21	−11	−4

Krok 5. Największa z liczb to $21$ , najmniejsza $-11$ .

Odpowiedź. Wartość największa $f(-2) = 21$ , wartość najmniejsza $f(2) = -11$ .

Funkcja f(x) = x³ − 12x + 5 na przedziale ⟨−3; 3⟩: kandydatów są cztery - dwa końce i dwa punkty krytyczne. Największa wartość to 21, najmniejsza −11.

Ta sama funkcja, inny przedział

Wartości skrajne zależą od przedziału. Dla tej samej funkcji $f(x) = x^3 - 12x + 5$ :

Przedział	Kandydaci (x)	Wartości	Największa	Najmniejsza
⟨−3; 3⟩	−3, −2, 2, 3	14, 21, −11, −4	21	−11
⟨0; 5⟩	0, 2, 5	5, −11, 70	70 (koniec)	−11
⟨3; 5⟩	3, 5	−4, 70	70 (koniec)	−4 (koniec)
⟨−4; 4⟩	−4, −2, 2, 4	−11, 21, −11, 21	21 (dwa razy)	−11 (dwa razy)

W przedziale $\langle 0;\ 5\rangle$ punkt $x = -2$ odpada (nie należy do przedziału), a wartość największa leży na końcu - maksimum lokalne $21$ nie ma tu nic do rzeczy. W przedziale $\langle 3;\ 5\rangle$ nie ma żadnego punktu krytycznego, więc funkcja jest tam monotoniczna (rosnąca) i wystarczą końce. W $\langle -4;\ 4\rangle$ każda z wartości skrajnych jest przyjmowana w dwóch punktach.

Przykład 2 (funkcja wymierna). Wyznacz wartość największą i najmniejszą funkcji $f(x) = \dfrac{x^2 + 5}{x + 2}$ w przedziale $\langle -1;\ 3\rangle$ .

Krok 1. Ciągłość. Funkcja nie jest określona dla $x = -2$ , ale $-2 \notin \langle -1;\ 3\rangle$ , więc w całym przedziale jest ciągła i twierdzenie Weierstrassa działa.

Krok 2. Pochodna.

$f'(x) = \frac{2x(x + 2) - (x^2 + 5)}{(x + 2)^2} = \frac{x^2 + 4x - 5}{(x + 2)^2} = \frac{(x + 5)(x - 1)}{(x + 2)^2}$

Krok 3. Punkty krytyczne. $f'(x) = 0$ dla $x = -5$ lub $x = 1$ . Do przedziału $(-1;\ 3)$ należy tylko $x = 1$ .

Krok 4. Wartości.

$f(-1) = \frac{1 + 5}{1} = 6, \qquad f(1) = \frac{1 + 5}{3} = 2, \qquad f(3) = \frac{9 + 5}{5} = \frac{14}{5} = 2{,}8$

Krok 5. Porównujemy: $6 > 2{,}8 > 2$ .

Odpowiedź. Wartość największa $f(-1) = 6$ (na końcu przedziału), wartość najmniejsza $f(1) = 2$ .

Funkcja f(x) = (x² + 5)/(x + 2) na przedziale ⟨−1; 3⟩: wartość najmniejsza 2 w punkcie krytycznym x = 1, a największa 6 - na lewym końcu przedziału.

Przykład 3 (funkcja z pierwiastkiem). Wyznacz wartość największą i najmniejszą funkcji $f(x) = x\sqrt{3 - x}$ w przedziale $\langle 0;\ 3\rangle$ .

Krok 1. Dziedzina i ciągłość. $D_f = (-\infty;\ 3\rangle$ ; funkcja jest ciągła w całej dziedzinie, więc i w przedziale $\langle 0;\ 3\rangle$ .

Krok 2. Pochodna (iloczynu i funkcji złożonej, dla $x < 3$ ):

$f'(x) = \sqrt{3 - x} + x \cdot \frac{-1}{2\sqrt{3 - x}} = \frac{2(3 - x) - x}{2\sqrt{3 - x}} = \frac{6 - 3x}{2\sqrt{3 - x}}$

Krok 3. Punkty krytyczne. Licznik zeruje się dla $x = 2 \in (0;\ 3)$ . W $x = 3$ pochodna nie istnieje (zero w mianowniku), ale to koniec przedziału - i tak jest kandydatem.

Krok 4. Wartości.

$f(0) = 0, \qquad f(2) = 2\sqrt{1} = 2, \qquad f(3) = 3 \cdot 0 = 0$

Odpowiedź. Wartość największa $f(2) = 2$ , wartość najmniejsza $0$ - przyjmowana w obu końcach przedziału.

Funkcja f(x) = x√(3 − x): na przedziale ⟨0; 3⟩ wartość największa to f(2) = 2, a najmniejsza 0 (w obu końcach). Dla x → −∞ wartości spadają bez ograniczenia.

Przedział otwarty lub półotwarty

Gdy przedziałowi brakuje końca, twierdzenie Weierstrassa nie obowiązuje i wartość największa albo najmniejsza może nie istnieć. Algorytm trzeba wtedy uzupełnić: zamiast wartości w brakującym końcu liczymy granicę funkcji przy $x$ dążącym do tego końca i sprawdzamy, czy jakaś wartość wewnątrz ją przekracza.

Przykład 4. Czy funkcja $f(x) = x^3 - 3x^2$ ma w przedziale $(1;\ 4)$ wartość największą i najmniejszą?

Krok 1. $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$ ; w przedziale $(1;\ 4)$ leży tylko $x = 2$ . Na $(1;\ 2)$ pochodna jest ujemna, na $(2;\ 4)$ dodatnia - funkcja maleje, a potem rośnie.

Krok 2. Minimum. $f(2) = 8 - 12 = -4$ . Funkcja maleje aż do $x = 2$ , a potem rośnie, więc $-4$ jest wartością najmniejszą w całym przedziale.

Krok 3. Maksimum. Przy $x \to 4^-$ wartości rosną do $f(4) = 16$ , ale punktu $4$ w przedziale nie ma. Dla każdego $x \in (1;\ 4)$ jest $f(x) < 16$ , a jednocześnie dla każdej liczby mniejszej od $16$ znajdziemy $x$ bliżej czwórki, gdzie $f(x)$ jest od niej większe. Przy $x \to 1^+$ wartości zbliżają się do $f(1) = -2$ , czyli do liczby mniejszej niż $16$ .

Odpowiedź. Wartość najmniejsza istnieje i wynosi $f(2) = -4$ ; wartości największej nie ma. Zbiór wartości funkcji w tym przedziale to $\langle -4;\ 16)$ .

Funkcja f(x) = x³ − 3x² na przedziale otwartym (1; 4): wartość najmniejsza f(2) = −4 istnieje, ale największej nie ma - wartości zbliżają się do 16, a końca x = 4 nie wolno wziąć.

Podobnie $f(x) = \frac{1}{x}$ w przedziale $(0;\ 1\rangle$ ma wartość najmniejszą $f(1) = 1$ , ale największej nie ma - przy $x \to 0^+$ funkcja rośnie bez ograniczenia.

Zbiór wartości funkcji ciągłej na przedziale

Funkcja ciągła ma własność Darboux: przyjmuje wszystkie wartości pośrednie. Jeśli więc na $\langle a;\ b\rangle$ jej wartość najmniejsza to $m$ , a największa $M$ , to przyjmuje każdą liczbę z przedziału $\langle m;\ M\rangle$ i żadnej innej:

$\text{funkcja ciągła na } \langle a;\ b\rangle \implies ZW = \langle m;\ M\rangle$

Z przykładów tej lekcji:

Funkcja	Przedział	Zbiór wartości
x³ − 12x + 5	⟨−3; 3⟩	⟨−11; 21⟩
(x² + 5)/(x + 2)	⟨−1; 3⟩	⟨2; 6⟩
x√(3 − x)	⟨0; 3⟩	⟨0; 2⟩
x√(3 − x)	(−∞; 3⟩ (cała dziedzina)	(−∞; 2⟩
x³ − 3x²	(1; 4)	⟨−4; 16)

Przy całej dziedzinie $(-\infty;\ 3\rangle$ funkcji $x\sqrt{3 - x}$ dochodzi zachowanie w $-\infty$ : dla $x \to -\infty$ czynnik $x$ dąży do $-\infty$ , a $\sqrt{3 - x}$ do $+\infty$ , więc iloczyn dąży do $-\infty$ . Wartości najmniejszej nie ma, a największa to nadal $2$ , bo na $(-\infty;\ 0\rangle$ funkcja jest niedodatnia. To praktyczny sposób na zbiór wartości funkcji, którego nie da się odczytać z gotowego wykresu.

Typowe błędy

Pominięcie końców przedziału. Wartość największa bardzo często leży na końcu (przykład 2: $f(-1) = 6$ ), a nie w maksimum lokalnym.
Uwzględnienie punktu krytycznego spoza przedziału. W przykładzie 2 $x = -5$ jest punktem krytycznym, ale $f(-5)$ nie ma nic wspólnego z przedziałem $\langle -1;\ 3\rangle$ .
Brak sprawdzenia ciągłości. Gdy do przedziału wpada miejsce zerowe mianownika, funkcja może być nieograniczona i wartości skrajnej nie ma, choć „kandydaci” dają jakieś liczby.
Przedział otwarty potraktowany jak domknięty. W $(1;\ 4)$ nie wolno podać $f(4) = 16$ jako wartości największej - tej liczby funkcja nie przyjmuje.
Odpowiedź bez wartości. Pytanie brzmi „jaka jest wartość największa”, więc odpowiedzią jest liczba $f(x_0)$ , a nie sam argument $x_0$ .

Najczęstsze pytania

Jak wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale? Oblicz pochodną i znajdź punkty krytyczne leżące wewnątrz przedziału. Policz wartości funkcji w tych punktach i na obu końcach przedziału. Największa z otrzymanych liczb to wartość największa, najmniejsza - wartość najmniejsza.

Czym się różni wartość największa od maksimum lokalnego? Maksimum lokalne jest największe tylko w pobliżu punktu, a wartość największa - w całym przedziale. Wartość największa może leżeć na końcu przedziału, gdzie maksimum lokalnego w ogóle nie ma.

Co mówi twierdzenie Weierstrassa? Funkcja ciągła w przedziale domkniętym $\langle a;\ b\rangle$ przyjmuje w nim wartość największą i najmniejszą. Twierdzenie gwarantuje istnienie tych wartości; gdzie leżą, ustalamy, porównując wartości na końcach i w punktach krytycznych.

Czy funkcja zawsze ma wartość największą w przedziale? W przedziale domkniętym - tak, jeśli jest w nim ciągła. W przedziale otwartym może jej nie mieć: $f(x) = x^3 - 3x^2$ w przedziale $(1;\ 4)$ zbliża się do $16$ , ale tej wartości nie przyjmuje.

Czy trzeba sprawdzać, czy punkt krytyczny to maksimum, czy minimum? Nie. W przedziale domkniętym wystarczy porównać wartości wszystkich kandydatów - końców i punktów krytycznych. Badanie znaku pochodnej jest potrzebne dopiero przy przedziale otwartym albo przy całej prostej.

Co zrobić, gdy punkt krytyczny nie należy do przedziału? Pominąć go. Jeśli w przedziale nie ma żadnego punktu krytycznego, funkcja jest w nim monotoniczna, więc wartość największa i najmniejsza leżą na końcach.

Jak wyznaczyć zbiór wartości funkcji za pomocą pochodnej? Dla funkcji ciągłej na przedziale domkniętym zbiór wartości to $\langle m;\ M\rangle$ , gdzie $m$ i $M$ to wartość najmniejsza i największa. Na przedziale nieograniczonym trzeba jeszcze policzyć granice funkcji w $\pm\infty$ (lub na otwartych końcach).

Przećwicz

Wartość największa i najmniejsza - zadania → - 7 zadań: punkt krytyczny poza przedziałem, funkcja monotoniczna w przedziale, wielomian czwartego stopnia z wartością największą na końcu, funkcja wymierna i z pierwiastkiem, parametr wyznaczany z wartości najmniejszej oraz zbiór wartości na prostej i na półprostej otwartej.
Monotoniczność i ekstrema - zadania → - zadania 5 i 6 tego typu też dotyczą wartości w przedziale domkniętym (wielomian trzeciego stopnia i funkcja $x + \frac{4}{x}$ ).
Cały zestaw: granica i pochodna funkcji - zadania →

Podsumowanie

Funkcja ciągła na $\langle a;\ b\rangle$ ma wartość największą i najmniejszą (twierdzenie Weierstrassa).
Kandydaci: oba końce przedziału oraz punkty krytyczne z jego wnętrza; porównujemy wartości.
Punkty krytyczne spoza przedziału odrzucamy; bez punktów krytycznych wystarczą końce.
Wartość skrajna może być przyjmowana w kilku punktach i często leży na końcu przedziału.
W przedziale otwartym wartość skrajna może nie istnieć - zamiast wartości w końcu liczymy granicę.
Zbiór wartości funkcji ciągłej na $\langle a;\ b\rangle$ to $\langle m;\ M\rangle$ .

Zobacz też

Ekstrema lokalne funkcji - poprzednia lekcja: warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum.
Zadania optymalizacyjne z pochodną - następna lekcja: ta sama metoda zastosowana do pudełek, brył i tras.
Najmniejsza i największa wartość funkcji kwadratowej - przypadek paraboli, rozwiązywany bez pochodnej.
Twierdzenie o wartości pośredniej - dlaczego funkcja ciągła przyjmuje wszystkie wartości między najmniejszą a największą.
Pochodna funkcji - definicja, wzory i zastosowania - zwięzłe zestawienie zastosowań pochodnej.