Skala mapy - skala liczbowa, mianowana i liniowa, odległość i pole na mapie

Klasa 3 liceum i technikum

Skala mapy to stosunek odległości na mapie do odpowiadającej jej odległości w terenie. Skala $1 : 50\,000$ oznacza, że $1$ cm na mapie odpowiada $50\,000$ cm, czyli $500$ m w terenie. Mapa jest figurą podobną do terenu w skali $\frac{1}{k}$, więc odległości przeliczamy przez $k$, a pola przez $k^2$ - tak samo jak przy każdych figurach podobnych.

Trzy sposoby zapisu skali

• Skala liczbowa: $1 : 50\,000$ (albo ułamek $\frac{1}{50\,000}$). Obie liczby są w tych samych jednostkach - dowolnych.
• Skala mianowana: „$1$ cm - $500$ m”. Mówi wprost, ile metrów lub kilometrów w terenie przypada na centymetr mapy.
• Skala liniowa (podziałka): odcinek podzielony na części z podpisanymi odległościami w terenie. Jej zaletą jest to, że zostaje prawdziwa po powiększeniu lub pomniejszeniu mapy na ksero.

Zamiana skali liczbowej na mianowaną to zamiana jednostek: $1\ \text{m} = 100\ \text{cm}$, $1\ \text{km} = 100\,000\ \text{cm}$. Skreślamy dwa zera, żeby dostać metry, albo pięć zer, żeby dostać kilometry.

Odległość w terenie i na mapie

Przykład 1. Na mapie w skali $1 : 50\,000$ odcinek między dwiema wsiami ma $7{,}4$ cm. Jaka jest odległość w terenie?

Krok 1. Skala mianowana. $1$ cm na mapie to $50\,000$ cm $= 500$ m $= 0{,}5$ km.

Krok 2. Mnożenie. $7{,}4 \cdot 0{,}5\ \text{km} = 3{,}7\ \text{km}$.

Odpowiedź. $3{,}7$ km (w linii prostej - droga zwykle jest dłuższa).

Przykład 2. Ścieżka rowerowa ma $2{,}6$ km. Jak długi będzie odcinek na planie w skali $1 : 20\,000$?

Krok 1. Skala mianowana. $1$ cm to $20\,000$ cm $= 200$ m $= 0{,}2$ km.

Krok 2. Dzielenie. $\frac{2{,}6}{0{,}2} = 13$.

Odpowiedź. $13$ cm.

Przykład 3. Odległość $4{,}5$ km zmierzona na mapie ma $9$ cm. W jakiej skali jest mapa?

Krok 1. Te same jednostki. $4{,}5\ \text{km} = 450\,000\ \text{cm}$.

Krok 2. Stosunek. $k = \frac{450\,000}{9} = 50\,000$.

Odpowiedź. Skala $1 : 50\,000$. Najczęstszy błąd to dzielenie liczb w różnych jednostkach ($\frac{4{,}5}{9} = 0{,}5$ - wynik bez sensu jako skala).

Pole na mapie - skala do kwadratu

Każdy wymiar w terenie jest $k$ razy większy niż na mapie, więc pole jest $k^2$ razy większe. Kwadrat $1 \times 1$ cm na mapie $1 : 10\,000$ to w terenie kwadrat $100 \times 100$ m, czyli $10\,000$ m² $= 1$ ha - a nie $100$ m².

$1\ \text{ha} = 10\,000\ \text{m}^2 = 100\ \text{a}, \qquad 1\ \text{km}^2 = 100\ \text{ha} = 1\,000\,000\ \text{m}^2.$

Przykład 4. Na planie w skali $1 : 5\,000$ park zajmuje $18$ cm². Jaką ma powierzchnię w hektarach?

Krok 1. Pole jednego centymetra kwadratowego. $1$ cm to $50$ m, więc $1$ cm² to $50 \cdot 50 = 2\,500$ m² $= 0{,}25$ ha.

Krok 2. Mnożenie. $18 \cdot 0{,}25 = 4{,}5$ ha.

Odpowiedź. $4{,}5$ ha $= 45\,000$ m².

Przykład 5. Jezioro ma powierzchnię $48$ km². Ile centymetrów kwadratowych zajmie na mapie w skali $1 : 200\,000$?

Krok 1. $1$ cm to $2$ km, więc $1$ cm² to $2 \cdot 2 = 4$ km².

Krok 2. $\frac{48}{4} = 12$.

Odpowiedź. $12$ cm².

Porównywanie map w różnych skalach

Przykład 6. Ten sam las ma na mapie w skali $1 : 25\,000$ pole $8$ cm². Jakie pole będzie miał na mapie w skali $1 : 50\,000$? Jak zmieni się długość drogi przez las?

Krok 1. Stosunek skal. Druga mapa pomniejsza teren dwa razy bardziej: $\frac{50\,000}{25\,000} = 2$.

Krok 2. Długość i pole. Długości na drugiej mapie są $2$ razy krótsze, a pola $2^2 = 4$ razy mniejsze: $\frac{8}{4} = 2$ cm².

Odpowiedź. $2$ cm², a droga będzie na mapie o połowę krótsza. Sprawdzenie przez teren: $8 \cdot 6{,}25 = 50$ ha oraz $2 \cdot 25 = 50$ ha.

Duża i mała skala. Skala $1 : 25\,000$ jest większa niż $1 : 50\,000$, bo $\frac{1}{25\,000} > \frac{1}{50\,000}$. Mapa w większej skali pokazuje mniejszy obszar, ale dokładniej. To zwykłe porównanie ułamków, które często się myli: „większa liczba w mianowniku” to mniejsza skala.

Najczęstsze pytania

Co oznacza skala 1 : 50 000? Że $1$ cm na mapie odpowiada $50\,000$ cm, czyli $500$ m w terenie. Każda odległość w terenie jest $50\,000$ razy większa niż na mapie.

Jak zamienić skalę liczbową na mianowaną? Zamień drugą liczbę z centymetrów na metry (skreśl dwa zera) albo na kilometry (skreśl pięć zer): $1 : 25\,000$ to „$1$ cm - $250$ m”, a $1 : 200\,000$ to „$1$ cm - $2$ km”.

Jak obliczyć skalę mapy? Podziel odległość w terenie przez odległość na mapie, wyrażone w tych samych jednostkach. Jeśli $3$ km ma na mapie $6$ cm, to $k = \frac{300\,000}{6} = 50\,000$.

Ile hektarów to 1 cm² na mapie 1 : 10 000? Jeden hektar: $1$ cm to $100$ m, więc $1$ cm² to $100 \cdot 100 = 10\,000$ m².

Jak obliczyć pole w terenie, znając pole na mapie? Pomnóż pole z mapy przez $k^2$ (kwadrat mianownika skali) albo - prościej - zamień $1$ cm na metry, podnieś do kwadratu i pomnóż przez liczbę centymetrów kwadratowych.

Która skala jest większa: 1 : 10 000 czy 1 : 100 000?$1 : 10\,000$, bo $\frac{1}{10\,000} > \frac{1}{100\,000}$. Mapa w tej skali jest dokładniejsza, ale obejmuje mniejszy teren.

Przećwicz

• Skala mapy i planu → - odległości w terenie i na mapie, skala z dwóch pomiarów, skala pól, dwie mapy tej samej okolicy, plan działki.
• Pola figur podobnych → - stosunek pól $k^2$ i skala z pól.
• Czworokąty podobne → - plan w skali i prostokąty podobne.

Podsumowanie

• Skala $1 : k$: odległość w terenie $= k \cdot$ odległość na mapie (w tych samych jednostkach).
• Skala mianowana: zamień $k$ cm na metry lub kilometry („$1$ cm - $500$ m”).
• Pole w terenie $= k^2 \cdot$ pole na mapie; w skali $1 : 10\,000$ jeden cm² to hektar.
• Skala z pomiaru: $k = \frac{\text{teren}}{\text{mapa}}$ po sprowadzeniu do jednej jednostki.
• Większa skala (mniejszy mianownik) = dokładniejsza mapa mniejszego obszaru.