Geometria płaska - czworokąty: kurs, klasa 3

Klasa 3 liceum i technikum

Czworokąt to wielokąt o czterech bokach i czterech wierzchołkach. Każda jego przekątna w czworokącie wypukłym dzieli go na dwa trójkąty, dlatego suma kątów czworokąta wynosi zawsze $360^\circ$. Czworokąty dzielimy według tego, ile mają par boków równoległych: trapezoid nie ma żadnej, trapez ma co najmniej jedną, a równoległobok - dwie.

Trójkąty znasz już dobrze - ten dział korzysta z nich na każdym kroku. Własności trapezu i równoległoboku udowodnimy przez podział na trójkąty przystające, okrąg opisany na czworokącie wyprowadzimy z twierdzenia o kącie wpisanym, a okrąg wpisany - z równości odcinków stycznych. Na końcu zobaczysz, dlaczego dla czworokątów nie istnieje „cecha kąt-kąt-kąt” i kiedy dwa czworokąty są podobne, a potem policzysz pola czworokątów na kilka sposobów - z sinusa, z przekątnych, przez podział na trójkąty - i przeliczysz odległości oraz pola na mapie.

Czego nauczysz się w tym dziale:

• dzielić czworokąty na trapezoidy, trapezy i równoległoboki i rozpoznawać deltoid;
• korzystać z własności trapezu, w tym z linii środkowej i trapezu równoramiennego;
• sprawdzać, czy czworokąt jest równoległobokiem, rombem lub prostokątem;
• rozstrzygać, kiedy na czworokącie można opisać okrąg ($\alpha + \gamma = 180^\circ$);
• rozstrzygać, kiedy w czworokąt można wpisać okrąg ($a + c = b + d$) i liczyć jego promień;
• przeprowadzać dowody z czworokątami wpisanymi i opisanymi;
• rozpoznawać czworokąty podobne i liczyć ich obwody i pola;
• liczyć pola prostokąta, równoległoboku, rombu i trapezu z różnych danych;
• obliczać pole dowolnego czworokąta (podział przekątną, wzór z przekątnymi, kratka);
• przeliczać odległości i pola w skali mapy.

Warto wcześniej znać sumę kątów wielokąta, przystawanie i podobieństwo trójkątów, kąt wpisany i środkowy, odcinki styczne oraz pola czworokątów.

Do każdej lekcji są zadania z pełnym rozwiązaniem krok po kroku - zestaw zadań z czworokątów: 68 zadań w 10 typach, od deltoidu i trapezu po okrąg opisany i wpisany, dowody i czworokąty podobne. Zadania na pola i skalę mapy są w zestawie pola figur: typy pola czworokątów i skala mapy i planu.

Zestawienie wzorów na pola i obwody wszystkich czworokątów jest na stronie czworokąty - wzory i własności.