Ciąg arytmetyczny i geometryczny w jednym zadaniu

Klasa 3 liceum i technikum

Zadanie łączące ciąg arytmetyczny i geometryczny to zadanie, w którym te same liczby (albo liczby powstałe z nich po dodaniu, odjęciu czy przestawieniu) spełniają jednocześnie warunek ciągu arytmetycznego i warunek ciągu geometrycznego. Rozwiązuje się je zawsze tak samo: każdy warunek zamieniamy na jedno równanie i rozwiązujemy powstały układ.

Ta lekcja jest krótka, bo nie wprowadza nowej teorii - zbiera to, co już znasz z lekcji ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny, i pokazuje, jak łączyć oba warunki. Takie zadania są stałym punktem matury, dlatego warto mieć na nie gotowy schemat. Cały rozdział: ciągi - kurs dla klasy 3.

Schemat rozwiązywania

1. Oznacz niewiadome tak, żeby było ich jak najmniej. Gdy znasz sumę trzech wyrazów ciągu arytmetycznego, pisz $a - r,\ a,\ a + r$ - suma wynosi wtedy $3a$, więc od razu masz środkowy wyraz. Gdy znasz iloczyn trzech wyrazów ciągu geometrycznego, pisz $\frac{a}{q},\ a,\ aq$ - iloczyn wynosi $a^3$.
2. Zapisz drugi warunek wzorem $2b = a + c$ albo $b^2 = ac$ dla liczb po zmianie.
3. Rozwiąż równanie (zwykle kwadratowe - bywają dwa rozwiązania).
4. Sprawdź każde rozwiązanie w treści: czy wyrazy ciągu geometrycznego nie są zerami, czy ciąg miał być rosnący, czy liczby miały być dodatnie.

Przykłady

Przykład 1. Liczby $x,\ 5,\ y$ tworzą ciąg arytmetyczny, a liczby $x,\ 4,\ y$ - ciąg geometryczny. Wyznacz $x$ i $y$.

Krok 1. Dwa warunki. Z ciągu arytmetycznego: $2 \cdot 5 = x + y$, czyli $x + y = 10$. Z ciągu geometrycznego: $4^2 = x \cdot y$, czyli $xy = 16$.

Krok 2. Układ. Liczby $x$ i $y$ mają sumę $10$ i iloczyn $16$, więc są pierwiastkami równania (por. wzory Viète’a):

$t^2 - 10t + 16 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (t - 2)(t - 8) = 0$

Odpowiedź. $x = 2,\ y = 8$ albo $x = 8,\ y = 2$. Sprawdzenie: $2, 5, 8$ - różnica $3$; $2, 4, 8$ - iloraz $2$.

Przykład 2. Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny, a ich suma wynosi $15$. Jeśli do pierwszej dodamy $1$, do drugiej $3$, a do trzeciej $9$, otrzymamy ciąg geometryczny. Wyznacz te liczby.

Krok 1. Oznaczenia. Liczby to $a - r,\ a,\ a + r$. Suma: $3a = 15$, więc $a = 5$, a liczby to $5 - r,\ 5,\ 5 + r$.

Krok 2. Po zmianie dostajemy $6 - r,\ 8,\ 14 + r$. Warunek ciągu geometrycznego:

$8^2 = (6 - r)(14 + r) \quad\Longrightarrow\quad 64 = 84 - 8r - r^2 \quad\Longrightarrow\quad r^2 + 8r - 20 = 0$

Krok 3. $\Delta = 64 + 80 = 144$, więc $r = \frac{-8 - 12}{2} = -10$ lub $r = \frac{-8 + 12}{2} = 2$.

Odpowiedź. Dla $r = 2$: liczby $3,\ 5,\ 7$ (po zmianie $4,\ 8,\ 16$, iloraz $2$). Dla $r = -10$: liczby $15,\ 5,\ -5$ (po zmianie $16,\ 8,\ 4$, iloraz $\frac{1}{2}$). Oba rozwiązania są poprawne - treść nie wyklucza żadnego.

Przykład 3. Pierwszy, drugi i czwarty wyraz niestałego ciągu arytmetycznego tworzą (w tej kolejności) ciąg geometryczny. Pierwszy wyraz wynosi $3$. Wyznacz różnicę ciągu arytmetycznego i iloraz ciągu geometrycznego.

Krok 1. Wyrazy to $a_1 = 3$, $a_2 = 3 + r$, $a_4 = 3 + 3r$. Warunek ciągu geometrycznego:

$(3 + r)^2 = 3(3 + 3r) \quad\Longrightarrow\quad 9 + 6r + r^2 = 9 + 9r \quad\Longrightarrow\quad r^2 - 3r = 0$

Krok 2. $r(r - 3) = 0$, więc $r = 0$ albo $r = 3$. Ciąg miał być niestały, czyli $r \neq 0$.

Odpowiedź. $r = 3$. Wyrazy $3,\ 6,\ 12$ tworzą ciąg geometryczny o ilorazie $q = 2$.

Przykład 4. Ciąg $(a,\ b,\ c)$ jest geometryczny i rosnący, a $a + b + c = 26$. Jeśli środkowy wyraz zwiększymy o $4$, otrzymamy ciąg arytmetyczny. Wyznacz $a,\ b,\ c$.

Krok 1. Oznaczenia. $b = aq$, $c = aq^2$. Warunki:

$a(1 + q + q^2) = 26 \qquad\text{oraz}\qquad 2(aq + 4) = a + aq^2$

Krok 2. Drugi warunek porządkujemy: $a(q^2 - 2q + 1) = 8$, czyli $a(q - 1)^2 = 8$. Dzielimy pierwsze równanie przez drugie (obie strony drugiego są niezerowe):

$\frac{1 + q + q^2}{(q - 1)^2} = \frac{26}{8} = \frac{13}{4} \quad\Longrightarrow\quad 9q^2 - 30q + 9 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3q^2 - 10q + 3 = 0$

Krok 3. $\Delta = 100 - 36 = 64$, więc $q = 3$ lub $q = \frac{1}{3}$. Dla $q = 3$: $a = \frac{8}{4} = 2$, ciąg $2,\ 6,\ 18$ - rosnący. Dla $q = \frac{1}{3}$: $a = 18$, ciąg $18,\ 6,\ 2$ - malejący, odpada.

Odpowiedź. $a = 2,\ b = 6,\ c = 18$. Sprawdzenie: $2,\ 10,\ 18$ to ciąg arytmetyczny o różnicy $8$.

Typowe błędy

• Zgubione drugie rozwiązanie. Równanie kwadratowe często daje dwa ciągi i oba pasują do treści - jak w przykładzie 2. Odrzucamy rozwiązanie tylko wtedy, gdy treść coś wyklucza (rosnący, dodatnie, niestały).
• Warunek $b^2 = ac$ bez sprawdzenia zer. Liczby $0,\ 0,\ 5$ spełniają $0^2 = 0 \cdot 5$, ale nie tworzą ciągu geometrycznego o niezerowych wyrazach - po rozwiązaniu sprawdź wyrazy.
• Zła kolejność. „$x,\ 4,\ y$ tworzą ciąg geometryczny” znaczy, że $4$ jest wyrazem środkowym. Warunek zawsze stawia środkowy wyraz po lewej stronie.
• Trzy niewiadome zamiast dwóch. Oznaczenie $a,\ b,\ c$ zamiast $a - r,\ a,\ a + r$ daje dłuższy układ i więcej okazji do pomyłki.

Najczęstsze pytania

Jak sprawdzić, czy trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny? Sprawdź, czy podwojony wyraz środkowy jest równy sumie skrajnych: $2b = a + c$. Dla liczb $2,\ 5,\ 8$: $2 \cdot 5 = 10 = 2 + 8$, więc tak.

Jak sprawdzić, czy trzy liczby tworzą ciąg geometryczny? Sprawdź, czy kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi skrajnych: $b^2 = ac$ (przy wyrazach różnych od zera). Dla $2,\ 4,\ 8$: $16 = 2 \cdot 8$.

Czy ciąg może być jednocześnie arytmetyczny i geometryczny? Tak, ale tylko ciąg stały o wyrazach różnych od zera, np. $5,\ 5,\ 5,\ \ldots$ - ma różnicę $r = 0$ i iloraz $q = 1$. Żaden niestały ciąg nie spełnia obu warunków naraz.

Jak oznaczyć trzy liczby tworzące ciąg arytmetyczny? Najwygodniej $a - r,\ a,\ a + r$: ich suma to $3a$, więc znajomość sumy od razu daje wyraz środkowy.

Jak oznaczyć trzy liczby tworzące ciąg geometryczny? Jako $\frac{a}{q},\ a,\ aq$, gdy znasz iloczyn (wynosi on $a^3$), albo $a,\ aq,\ aq^2$, gdy znasz sumę.

Dlaczego w takich zadaniach wychodzą dwa rozwiązania? Bo warunek ciągu geometrycznego prowadzi zwykle do równania kwadratowego. Oba pierwiastki dają poprawne ciągi, chyba że treść któryś wyklucza (np. każe, żeby ciąg był rosnący).

Przećwicz

• Ciąg arytmetyczny i geometryczny - zadania → - 7 zadań: warunki $2b = a + c$ i $b^2 = ac$, trzy liczby o danej sumie zamienione w ciąg geometryczny, wyrazy ciągu arytmetycznego tworzące ciąg geometryczny i liczby o danym iloczynie.
• Cały zestaw: ciągi - zadania →

Podsumowanie

• Warunek ciągu arytmetycznego: $2b = a + c$; geometrycznego: $b^2 = ac$.
• Oznaczenia $a - r,\ a,\ a + r$ i $\frac{a}{q},\ a,\ aq$ zmniejszają liczbę niewiadomych.
• Każdy warunek z treści to jedno równanie; razem dają układ, zwykle z równaniem kwadratowym.
• Oba rozwiązania sprawdzamy z treścią: monotoniczność, znak, wyrazy niezerowe.
• Jedynym ciągiem arytmetycznym i geometrycznym naraz jest ciąg stały niezerowy.

Zobacz też

• Suma ciągu geometrycznego - poprzednia lekcja.
• Procent składany, lokaty i kredyty - następna lekcja: ciąg geometryczny w finansach.
• Ciąg arytmetyczny - wzory, różnica, suma i ciąg geometryczny - wzory, iloraz, suma - zestawienia wzorów.
• Równania kwadratowe - narzędzie, od którego zależy większość tych zadań.