Styczna do wykresu funkcji - jak wyznaczyć równanie stycznej

Klasa 3 liceum i technikum

Styczna do wykresu funkcji $f$ w punkcie $(x_0, f(x_0))$ to prosta przechodząca przez ten punkt, której współczynnik kierunkowy jest równy pochodnej $f'(x_0)$. Ma równanie $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$. Do wyznaczenia stycznej potrzeba więc tylko dwóch liczb: wartości funkcji $f(x_0)$ i wartości pochodnej $f'(x_0)$.

To kolejna lekcja rozdziału elementy analizy matematycznej. W lekcji o pochodnej funkcji w punkcie zobaczyliśmy, że pochodna to nachylenie stycznej, a w lekcjach o wzorach na pochodne i pochodnej funkcji złożonej nauczyliśmy się ją szybko liczyć. Teraz zamieniamy tę wiedzę na równanie prostej.

Skąd się bierze równanie stycznej

Prosta o współczynniku kierunkowym $a$ przechodząca przez punkt $(x_0, y_0)$ ma równanie $y - y_0 = a(x - x_0)$ - to wzór znany z lekcji o równaniu kierunkowym prostej. Styczna przechodzi przez punkt wykresu, więc $y_0 = f(x_0)$, a jej nachylenie to pochodna, więc $a = f'(x_0)$. Po podstawieniu:

$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) \quad\Longleftrightarrow\quad y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0).$

Dlaczego nachylenie stycznej to akurat pochodna? Sieczna przez punkty $(x_0, f(x_0))$ i $(x_0 + h, f(x_0 + h))$ ma współczynnik kierunkowy równy ilorazowi różnicowemu $\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$. Gdy $h \to 0$, sieczna obraca się wokół punktu $(x_0, f(x_0))$ i w granicy staje się styczną, a iloraz różnicowy - pochodną.

Schemat wyznaczania stycznej w danym punkcie:

1. Oblicz $f(x_0)$ - to druga współrzędna punktu styczności.
2. Oblicz pochodną $f'(x)$ i jej wartość $f'(x_0)$ - to współczynnik kierunkowy stycznej.
3. Podstaw obie liczby do wzoru $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$ i uporządkuj do postaci $y = ax + b$.
4. Sprawdź: punkt $(x_0, f(x_0))$ musi leżeć na otrzymanej prostej.

Styczna w danym punkcie - przykłady

Przykład 1. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f(x) = -x^2 + 4x$ w punkcie o odciętej $x_0 = 1$.

Krok 1. Punkt styczności. $f(1) = -1 + 4 = 3$, więc punkt to $(1, 3)$.

Krok 2. Nachylenie. $f'(x) = -2x + 4$, więc $f'(1) = 2$.

Krok 3. Równanie.

$y = 2(x - 1) + 3 = 2x + 1.$

Odpowiedź. $y = 2x + 1$. Sprawdzenie: dla $x = 1$ prosta daje $y = 3$ - przechodzi przez punkt styczności.

Przykład 2. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f(x) = \sqrt{x}$ w punkcie o odciętej $x_0 = 4$.

Krok 1. Punkt styczności. $f(4) = \sqrt{4} = 2$, punkt $(4, 2)$.

Krok 2. Nachylenie. Ze wzoru $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ (dla $x > 0$): $f'(4) = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$.

Krok 3. Równanie.

$y = \frac{1}{4}(x - 4) + 2 = \frac{1}{4}x + 1.$

Odpowiedź. $y = \frac{1}{4}x + 1$. Ta prosta daje dobre przybliżenie pierwiastka w pobliżu liczby $4$: na przykład $\sqrt{4{,}4} \approx \frac{4{,}4}{4} + 1 = 2{,}1$, a dokładnie $\sqrt{4{,}4} = 2{,}0976\ldots$ To właśnie praktyczne znaczenie stycznej: blisko punktu styczności zastępuje wykres prostą.

Kąt nachylenia stycznej

Współczynnik kierunkowy prostej to tangens kąta, jaki prosta tworzy z dodatnią półosią $Ox$. Dla stycznej oznacza to:

$\operatorname{tg} \alpha = f'(x_0), \qquad \alpha \in \langle 0^\circ;\ 180^\circ).$

Najczęściej spotykane wartości:

Przykład 3. Pod jakim kątem do osi $Ox$ nachylona jest styczna do wykresu funkcji $f(x) = x^2 - 3x + 1$ w punkcie o odciętej $x_0 = 1$, a pod jakim w punkcie o odciętej $x_0 = 2$?

Krok 1. Pochodna. $f'(x) = 2x - 3$.

Krok 2. Punkt $x_0 = 1$. $f'(1) = -1$, więc $\operatorname{tg} \alpha = -1$ i $\alpha = 135^\circ$.

Krok 3. Punkt $x_0 = 2$. $f'(2) = 1$, więc $\operatorname{tg} \alpha = 1$ i $\alpha = 45^\circ$.

Odpowiedź. W punkcie o odciętej $1$ styczna tworzy z osią $Ox$ kąt $135^\circ$, a w punkcie o odciętej $2$ - kąt $45^\circ$. Obie styczne są do siebie prostopadłe, bo $(-1) \cdot 1 = -1$.

Styczna równoległa lub prostopadła do danej prostej

Tym razem znamy nachylenie stycznej, a nie znamy punktu styczności. Niewiadomą jest $x_0$ i wyznaczamy ją z równania na pochodną. Warunki są takie same jak dla dowolnych prostych w postaci kierunkowej:

• proste $y = a_1 x + b_1$ i $y = a_2 x + b_2$ są równoległe, gdy $a_1 = a_2$;
• są prostopadłe, gdy $a_1 \cdot a_2 = -1$.

Przykład 4 (równoległa). Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f(x) = 2x^2 - x$, która jest równoległa do prostej $y = 3x + 5$.

Krok 1. Warunek. Styczna ma mieć współczynnik $3$, więc szukamy $x_0$, dla którego $f'(x_0) = 3$.

Krok 2. Punkt styczności. $f'(x) = 4x - 1$, a z równania $4x_0 - 1 = 3$ mamy $x_0 = 1$. Wtedy $f(1) = 2 - 1 = 1$.

Krok 3. Równanie.

$y = 3(x - 1) + 1 = 3x - 2.$

Odpowiedź. $y = 3x - 2$. Ma inny wyraz wolny niż $y = 3x + 5$, więc jest do niej równoległa, a nie się z nią pokrywa.

Przykład 5 (prostopadła). Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f(x) = x^2 + 2x$, która jest prostopadła do prostej $x + 4y - 1 = 0$.

Krok 1. Współczynnik danej prostej. Przekształcamy do postaci kierunkowej: $4y = -x + 1$, czyli $y = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{4}$. Współczynnik kierunkowy to $-\frac{1}{4}$.

Krok 2. Współczynnik stycznej. Z warunku prostopadłości $f'(x_0) \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = -1$, więc $f'(x_0) = 4$.

Krok 3. Punkt styczności. $f'(x) = 2x + 2$, a $2x_0 + 2 = 4$ daje $x_0 = 1$. Wtedy $f(1) = 3$.

Krok 4. Równanie.

$y = 4(x - 1) + 3 = 4x - 1.$

Odpowiedź. $y = 4x - 1$.

Gdy pochodna jest wielomianem stopnia drugiego lub wyższego, równanie $f'(x_0) = a$ może mieć kilka rozwiązań - wtedy jest kilka stycznych o tym samym nachyleniu (po jednej w każdym punkcie) albo nie ma żadnej, gdy równanie nie ma rozwiązań.

Styczna pozioma

Styczna jest pozioma, gdy jej współczynnik kierunkowy jest równy zero, czyli gdy $f'(x_0) = 0$. Jej równanie ma wtedy postać $y = f(x_0)$. Takie punkty są kandydatami na ekstrema lokalne - to temat jednej z kolejnych lekcji.

Przykład 6. Wyznacz równania wszystkich poziomych stycznych do wykresu funkcji $f(x) = x^3 - 12x$.

Krok 1. Warunek. $f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x - 2)(x + 2)$, więc $f'(x_0) = 0$ dla $x_0 = -2$ i dla $x_0 = 2$.

Krok 2. Wartości funkcji. $f(-2) = -8 + 24 = 16$ oraz $f(2) = 8 - 24 = -16$.

Odpowiedź. $y = 16$ (w punkcie $(-2, 16)$) oraz $y = -16$ (w punkcie $(2, -16)$).

Styczna przechodząca przez punkt spoza wykresu

To najtrudniejszy typ zadania, bo nie znamy ani punktu styczności, ani nachylenia - znamy tylko punkt $P$, przez który styczna ma przejść. Sposób jest zawsze ten sam:

1. Oznacz odciętą punktu styczności literą, np. $a$.
2. Napisz równanie stycznej w punkcie $a$: $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.
3. Podstaw współrzędne punktu $P$ i rozwiąż równanie z niewiadomą $a$.
4. Każde rozwiązanie $a$ daje jedną styczną.

Przykład 7. Wyznacz równania stycznych do wykresu funkcji $f(x) = x^2$, które przechodzą przez punkt $P(0, -4)$.

Krok 1. Punkt $P$ nie leży na wykresie, bo $f(0) = 0 \neq -4$. Odciętą punktu styczności oznaczamy przez $a$.

Krok 2. Styczna w punkcie $a$. $f(a) = a^2$, $f'(a) = 2a$:

$y = 2a(x - a) + a^2 = 2ax - a^2.$

Krok 3. Styczna przechodzi przez $P$. Podstawiamy $x = 0$, $y = -4$:

$-4 = -a^2 \quad\Longleftrightarrow\quad a^2 = 4 \quad\Longleftrightarrow\quad a = 2 \ \text{lub} \ a = -2.$

Krok 4. Styczne. Dla $a = 2$: $y = 4x - 4$, dla $a = -2$: $y = -4x - 4$.

Odpowiedź. $y = 4x - 4$ oraz $y = -4x - 4$; punkty styczności to $(2, 4)$ i $(-2, 4)$.

Z punktu leżącego „pod” parabolą $y = x^2$ wychodzą dwie styczne, z punktu na paraboli - jedna, a z punktu „nad” parabolą - żadna (równanie z kroku 3 nie ma wtedy rozwiązań).

Styczna z parametrem

Czasem pytanie brzmi odwrotnie: dana jest prosta z parametrem i trzeba ustalić, kiedy jest styczna. Warunki są dwa - zgodność nachylenia i wspólny punkt.

Przykład 8. Dla jakich wartości $m$ prosta $y = 2x + m$ jest styczna do wykresu funkcji $f(x) = x^3 - x$?

Krok 1. Nachylenie. Prosta ma współczynnik $2$, więc punkt styczności spełnia $f'(x_0) = 3x_0^2 - 1 = 2$, czyli $x_0^2 = 1$: $x_0 = 1$ lub $x_0 = -1$.

Krok 2. Styczne w tych punktach. $f(1) = 0$, więc styczna w $x_0 = 1$ to $y = 2(x - 1) = 2x - 2$. $f(-1) = 0$, więc styczna w $x_0 = -1$ to $y = 2(x + 1) = 2x + 2$.

Krok 3. Porównanie z prostą $y = 2x + m$. Prosta jest styczna dokładnie wtedy, gdy pokrywa się z jedną z tych dwóch stycznych.

Odpowiedź. $m = -2$ lub $m = 2$.

Styczna może przecinać wykres

W szkole podstawowej styczna do okręgu ma z nim tylko jeden punkt wspólny. Dla wykresów funkcji tak być nie musi: styczność to warunek lokalny - w pobliżu punktu styczności prosta „przylega” do wykresu, ale dalej może go przeciąć.

Styczna do $f(x) = x^3$ w punkcie $(1, 1)$: $f'(1) = 3$, więc $y = 3(x - 1) + 1 = 3x - 2$. Punkty wspólne prostej i wykresu wyznacza równanie

$x^3 = 3x - 2 \iff x^3 - 3x + 2 = 0 \iff (x - 1)^2(x + 2) = 0.$

Pierwiastek podwójny $x = 1$ to punkt styczności, a pierwiastek pojedynczy $x = -2$ - drugi punkt wspólny, w którym prosta przecina wykres. Pierwiastek podwójny to algebraiczny ślad styczności (o krotności pierwiastków więcej w lekcji o pierwiastku wielokrotnym).

Z drugiej strony nie każda funkcja ma styczną w każdym punkcie. Wykres $y = |x|$ ma w zerze „ostrze”: z lewej nachylenie $-1$, z prawej $1$, więc pochodna w zerze nie istnieje i styczna też nie (więcej w lekcji o pochodnej w punkcie).

Jakie dane, jaka niewiadoma

Typowe błędy

• Podstawienie $f'(x)$ zamiast $f'(x_0)$. We wzorze na styczną współczynnik kierunkowy to liczba, a nie wyrażenie z $x$. Jeśli w „równaniu stycznej” wyszło $x^2$, to nie jest prosta.
• Pomylenie $f(x_0)$ z $f'(x_0)$. Wartość funkcji to współrzędna punktu, wartość pochodnej - nachylenie. Pomyłka daje prostą, która nie przechodzi przez punkt styczności - dlatego warto zawsze sprawdzić punkt.
• Punkt spoza wykresu potraktowany jak punkt styczności. W przykładzie 7 nie wolno liczyć $f'(0)$ - punkt $P(0, -4)$ nie leży na wykresie.
• Zgubione rozwiązanie. Równanie $f'(x_0) = a$ dla wielomianu trzeciego stopnia jest kwadratowe i często ma dwa pierwiastki - każdy daje osobną styczną.
• Warunek prostopadłości z błędnym znakiem. Prostopadła do prostej o współczynniku $-\frac{1}{4}$ ma współczynnik $4$, a nie $-4$ ani $\frac{1}{4}$.

Najczęstsze pytania

Jak wyznaczyć równanie stycznej do wykresu funkcji? Oblicz $f(x_0)$ i $f'(x_0)$, a potem podstaw je do wzoru $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$. Na przykład dla $f(x) = -x^2 + 4x$ i $x_0 = 1$ jest $f(1) = 3$, $f'(1) = 2$, więc styczna to $y = 2x + 1$.

Jaki jest wzór na równanie stycznej?$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$, gdzie $x_0$ to odcięta punktu styczności. Wzór wynika z równania prostej o współczynniku kierunkowym $f'(x_0)$ przechodzącej przez punkt $(x_0, f(x_0))$.

Jak obliczyć współczynnik kierunkowy stycznej? To wartość pochodnej funkcji w punkcie styczności: $a = f'(x_0)$. Najpierw wyznacz pochodną $f'(x)$, potem podstaw do niej $x_0$.

Jak wyznaczyć styczną równoległą do danej prostej? Styczna równoległa ma ten sam współczynnik kierunkowy $a$ co dana prosta. Rozwiąż równanie $f'(x_0) = a$ - każde rozwiązanie to punkt styczności - i dla każdego napisz równanie stycznej.

Jak wyznaczyć styczną prostopadłą do prostej? Jeśli dana prosta ma współczynnik $a \neq 0$, to styczna prostopadła ma współczynnik $-\frac{1}{a}$. Rozwiąż równanie $f'(x_0) = -\frac{1}{a}$ i napisz równanie stycznej w otrzymanym punkcie.

Kiedy styczna do wykresu funkcji jest pozioma? Gdy pochodna w punkcie styczności jest równa zero: $f'(x_0) = 0$. Styczna ma wtedy równanie $y = f(x_0)$, a punkt jest kandydatem na ekstremum lokalne.

Jak obliczyć kąt nachylenia stycznej? Tangens kąta nachylenia stycznej do osi $Ox$ jest równy pochodnej: $\operatorname{tg} \alpha = f'(x_0)$. Na przykład $f'(x_0) = 1$ oznacza kąt $45^\circ$, a $f'(x_0) = -1$ - kąt $135^\circ$.

Czy styczna może przecinać wykres funkcji? Tak. Styczna dotyka wykresu w punkcie styczności, ale dalej może go przeciąć: styczna $y = 3x - 2$ do wykresu $y = x^3$ w punkcie $(1, 1)$ przecina go jeszcze w punkcie $(-2, -8)$.

Przećwicz

• Równanie stycznej - zadania → - 9 zadań: styczna w punkcie do wielomianu i funkcji wymiernej, styczne równoległe i prostopadłe do prostej, styczne poziome, styczna nachylona pod danym kątem, styczne z punktu spoza wykresu i pole trójkąta odciętego przez styczną.
• Cały zestaw: granica i pochodna funkcji - zadania →

Podsumowanie

• Styczna w punkcie $(x_0, f(x_0))$: $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$.
• Współczynnik kierunkowy stycznej to $f'(x_0)$, a kąt nachylenia spełnia $\operatorname{tg} \alpha = f'(x_0)$.
• Styczna równoległa do $y = ax + b$: rozwiąż $f'(x_0) = a$; prostopadła: $f'(x_0) = -\frac{1}{a}$; pozioma: $f'(x_0) = 0$.
• Styczna przez punkt spoza wykresu: odcięta punktu styczności jest niewiadomą $a$, którą wyznaczamy z warunku, że $P$ leży na stycznej.
• Styczna może przecinać wykres w innym punkcie - styczność jest warunkiem lokalnym.

Zobacz też

• Pochodna funkcji złożonej - poprzednia lekcja: reguła łańcuchowa.
• Pochodna a monotoniczność - następna lekcja: znak pochodnej mówi, gdzie funkcja rośnie, a gdzie maleje.
• Pochodna funkcji - definicja, styczna, ekstrema - zwięzłe zestawienie definicji i wzorów.
• Równanie kierunkowe prostej - współczynnik kierunkowy, kąt nachylenia, proste równoległe i prostopadłe.
• Tablica pochodnych - wzory potrzebne do wyznaczania stycznych do bardziej złożonych funkcji.