Tablica pochodnych - wzory na pochodne funkcji

Poniżej komplet wzorów na pochodne funkcji elementarnych, pogrupowany według rodzajów funkcji, a pod nim reguły różniczkowania i przykłady. Wzory na całki są na osobnej stronie: tablica całek.

Pochodne funkcji potęgowych

• $(c)' = 0$ - pochodna stałej;
• $(x)' = 1$;
• $(x^n)' = n x^{n-1}$ - dla dowolnego wykładnika rzeczywistego $n$;
• $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ dla $x > 0$;
• $(\sqrt[3]{x})' = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$ dla $x \ne 0$;
• $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$ dla $x \ne 0$.

Pierwiastki i ułamki to też potęgi: $\sqrt{x} = x^{1/2}$, $\frac{1}{x} = x^{-1}$. Dlatego wystarczy pamiętać jeden wzór $(x^n)' = n x^{n-1}$ - reszta z niego wynika.

Pochodne funkcji wykładniczych i logarytmicznych

• $(e^x)' = e^x$ - jedyna (z dokładnością do stałego czynnika) funkcja równa swojej pochodnej;
• $(a^x)' = a^x \ln a$ dla $a > 0$;
• $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ dla $x > 0$;
• $(\log_a x)' = \dfrac{1}{x \ln a}$ dla $x > 0$, $a > 0$, $a \ne 1$.

Pochodne funkcji trygonometrycznych

• $(\sin x)' = \cos x$;
• $(\cos x)' = -\sin x$;
• $(\operatorname{tg} x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}$ dla $\cos x \ne 0$;
• $(\operatorname{ctg} x)' = -\dfrac{1}{\sin^2 x}$ dla $\sin x \ne 0$.

Pochodne funkcji cyklometrycznych

• $(\arcsin x)' = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ dla $|x| < 1$;
• $(\arccos x)' = -\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ dla $|x| < 1$;
• $(\operatorname{arctg} x)' = \dfrac{1}{1 + x^2}$;
• $(\operatorname{arcctg} x)' = -\dfrac{1}{1 + x^2}$.

Reguły różniczkowania

Jeśli funkcje $f$ i $g$ mają pochodne, a $c$ jest stałą, to:

• stała przed funkcją: $(c \cdot f)' = c \cdot f'$;
• suma i różnica: $(f \pm g)' = f' \pm g'$;
• iloczyn: $(f \cdot g)' = f' g + f g'$;
• iloraz: $\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f' g - f g'}{g^2}$ dla $g \ne 0$;
• funkcja złożona: $\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ - pochodna funkcji zewnętrznej (liczona w punkcie $g(x)$) razy pochodna funkcji wewnętrznej.

Najczęstszy błąd to liczenie pochodnej iloczynu jako iloczynu pochodnych. Już dla $x \cdot x = x^2$ widać, że to nie działa: $(x^2)' = 2x$, a $1 \cdot 1 = 1$.

Przykłady obliczania pochodnych

Przykład 1 (iloczyn). $f(x) = x^2 \sin x$.

$f'(x) = (x^2)' \sin x + x^2 (\sin x)' = 2x \sin x + x^2 \cos x.$

Przykład 2 (iloraz). $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 3}$ dla $x \ne 3$.

$f'(x) = \frac{2x(x - 3) - (x^2 + 1) \cdot 1}{(x - 3)^2} = \frac{x^2 - 6x - 1}{(x - 3)^2}.$

Przykład 3 (funkcja złożona). $f(x) = (3x^2 - 1)^5$. Funkcja zewnętrzna to $u^5$, wewnętrzna $u = 3x^2 - 1$:

$f'(x) = 5(3x^2 - 1)^4 \cdot 6x = 30x(3x^2 - 1)^4.$

Przykład 4 (złożenie z logarytmem). $f(x) = \ln(x^2 + 1)$:

$f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}.$

Skąd się biorą te wzory

Pochodna funkcji $f$ w punkcie $x$ to granica ilorazu różnicowego:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}.$

Geometrycznie jest to współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu w punkcie $(x, f(x))$. Na przykład dla $f(x) = x^2$ iloraz różnicowy wynosi $\frac{(x + h)^2 - x^2}{h} = 2x + h$, a jego granica przy $h \to 0$ to $2x$. Każdy wzór z tablicy da się wyprowadzić w ten sposób.

Z pochodnej korzysta się przy szukaniu ekstremów - zobacz twierdzenie Fermata o ekstremum.

Najczęstsze pytania

Ile wynosi pochodna ln x?$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ dla $x > 0$. Dla logarytmu o dowolnej podstawie $(\log_a x)' = \dfrac{1}{x \ln a}$.

Ile wynosi pochodna e do x?$(e^x)' = e^x$ - funkcja wykładnicza o podstawie $e$ jest równa swojej pochodnej. Dla innej podstawy dochodzi czynnik $\ln a$: $(a^x)' = a^x \ln a$.

Ile wynosi pochodna pierwiastka z x?$(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$. Wynika to ze wzoru na pochodną potęgi, bo $\sqrt{x} = x^{1/2}$, więc $(x^{1/2})' = \frac{1}{2} x^{-1/2}$.

Ile wynosi pochodna 1/x?$\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$, bo $\frac{1}{x} = x^{-1}$ i $(x^{-1})' = -x^{-2}$.

Ile wynosi pochodna stałej? Zero. Funkcja stała się nie zmienia, więc jej wykres jest poziomą prostą o nachyleniu $0$.

Jak policzyć pochodną funkcji złożonej? Pochodna funkcji zewnętrznej (w punkcie będącym wartością funkcji wewnętrznej) razy pochodna funkcji wewnętrznej: $(\sin 3x)' = \cos 3x \cdot 3$.

Podsumowanie

• Podstawowy wzór: $(x^n)' = n x^{n-1}$ - obejmuje też pierwiastki i ułamki.
• $(e^x)' = e^x$, $(\ln x)' = \frac{1}{x}$, $(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$.
• Pochodna iloczynu to nie iloczyn pochodnych: $(fg)' = f'g + fg'$.
• Funkcję złożoną różniczkujemy „od zewnątrz”: $f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
• Wzory na pochodne i całki w jednym zestawieniu: pochodne i całki - tablica wzorów.