Tablica całek - wzory na całki nieoznaczone

Całka nieoznaczona funkcji $f$ to zbiór wszystkich jej funkcji pierwotnych, czyli takich funkcji $F$, że $F'(x) = f(x)$. Zapisujemy $\int f(x) \, dx = F(x) + C$, gdzie $C$ to dowolna stała. Każdy wzór z tablicy można więc sprawdzić, licząc pochodną prawej strony - wzory na pochodne zebrane są w tablicy pochodnych.

Całki funkcji potęgowych

• $\displaystyle\int 0 \, dx = C$, $\quad \displaystyle\int 1 \, dx = x + C$;
• $\displaystyle\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ dla $n \ne -1$;
• $\displaystyle\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$ - to jest brakujący przypadek $n = -1$;
• $\displaystyle\int \sqrt{x} \, dx = \frac{2}{3} x \sqrt{x} + C$;
• $\displaystyle\int \frac{1}{x^2} \, dx = -\frac{1}{x} + C$.

Całki funkcji wykładniczych i logarytmicznych

• $\displaystyle\int e^x \, dx = e^x + C$;
• $\displaystyle\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ dla $a > 0$, $a \ne 1$;
• $\displaystyle\int \ln x \, dx = x \ln x - x + C$ (wyprowadzenie niżej, przez części);
• $\displaystyle\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln|f(x)| + C$ - licznik jest pochodną mianownika.

Całki funkcji trygonometrycznych

• $\displaystyle\int \sin x \, dx = -\cos x + C$;
• $\displaystyle\int \cos x \, dx = \sin x + C$;
• $\displaystyle\int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = \operatorname{tg} x + C$;
• $\displaystyle\int \frac{1}{\sin^2 x} \, dx = -\operatorname{ctg} x + C$;
• $\displaystyle\int \operatorname{tg} x \, dx = -\ln|\cos x| + C$;
• $\displaystyle\int \operatorname{ctg} x \, dx = \ln|\sin x| + C$.

Całki prowadzące do funkcji cyklometrycznych i logarytmu

Dla stałej $a > 0$:

• $\displaystyle\int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \operatorname{arctg} x + C$;
• $\displaystyle\int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx = \frac{1}{a} \operatorname{arctg} \frac{x}{a} + C$;
• $\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \arcsin x + C$;
• $\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx = \arcsin \frac{x}{a} + C$;
• $\displaystyle\int \frac{1}{x^2 - a^2} \, dx = \frac{1}{2a} \ln\left|\frac{x - a}{x + a}\right| + C$;
• $\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + k}} \, dx = \ln\left|x + \sqrt{x^2 + k}\right| + C$ dla $k \ne 0$.

Własności całki nieoznaczonej

Całka jest liniowa - stałą można wyciągnąć przed znak całki, a całkę sumy rozbić na sumę całek:

$\int \big(\alpha f(x) + \beta g(x)\big) \, dx = \alpha \int f(x) \, dx + \beta \int g(x) \, dx.$

Przykład. $\displaystyle\int (3x^2 - 4x + 5) \, dx = x^3 - 2x^2 + 5x + C.$

Uwaga: nie ma prostego wzoru na całkę iloczynu ani ilorazu - do tego służą dwie metody poniżej.

Całkowanie przez podstawienie

Jeśli pod całką występuje funkcja wewnętrzna $g(x)$ razy jej pochodna, podstawiamy $t = g(x)$, $dt = g'(x) \, dx$:

$\int f\big(g(x)\big) \, g'(x) \, dx = \int f(t) \, dt.$

Przykład. $\displaystyle\int 2x \cos(x^2) \, dx$. Podstawiamy $t = x^2$, $dt = 2x \, dx$:

$\int \cos t \, dt = \sin t + C = \sin(x^2) + C.$

Przykład. $\displaystyle\int x e^{x^2} \, dx$. Podstawiamy $t = x^2$, $dt = 2x \, dx$, czyli $x \, dx = \frac{1}{2} dt$:

$\frac{1}{2} \int e^t \, dt = \frac{1}{2} e^{x^2} + C.$

Całkowanie przez części

Wzór wynika z pochodnej iloczynu $(uv)' = u'v + uv'$:

$\int u \, v' \, dx = u v - \int u' v \, dx.$

Za $u$ bierzemy tę funkcję, która po zróżniczkowaniu się upraszcza (np. $x$, $\ln x$).

Przykład. $\displaystyle\int x e^x \, dx$. Niech $u = x$, $v' = e^x$, czyli $u' = 1$, $v = e^x$:

$\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C = (x - 1) e^x + C.$

Przykład. $\displaystyle\int \ln x \, dx$. Niech $u = \ln x$, $v' = 1$, czyli $u' = \frac{1}{x}$, $v = x$:

$\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \ln x - x + C.$

Całka oznaczona

Całkę oznaczoną liczy się ze wzoru Newtona-Leibniza: jeśli $F$ jest funkcją pierwotną $f$, to

$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a).$

Stała $C$ się skraca, więc przy całce oznaczonej jej nie piszemy. Dla funkcji nieujemnej całka oznaczona to pole obszaru pod wykresem na przedziale $[a, b]$.

Przykład. $\displaystyle\int_0^2 x^2 \, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$. Tyle wynosi pole pod parabolą $y = x^2$ nad odcinkiem $[0, 2]$.

Przykład. $\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x \, dx = \big[-\cos x\big]_0^{\pi} = 1 - (-1) = 2.$

Najczęstsze pytania

Skąd się bierze stała C w całce nieoznaczonej? Funkcje różniące się o stałą mają tę samą pochodną: $(x^2)' = (x^2 + 7)' = 2x$. Całka nieoznaczona to cała rodzina funkcji pierwotnych, a $C$ opisuje wszystkie naraz.

Ile wynosi całka z 1/x?$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$. Wartość bezwzględna jest potrzebna, bo $\frac{1}{x}$ jest określone także dla $x < 0$, a logarytm tylko dla liczb dodatnich.

Ile wynosi całka z e do x?$\int e^x \, dx = e^x + C$. Dla innej podstawy $\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$.

Ile wynosi całka z ln x?$\int \ln x \, dx = x \ln x - x + C$ - liczy się ją przez części, biorąc $u = \ln x$ i $v' = 1$.

Czym różni się całka oznaczona od nieoznaczonej? Nieoznaczona to rodzina funkcji ($F(x) + C$), oznaczona - jedna liczba ($F(b) - F(a)$), która dla funkcji nieujemnej jest polem pod wykresem.

Jak sprawdzić, czy całka jest policzona dobrze? Zróżniczkuj wynik. Jeśli pochodna wyniku jest równa funkcji spod całki, wynik jest poprawny, np. $\big((x - 1)e^x\big)' = e^x + (x - 1)e^x = x e^x$.

Podsumowanie

• $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ dla $n \ne -1$, a $\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$.
• $\int e^x \, dx = e^x + C$, $\int \sin x \, dx = -\cos x + C$, $\int \cos x \, dx = \sin x + C$.
• Całka jest liniowa; iloczyn całkujemy przez części, złożenie - przez podstawienie.
• Całka oznaczona: $\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$; dla $f \ge 0$ to pole pod wykresem.
• Wzory na pochodne i całki w jednym zestawieniu: pochodne i całki - tablica wzorów.