Funkcja pochodna - wzory i reguły: suma, iloczyn, iloraz

Klasa 3 liceum i technikum

Funkcja pochodna $f'$ to funkcja, która każdej liczbie $x$, w której funkcja $f$ ma pochodną, przypisuje wartość tej pochodnej $f'(x)$. Dzięki wzorom i regułom różniczkowania pochodną liczymy od razu dla wszystkich $x$, bez obliczania granicy ilorazu różnicowego w każdym punkcie osobno.

To kolejna lekcja rozdziału elementy analizy matematycznej. W poprzedniej - pochodna funkcji w punkcie - liczyliśmy pochodną z definicji, jako granicę ilorazu różnicowego. Teraz zamieniamy ten rachunek na kilka wzorów, które wystarczą do zróżniczkowania każdego wielomianu, pierwiastka i funkcji wymiernej.

Od pochodnej w punkcie do funkcji pochodnej

Dla funkcji $f(x) = x^2$ iloraz różnicowy w dowolnym punkcie $x$ wynosi

$\frac{(x + h)^2 - x^2}{h} = \frac{2xh + h^2}{h} = 2x + h,$

a jego granica przy $h \to 0$ to $2x$. Ten sam rachunek działa dla każdego $x$, więc pochodną w punkcie możemy zapisać jako wzór: $f'(x) = 2x$. Tak powstaje nowa funkcja - funkcja pochodna. Jej wartość w punkcie to nachylenie stycznej do wykresu $f$ w tym punkcie.

Funkcja $f$ jest różniczkowalna w zbiorze, jeśli ma pochodną w każdym jego punkcie. Dziedzina pochodnej bywa mniejsza niż dziedzina funkcji: $\sqrt{x}$ jest określony dla $x \geq 0$, ale pochodną ma tylko dla $x > 0$, a $|x|$ nie ma pochodnej w zerze.

Pochodna stałej i potęgi

Stała. Dla $f(x) = c$ iloraz różnicowy to $\frac{c - c}{h} = 0$, więc $(c)' = 0$. Wykres stałej jest poziomą prostą - jej nachylenie wynosi zero.

Potęga $x^3$. Z wzoru na sześcian sumy $(x + h)^3 = x^3 + 3x^2 h + 3x h^2 + h^3$, więc

$\frac{(x + h)^3 - x^3}{h} = 3x^2 + 3xh + h^2 \ \xrightarrow{\ h \to 0\ } \ 3x^2.$

Dowolna potęga naturalna. Po rozwinięciu $(x + h)^n$ dostajemy $x^n + n x^{n - 1} h$ oraz składniki zawierające $h^2, h^3, \ldots$ Po odjęciu $x^n$ i podzieleniu przez $h$ zostaje $n x^{n - 1}$ plus wyrazy z $h$, które w granicy znikają. Stąd najważniejszy wzór rozdziału:

$(x^n)' = n x^{n - 1}.$

Wykładnik rzeczywisty. Ten sam wzór działa dla każdego wykładnika rzeczywistego $a$ (dla $x > 0$): $(x^a)' = a x^{a - 1}$. To dlatego pierwiastki i ułamki zamieniamy na potęgi o wykładniku wymiernym i ujemnym:

$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \ \Rightarrow\ (\sqrt{x})' = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}, \qquad \frac{1}{x} = x^{-1} \ \Rightarrow\ \left(\frac{1}{x}\right)' = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}.$

Przykład 1. Oblicz pochodne funkcji $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$ oraz $g(x) = x^{\sqrt{2}}$.

Krok 1. Zapisujemy pierwiastek jako potęgę: $\sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}}$.

Krok 2. Stosujemy wzór na pochodną potęgi:

$f'(x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} = \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} \quad (x \ne 0).$

Krok 3. Wykładnik $\sqrt{2}$ jest niewymierny, ale wzór działa tak samo: $g'(x) = \sqrt{2}\, x^{\sqrt{2} - 1}$ dla $x > 0$.

Odpowiedź. $f'(x) = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$, $g'(x) = \sqrt{2}\, x^{\sqrt{2} - 1}$.

Stała przed funkcją i pochodna sumy

Dwie najprostsze reguły wynikają wprost z twierdzeń o granicach (granica sumy to suma granic):

• stała przed funkcją: $(c \cdot f)' = c \cdot f'$ - stały czynnik przepisujemy;
• suma i różnica: $(f \pm g)' = f' \pm g'$ - różniczkujemy wyraz po wyrazie.

Razem z wzorem na potęgę dają pochodną dowolnego wielomianu.

Przykład 2. Oblicz pochodną funkcji $f(x) = 4x^5 - 2x^3 + 7x - 1$ oraz $f'(-1)$.

Krok 1. Różniczkujemy każdy wyraz osobno:

$(4x^5)' = 20x^4, \qquad (-2x^3)' = -6x^2, \qquad (7x)' = 7, \qquad (-1)' = 0.$

Krok 2. Składamy wynik: $f'(x) = 20x^4 - 6x^2 + 7$.

Krok 3. Wartość w punkcie liczymy z pochodnej:

$f'(-1) = 20 \cdot 1 - 6 \cdot 1 + 7 = 21.$

Odpowiedź. $f'(x) = 20x^4 - 6x^2 + 7$, $f'(-1) = 21$.

Przykład 3. Oblicz pochodną funkcji $f(x) = 5\sqrt{x} - \dfrac{8}{x} + \dfrac{x^2}{4}$ dla $x > 0$ oraz $f'(4)$.

Krok 1. Zapis potęgowy: $f(x) = 5x^{\frac{1}{2}} - 8x^{-1} + \frac{1}{4}x^2$.

Krok 2. Różniczkujemy:

$f'(x) = \frac{5}{2\sqrt{x}} + \frac{8}{x^2} + \frac{x}{2}.$

Zwróć uwagę na znak drugiego składnika: $(-8x^{-1})' = -8 \cdot (-1) x^{-2} = \frac{8}{x^2}$.

Krok 3. Podstawiamy $x = 4$:

$f'(4) = \frac{5}{4} + \frac{8}{16} + 2 = \frac{5}{4} + \frac{2}{4} + \frac{8}{4} = \frac{15}{4}.$

Odpowiedź. $f'(4) = \frac{15}{4}$.

Pochodna iloczynu

Pochodna iloczynu nie jest iloczynem pochodnych. Wystarczy spojrzeć na $x \cdot x = x^2$: pochodna to $2x$, a iloczyn pochodnych wynosi $1 \cdot 1 = 1$. Prawdziwy wzór to

$(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'.$

Skąd ten wzór? W ilorazie różnicowym iloczynu odejmujemy i dodajemy ten sam składnik $f(x)\,g(x + h)$:

$\frac{f(x + h)g(x + h) - f(x)g(x)}{h} = \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \cdot g(x + h) + f(x) \cdot \frac{g(x + h) - g(x)}{h}.$

Gdy $h \to 0$, pierwszy ułamek dąży do $f'(x)$, drugi do $g'(x)$, a $g(x + h) \to g(x)$, bo funkcja mająca pochodną jest ciągła. Zostaje $f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$.

Przykład 4. Oblicz pochodną funkcji $f(x) = (x^3 - 2)(x^2 + 4x)$ oraz $f'(1)$.

Krok 1. Oznaczamy czynniki: $u = x^3 - 2$, $u' = 3x^2$; $v = x^2 + 4x$, $v' = 2x + 4$.

Krok 2. Wzór na pochodną iloczynu:

$f'(x) = 3x^2(x^2 + 4x) + (x^3 - 2)(2x + 4) = 3x^4 + 12x^3 + 2x^4 + 4x^3 - 4x - 8.$

Krok 3. Porządkujemy: $f'(x) = 5x^4 + 16x^3 - 4x - 8$.

Krok 4. Sprawdzenie. Po wymnożeniu $f(x) = x^5 + 4x^4 - 2x^2 - 8x$, a pochodna tego wielomianu to znowu $5x^4 + 16x^3 - 4x - 8$.

Krok 5. $f'(1) = 5 + 16 - 4 - 8 = 9$.

Odpowiedź. $f'(x) = 5x^4 + 16x^3 - 4x - 8$, $f'(1) = 9$.

Przy dwóch wielomianach wymnożenie bywa równie szybkie. Wzór na iloczyn jest niezbędny, gdy nawiasów nie da się wygodnie wymnożyć - na przykład przy pierwiastku.

Przykład 5. Oblicz pochodną funkcji $f(x) = (x - 3)\sqrt{x}$ dla $x > 0$ i wyznacz, gdzie $f'(x) = 0$.

Krok 1. $u = x - 3$, $u' = 1$; $v = \sqrt{x}$, $v' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Krok 2. Wzór na iloczyn i wspólny mianownik $2\sqrt{x}$:

$f'(x) = \sqrt{x} + \frac{x - 3}{2\sqrt{x}} = \frac{2x + x - 3}{2\sqrt{x}} = \frac{3x - 3}{2\sqrt{x}}.$

Krok 3. Ułamek jest zerem, gdy zeruje się licznik: $3x - 3 = 0$, czyli $x = 1$.

Odpowiedź. $f'(x) = \frac{3x - 3}{2\sqrt{x}}$, pochodna zeruje się w $x = 1$. Dla porównania $f'(4) = \frac{9}{4}$.

Pochodna ilorazu

Dla $g(x) \ne 0$:

$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}.$

Skąd ten wzór? Oznaczmy $q = \frac{f}{g}$, czyli $f = q \cdot g$. Z reguły iloczynu $f' = q' g + q g'$, więc

$q' = \frac{f' - q g'}{g} = \frac{f' - \frac{f}{g} g'}{g} = \frac{f' g - f g'}{g^2}.$

W liczniku kolejność ma znaczenie (jest odejmowanie): najpierw pochodna licznika razy mianownik. Szczególny przypadek, gdy w liczniku stoi stała $c$:

$\left(\frac{c}{g}\right)' = -\frac{c \cdot g'}{g^2}.$

Przykład 6. Oblicz pochodną funkcji $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 4}$ oraz $f'(0)$ i $f'(2)$.

Krok 1. $u = x$, $u' = 1$; $v = x^2 + 4$, $v' = 2x$. Mianownik nigdy nie jest zerem, więc $D_f = \mathbb{R}$.

Krok 2. Wzór na iloraz:

$f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2 + 4) - x \cdot 2x}{(x^2 + 4)^2} = \frac{4 - x^2}{(x^2 + 4)^2}.$

Krok 3. $f'(0) = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$ oraz $f'(2) = \frac{0}{64} = 0$ - w punkcie $x = 2$ styczna jest pozioma.

Odpowiedź. $f'(x) = \frac{4 - x^2}{(x^2 + 4)^2}$, $f'(0) = \frac{1}{4}$, $f'(2) = 0$.

Przykład 7. Oblicz pochodną funkcji $f(x) = \dfrac{3}{x^2 - 2x + 5}$ oraz $f'(2)$.

Krok 1. Mianownik ma wyróżnik $4 - 20 < 0$, więc nie zeruje się i $D_f = \mathbb{R}$.

Krok 2. Licznik jest stały, więc korzystamy z przypadku szczególnego:

$f'(x) = -\frac{3(2x - 2)}{(x^2 - 2x + 5)^2} = \frac{6 - 6x}{(x^2 - 2x + 5)^2}.$

Krok 3. $f'(2) = \frac{6 - 12}{(4 - 4 + 5)^2} = -\frac{6}{25}$.

Odpowiedź. $f'(2) = -\frac{6}{25}$.

Przykład 8. Kiedy wzór na iloraz nie jest potrzebny. Oblicz pochodną $f(x) = \dfrac{x^3 - 4x}{x^2}$ dla $x \ne 0$.

Krok 1. Mianownik jest jednomianem, więc dzielimy wyraz po wyrazie: $f(x) = x - \frac{4}{x}$.

Krok 2. $f'(x) = 1 + \frac{4}{x^2}$.

Krok 3. Sprawdzenie wzorem na iloraz.

$f'(x) = \frac{(3x^2 - 4)x^2 - (x^3 - 4x) \cdot 2x}{x^4} = \frac{x^4 + 4x^2}{x^4} = 1 + \frac{4}{x^2}.$

Odpowiedź. $f'(x) = 1 + \frac{4}{x^2}$ - ten sam wynik, ale rozbicie ułamka oszczędza rachunków.

Pochodne innych funkcji (dla ciekawych)

W szkolnych zadaniach różniczkujemy głównie wielomiany, pierwiastki i funkcje wymierne. Funkcje trygonometryczne, wykładnicze i logarytmiczne też mają proste pochodne - pełny zestaw jest w tablicy pochodnych.

Reguły działają dla nich tak samo, np. $(x^2 e^x)' = 2x e^x + x^2 e^x$.

Pochodna drugiego rzędu

Funkcję pochodną też można różniczkować. Pochodna drugiego rzędu (druga pochodna) to $f''(x) = \left(f'(x)\right)'$.

Przykład 9. Dla $f(x) = x^4 - 4x^3 + 2x$ oblicz $f''(x)$ i $f''(1)$.

Krok 1. $f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 2$.

Krok 2. $f''(x) = 12x^2 - 24x$.

Krok 3. $f''(1) = 12 - 24 = -12$.

Odpowiedź. $f''(x) = 12x^2 - 24x$, $f''(1) = -12$.

W fizyce, gdy $s(t)$ to położenie ciała w chwili $t$, pierwsza pochodna $s'(t)$ to prędkość, a druga $s''(t)$ - przyspieszenie. Dla $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ mamy $s'(t) = 3t^2 - 12t + 9$ i $s''(t) = 6t - 12$: ciało zatrzymuje się w chwilach $t = 1$ i $t = 3$, a przyspieszenie jest zerem w chwili $t = 2$.

Wykres pochodnej mówi wiele o samej funkcji: tam, gdzie $f'(x) > 0$, funkcja rośnie, a tam, gdzie $f'(x) < 0$, maleje. Wykorzystamy to w lekcji o pochodnej a monotoniczności.

Typowe błędy

• Pochodna iloczynu jako iloczyn pochodnych. $\left((x^2 + 1)(x - 5)\right)' \ne 2x \cdot 1$. Trzeba użyć wzoru $f'g + fg'$ albo najpierw wymnożyć nawiasy.
• Odwrócona kolejność w liczniku ilorazu. $f'g - fg'$, a nie $fg' - f'g$ - zamiana daje wynik z przeciwnym znakiem.
• Różniczkowanie licznika i mianownika osobno. $\left(\frac{x}{x^2 + 4}\right)' \ne \frac{1}{2x}$.
• Pochodna stałej to nie jedynka. $(7)' = 0$, a $(7x)' = 7$.
• Zgubiony znak przy potędze ujemnej. $\left(\frac{5}{x}\right)' = -\frac{5}{x^2}$, bo wykładnik $-1$ wychodzi przed potęgę.
• Wartość pochodnej z funkcji. $f'(2)$ liczymy, wstawiając $2$ do wzoru na $f'$, nie do $f$.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć pochodną funkcji? Rozłóż funkcję na proste składniki i zastosuj wzory: pochodną potęgi $(x^n)' = n x^{n - 1}$, stałej $(c)' = 0$ oraz reguły sumy, iloczynu i ilorazu. Pierwiastki i ułamki typu $\frac{1}{x}$ najpierw zapisz jako potęgi.

Ile wynosi pochodna x?$(x)' = 1$, bo wykres $y = x$ to prosta o nachyleniu $1$. Wynika to też ze wzoru na potęgę: $(x^1)' = 1 \cdot x^0 = 1$.

Ile wynosi pochodna stałej? Zero. Wykres funkcji stałej jest poziomą prostą, a jej nachylenie wynosi $0$. Dlatego np. $(x^2 + 5)' = 2x$ - stała $5$ znika.

Jak obliczyć pochodną iloczynu funkcji? Ze wzoru $(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$: pochodna pierwszego czynnika razy drugi plus pierwszy razy pochodna drugiego. Pochodna iloczynu nie jest iloczynem pochodnych.

Jak obliczyć pochodną ilorazu? Ze wzoru $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$ dla $g \ne 0$. W liczniku najpierw pochodna licznika razy mianownik, potem odejmujemy licznik razy pochodną mianownika.

Ile wynosi pochodna pierwiastka z x?$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ dla $x > 0$. Wynika to z zapisu $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ i wzoru na pochodną potęgi. W zerze pierwiastek nie ma pochodnej.

Ile wynosi pochodna 1/x?$\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}$ dla $x \ne 0$, bo $\frac{1}{x} = x^{-1}$, a $(x^{-1})' = -x^{-2}$.

Co to jest druga pochodna? To pochodna funkcji pochodnej: $f''(x) = (f'(x))'$. Dla $f(x) = x^3$ mamy $f'(x) = 3x^2$ i $f''(x) = 6x$. W fizyce druga pochodna położenia to przyspieszenie.

Przećwicz

• Obliczanie pochodnych - zadania → - 9 zadań: pochodna wielomianu, pierwiastka i potęgi o wykładniku ujemnym, iloczyn i iloraz funkcji, ułamek z pierwiastkiem w mianowniku, druga pochodna i parametry wyznaczone z wartości pochodnej.
• Cały zestaw: granica i pochodna funkcji - zadania →

Podsumowanie

• Funkcja pochodna $f'$ przypisuje każdemu $x$ nachylenie stycznej do wykresu $f$ w punkcie $x$.
• $(c)' = 0$, $(x^n)' = n x^{n - 1}$ - także dla wykładników ujemnych i ułamkowych (wtedy $x > 0$).
• $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, $\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}$.
• Stałą przed funkcją przepisujemy, sumę różniczkujemy wyraz po wyrazie.
• $(fg)' = f'g + fg'$ oraz $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$.
• Ułamek z jednomianem w mianowniku łatwiej najpierw rozbić na sumę potęg.
• Druga pochodna to pochodna pochodnej: $f'' = (f')'$.

Zobacz też

• Pochodna funkcji w punkcie - poprzednia lekcja: iloraz różnicowy i definicja pochodnej.
• Funkcja złożona i jej pochodna - następna lekcja: reguła łańcuchowa dla wyrażeń typu $(2x - 1)^5$ i $\sqrt{x^2 + 4}$.
• Tablica pochodnych - komplet wzorów, także dla funkcji trygonometrycznych, wykładniczych i logarytmicznych.
• Pochodna funkcji - definicja, styczna, ekstrema - zwięzłe zestawienie zastosowań pochodnej.
• Potęga o wykładniku wymiernym - przypomnienie zapisu pierwiastków jako potęg.