Wzory i równania trygonometryczne - kurs trygonometrii, klasa 3

Klasa 3 liceum i technikum

Równanie trygonometryczne to równanie, w którym niewiadoma stoi pod funkcją trygonometryczną, np. $2\sin x = 1$ albo $\cos 2x = \sin x$. Ponieważ sinus i cosinus są okresowe, takie równanie ma zwykle nieskończenie wiele rozwiązań - zapisujemy je seriami, np. $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$, gdzie $k \in \mathbb{Z}$. Żeby je rozwiązywać, potrzebne są wzory trygonometryczne: na sinus i cosinus sumy, na funkcje podwojonego kąta i na zamianę sumy w iloczyn.

W drugiej klasie sinus i cosinus stały się funkcjami liczby rzeczywistej z wykresem i okresem. W tym dziale robimy z nich narzędzie: składamy wszystkie przekształcenia w jeden wzór $y = A\sin(Bx + C) + D$, wyprowadzamy wzory, które pozwalają przekształcać wyrażenia, a potem rozwiązujemy nimi równania i nierówności. Na końcu liczymy pochodne sinusa, cosinusa i tangensa - to pomost do rachunku różniczkowego.

Czego nauczysz się w tym dziale:

• odczytasz z wzoru $y = A\sin(Bx + C) + D$ amplitudę, okres i przesunięcie i odwrotnie - wzór z wykresu;
• rozwiążesz równania elementarne $\sin x = a$, $\cos x = a$, $\operatorname{tg} x = a$ na okręgu jednostkowym i na wykresie, także w zadanym przedziale;
• wyprowadzisz i zastosujesz wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów - policzysz dokładnie $\sin 15^\circ$ czy $\cos 75^\circ$;
• poznasz wzory na $\sin 2x$, $\cos 2x$ i $\operatorname{tg} 2x$, funkcje potrojonego kąta i wzory na obniżanie potęgi;
• zamienisz sumę sinusów lub cosinusów na iloczyn i odwrotnie;
• rozwiążesz równania trygonometryczne metodą podstawienia, rozkładu na czynniki i przy użyciu wzorów - bez gubienia rozwiązań;
• rozwiążesz nierówności trygonometryczne na wykresie i na okręgu jednostkowym;
• obliczysz pochodne funkcji trygonometrycznych i użyjesz ich do stycznych i ekstremów.

Warto wcześniej znać lekcje drugiej klasy: funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej, wykresy funkcji trygonometrycznych i tożsamości trygonometryczne - na pierwszej lekcji tego działu jest krótka powtórka z linkami. Gotowe wartości funkcji są w tablicy wartości funkcji trygonometrycznych, a sprowadzanie kąta do ostrego - w tabeli wzorów redukcyjnych. Przy ostatniej lekcji przyda się rozdział o analizie matematycznej.

Do każdej lekcji są zadania z pełnym rozwiązaniem krok po kroku - wzory i równania trygonometryczne - zadania z rozwiązaniami: 56 zadań w 8 typach, od wykresu $y = A\sin(Bx + C) + D$ po pochodne. Podstawy z drugiej klasy (kąty dowolne, radiany, tożsamości, wzory redukcyjne) ćwiczysz w zestawie trygonometria dowolnego kąta.