Funkcja homograficzna w zadaniach - wzór, parametr, nierówności

Klasa 3 liceum i technikum

Zadania z funkcją homograficzną sprowadzają się do kilku powtarzalnych typów: wyznaczenie wzoru z podanych warunków, liczba rozwiązań równania z parametrem odczytana z wykresu, nierówność rozwiązana graficznie lub rachunkiem oraz zadania z treścią, w których hiperbola opisuje koszt jednostkowy albo średnią prędkość. Każdy typ rozwiązuje się tym samym narzędziem - postacią kanoniczną $f(x) = \tfrac{k}{x - p} + q$.

Jeśli postać kanoniczna i asymptoty nie są jeszcze oczywiste, wróć do lekcji funkcja homograficzna - jak narysować wykres.

Typ 1: wyznaczanie wzoru z asymptot i punktu

Postać kanoniczna ma trzy niewiadome: $k$, $p$, $q$. Asymptoty od razu dają dwie z nich, a trzecią wyznaczamy z punktu, przez który przechodzi wykres.

Przykład 1. Wykres funkcji homograficznej ma asymptoty $x = 2$ i $y = -1$ oraz przechodzi przez punkt $(3,\ 1)$. Wyznacz wzór funkcji.

Krok 1. Z asymptot: $p = 2$, $q = -1$, więc $f(x) = \dfrac{k}{x - 2} - 1$.

Krok 2. Podstawiamy punkt: $1 = \dfrac{k}{3 - 2} - 1$, czyli $k = 2$.

Krok 3. Zapis ogólny (wspólny mianownik): $\dfrac{2}{x - 2} - 1 = \dfrac{2 - (x - 2)}{x - 2} = \dfrac{-x + 4}{x - 2}$.

Odpowiedź: $f(x) = \dfrac{2}{x - 2} - 1 = \dfrac{-x + 4}{x - 2}$.

Przykład 2 (wzór ogólny z niewiadomymi). Funkcja $f(x) = \dfrac{ax + b}{x - 3}$ ma asymptotę poziomą $y = 2$, a jej wykres przechodzi przez punkt $(4,\ 5)$. Wyznacz $a$ i $b$.

Krok 1. Asymptota pozioma to iloraz współczynników przy $x$: $\tfrac{a}{1} = 2$, więc $a = 2$.

Krok 2. Punkt $(4,\ 5)$: $\dfrac{2 \cdot 4 + b}{4 - 3} = 5$, czyli $8 + b = 5$ i $b = -3$.

Krok 3. Sprawdzamy, że to naprawdę funkcja homograficzna: $ad - bc = 2 \cdot (-3) - (-3) \cdot 1 = -3 \ne 0$.

Odpowiedź: $a = 2$, $b = -3$, czyli $f(x) = \dfrac{2x - 3}{x - 3} = \dfrac{3}{x - 3} + 2$.

Przykład 3 (dwa punkty). Wykres funkcji homograficznej ma asymptotę pionową $x = 1$ i przechodzi przez punkty $A = (0,\ -1)$ oraz $B = (3,\ 2)$. Wyznacz wzór.

Krok 1. $f(x) = \dfrac{k}{x - 1} + q$ - dwie niewiadome, dwa punkty.

Krok 2. Podstawiamy oba punkty i dostajemy układ równań:

$\begin{cases} -k + q = -1 \\ \tfrac{k}{2} + q = 2 \end{cases}$

Krok 3. Odejmujemy stronami: $\tfrac{k}{2} + k = 3$, więc $k = 2$, a stąd $q = 1$.

Odpowiedź: $f(x) = \dfrac{2}{x - 1} + 1 = \dfrac{x + 1}{x - 1}$. Sprawdzenie: $f(0) = \tfrac{1}{-1} = -1$, $f(3) = \tfrac{4}{2} = 2$.

Typ 2: liczba rozwiązań równania f(x) = m

Rozwiązania równania $f(x) = m$ to pierwsze współrzędne punktów wspólnych wykresu i poziomej prostej $y = m$. Przesuwamy tę prostą w górę i w dół i liczymy punkty przecięcia - tak samo jak w lekcji o równaniach i nierównościach z wykresu.

Przykład 4. Dla $f(x) = \dfrac{2}{x - 2} - 1$ określ liczbę rozwiązań równania $f(x) = m$ w zależności od parametru $m$.

Zbiór wartości funkcji homograficznej to $\mathbb{R} \setminus \{q\}$ i każdą wartość funkcja przyjmuje dokładnie raz (jest różnowartościowa). Prosta $y = m$ przecina więc wykres w jednym punkcie - z wyjątkiem asymptoty poziomej $y = -1$, której wykres nigdy nie osiąga. Rachunek potwierdza to samo: $\tfrac{2}{x - 2} = m + 1$ daje $x = 2 + \tfrac{2}{m + 1}$, o ile $m \ne -1$.

Odpowiedź: dla $m = -1$ - brak rozwiązań; dla $m \ne -1$ - jedno rozwiązanie.

Ciekawiej robi się po nałożeniu wartości bezwzględnej. Wykres $y = |f(x)|$ powstaje przez odbicie względem osi $OX$ części leżącej pod osią (zobacz wykresy z wartością bezwzględną). Odbija się także fragment asymptoty: z $y = -1$ robi się $y = 1$.

Przykład 5. Określ liczbę rozwiązań równania $\left|\dfrac{2}{x - 2} - 1\right| = m$ w zależności od $m$.

Krok 1. Rysujemy $y = f(x)$: asymptoty $x = 2$ i $y = -1$, miejsce zerowe $x = 4$ (bo $\tfrac{2}{x - 2} = 1$).

Krok 2. Lewa gałąź ($x < 2$) leży cała poniżej $y = -1$, więc po odbiciu - powyżej $y = 1$. Prawa gałąź pod osią (dla $x > 4$) leży między $-1$ a $0$, więc po odbiciu - między $0$ a $1$.

Krok 3. Przesuwamy prostą $y = m$ od dołu do góry:

Odpowiedź: brak rozwiązań dla $m < 0$; jedno rozwiązanie dla $m = 0$ i $m = 1$; dwa rozwiązania dla $m \in (0;\ 1) \cup (1;\ +\infty)$.

Typ 3: nierówności z wykresu i rachunkiem

Przykład 6. Dla $f(x) = \dfrac{2}{x - 2} - 1$ rozwiąż nierówność $f(x) \ge 1$.

Sposób 1 - z wykresu. Rysujemy hiperbolę i prostą $y = 1$. Punkt wspólny: $\tfrac{2}{x - 2} = 2$, czyli $x = 3$. Wykres leży nad prostą tylko na fragmencie prawej gałęzi między asymptotą $x = 2$ a punktem $(3,\ 1)$. Lewa gałąź jest cała poniżej $y = -1$, więc nie daje rozwiązań.

Sposób 2 - rachunkiem. Przenosimy wszystko na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika (bez mnożenia przez $x - 2$, którego znaku nie znamy):

$\frac{2}{x - 2} - 2 \ge 0 \iff \frac{2 - 2(x - 2)}{x - 2} \ge 0 \iff \frac{-2x + 6}{x - 2} \ge 0 \iff \frac{x - 3}{x - 2} \le 0.$

Iloraz jest niedodatni, gdy $(x - 3)(x - 2) \le 0$ i $x \ne 2$, czyli dla $x \in (2;\ 3\rangle$. Ten sposób dokładnie omawia lekcja o nierównościach wymiernych.

Odpowiedź: $x \in (2;\ 3\rangle$.

Z tego samego rysunku odczytamy też znak funkcji: $f(x) < 0$ dla $x \in (-\infty;\ 2) \cup (4;\ +\infty)$, a $f(x) > 0$ dla $x \in (2;\ 4)$.

Typ 4: parametr we wzorze funkcji

Przykład 7. Dana jest funkcja $f(x) = \dfrac{mx + 2}{x - 1}$. Dla jakich $m$ jest to funkcja homograficzna, a dla jakich jest ona rosnąca w każdym z przedziałów $(-\infty;\ 1)$ i $(1;\ +\infty)$?

Krok 1. Warunek $ad - bc \ne 0$: $m \cdot (-1) - 2 \cdot 1 = -m - 2 \ne 0$, czyli $m \ne -2$. (Dla $m = -2$ mamy $\tfrac{-2x + 2}{x - 1} = -2$ - funkcja stała z dziurą.)

Krok 2. Postać kanoniczna: $mx + 2 = m(x - 1) + (m + 2)$, więc

$f(x) = \frac{m + 2}{x - 1} + m.$

Krok 3. Funkcja rośnie w każdym przedziale, gdy licznik postaci kanonicznej jest ujemny: $m + 2 < 0$, czyli $m < -2$.

Odpowiedź: funkcja homograficzna dla $m \ne -2$; rosnąca w każdym z przedziałów dla $m < -2$ (dla $m > -2$ - malejąca).

Typ 5: zastosowania - koszt jednostkowy i średnia prędkość

Hiperbola pojawia się zawsze, gdy jakaś wielkość jest ilorazem dwóch funkcji liniowych.

Przykład 8 - koszt jednostkowy. Przygotowanie druku ulotek kosztuje 400 zł, a każda wydrukowana ulotka - dodatkowo 2 zł. Ile ulotek trzeba zamówić, żeby koszt jednej ulotki nie przekroczył 3 zł?

Krok 1. Koszt $n$ ulotek to $2n + 400$, więc koszt jednej:

$k(n) = \frac{2n + 400}{n} = 2 + \frac{400}{n}.$

To funkcja homograficzna (rozważana dla naturalnych $n$) z asymptotą poziomą $y = 2$: przy dużym nakładzie koszt ulotki zbliża się do 2 zł, ale nigdy ich nie osiąga.

Krok 2. $2 + \tfrac{400}{n} \le 3 \iff \tfrac{400}{n} \le 1 \iff n \ge 400$ (bo $n > 0$, więc wolno pomnożyć przez $n$).

Odpowiedź: co najmniej 400 ulotek. Dla porównania: przy 100 sztukach jedna kosztuje 6 zł, przy 1000 - 2,40 zł.

Przykład 9 - średnia prędkość. Rowerzysta jedzie do miasta z prędkością 20 km/h i wraca tą samą drogą z prędkością $v$. Wyraź średnią prędkość na całej trasie jako funkcję $v$. Z jaką prędkością musi wracać, żeby średnia wyniosła 30 km/h?

Krok 1. Niech droga w jedną stronę ma $s$ km. Czas jazdy: $\tfrac{s}{20} + \tfrac{s}{v}$, droga: $2s$. Średnia prędkość:

$v_{\text{śr}} = \frac{2s}{\tfrac{s}{20} + \tfrac{s}{v}} = \frac{40v}{v + 20} = 40 - \frac{800}{v + 20}.$

Krok 2. $\tfrac{40v}{v + 20} = 30 \iff 40v = 30v + 600 \iff v = 60$.

Odpowiedź: $v_{\text{śr}}(v) = \tfrac{40v}{v + 20}$; żeby średnia wyniosła 30 km/h, trzeba wracać z prędkością 60 km/h - a nie 40 km/h, jak podpowiada intuicja.

Asymptota pozioma $y = 40$ mówi coś zaskakującego: średniej 40 km/h nie da się osiągnąć, nawet wracając dowolnie szybko. Średnia prędkość to tu średnia harmoniczna prędkości, a nie arytmetyczna.

Typowe błędy

• Liczenie $p$ z asymptoty ze złym znakiem. Asymptota $x = -3$ daje mianownik $x + 3$.
• Pominięcie sprawdzenia $ad - bc \ne 0$ w zadaniach z niewiadomymi współczynnikami - wynik może dać funkcję stałą, a nie homograficzną.
• Mnożenie nierówności przez mianownik o nieznanym znaku. W przykładzie 6 pomnożenie przez $x - 2$ „zgubiłoby” lewą gałąź albo dało złe przedziały.
• Dopisanie asymptoty pionowej do rozwiązania nierówności. Liczba $x = 2$ nie należy do dziedziny, więc przy $x = 2$ zawsze stoi nawias okrągły.
• Zapominanie, że $|f(x)|$ zmienia też asymptotę. Po odbiciu asymptota $y = -1$ przechodzi w $y = 1$, co zmienia liczbę rozwiązań dla $m = 1$.

Najczęstsze pytania

Jak wyznaczyć wzór funkcji homograficznej z wykresu? Odczytaj asymptoty - to $x = p$ i $y = q$ - i wpisz je do postaci $f(x) = \tfrac{k}{x - p} + q$. Potem podstaw współrzędne dowolnego punktu wykresu (najlepiej o całkowitych współrzędnych) i oblicz $k$.

Ile rozwiązań ma równanie f(x) = m dla funkcji homograficznej? Jedno dla każdego $m$ różnego od $q$ (asymptoty poziomej) i zero dla $m = q$. Funkcja homograficzna jest różnowartościowa, więc żadnej wartości nie przyjmuje dwa razy.

Jak rozwiązać nierówność z funkcją homograficzną? Graficznie: narysuj hiperbolę i prostą $y = m$ i odczytaj, gdzie wykres leży nad prostą (albo pod nią). Rachunkiem: przenieś wszystko na jedną stronę, sprowadź do wspólnego mianownika i zamień iloraz na iloczyn licznika i mianownika - nie mnóż przez mianownik o nieznanym znaku.

Jak wyznaczyć parametr, dla którego funkcja homograficzna jest rosnąca? Sprowadź wzór do postaci kanonicznej $\tfrac{k}{x - p} + q$ (z $k$ zależnym od parametru) i zażądaj $k < 0$. Równoważnie: we wzorze ogólnym $\tfrac{ax + b}{cx + d}$ wyrażenie $ad - bc$ musi być dodatnie.

Gdzie w życiu występuje funkcja homograficzna? Wszędzie tam, gdzie liczymy coś „na sztukę” przy stałym koszcie początkowym (koszt jednostkowy), średnią prędkość przy dwóch różnych prędkościach, opór zastępczy dwóch oporników połączonych równolegle albo czas wspólnej pracy dwóch osób.

Podsumowanie

• Wzór z warunków: asymptoty dają $p$ i $q$, punkt wykresu daje $k$; przy dwóch niewiadomych potrzebne są dwa warunki (układ równań).
• Równanie $f(x) = m$ ma jedno rozwiązanie dla $m \ne q$ i zero dla $m = q$; przy $|f(x)| = m$ liczbę rozwiązań odczytujemy z odbitego wykresu.
• Nierówność rozwiązujemy z wykresu albo rachunkiem - zawsze bez mnożenia przez mianownik o nieznanym znaku.
• Parametr we wzorze: najpierw warunek $ad - bc \ne 0$, potem znak licznika postaci kanonicznej.
• W zadaniach z treścią asymptota pozioma to wartość graniczna, której nie da się osiągnąć.

Zobacz też

• Funkcja homograficzna - jak narysować wykres - poprzednia lekcja: postać kanoniczna i asymptoty.
• Funkcja wymierna - następna lekcja.
• Nierówności wymierne i zadania tekstowe z równaniami wymiernymi - rachunkowa strona tych samych zadań.
• Wykresy z wartością bezwzględną - jak powstaje wykres $y = |f(x)|$.
• Funkcja homograficzna - wzór, wykres, asymptoty - zestawienie wzorów.
• Proporcjonalność odwrotna - zadania →, przekształcenia z wartością bezwzględną - zadania → i odczyt własności z wykresu - zadania →.