Funkcja wymierna krok po kroku - dziedzina, zera i wykres

Klasa 3 liceum i technikum

Funkcja wymierna to funkcja $f(x) = \tfrac{W(x)}{P(x)}$, gdzie $W$ i $P$ są wielomianami, a $P$ nie jest wielomianem zerowym; jej dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem miejsc zerowych mianownika. To uogólnienie funkcji homograficznej, w której licznik i mianownik były funkcjami liniowymi - teraz mogą być wielomianami dowolnych stopni, a wzór funkcji jest po prostu wyrażeniem wymiernym.

W tej lekcji przechodzimy przez badanie funkcji wymiernej krok po kroku, ze szczególnym naciskiem na pułapki: miejsca zerowe spoza dziedziny i „dziury” po skróceniu. Krótkie zestawienie definicji i wzorów jest na stronie funkcja wymierna - wzór, asymptoty, dziedzina.

Dziedzina funkcji wymiernej

Wyznaczamy ją tak samo jak dziedzinę wyrażenia wymiernego: rozkładamy mianownik na czynniki (metodami z lekcji o rozkładaniu wielomianów) i wyrzucamy jego pierwiastki.

Najważniejsza zasada: dziedzinę wyznaczamy ze wzoru wyjściowego, przed skracaniem. Skrócenie ułamka nie „przywraca” do dziedziny liczb, które z niej wypadły.

Miejsca zerowe - pułapka z licznikiem

Ułamek jest równy zeru, gdy licznik jest zerem, a mianownik nie. Dlatego miejsca zerowe funkcji wymiernej to te pierwiastki licznika, które należą do dziedziny.

Przykład 1. Wyznacz miejsca zerowe funkcji $f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x^2 - 3x}$.

Krok 1. Dziedzina. $x^2 - 3x = x(x - 3) \ne 0$, więc $D = \mathbb{R} \setminus \{0,\ 3\}$.

Krok 2. Pierwiastki licznika. $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) = 0$ dla $x = 3$ lub $x = -3$.

Krok 3. Selekcja. Liczba $3$ nie należy do dziedziny - w niej zeruje się także mianownik i wyrażenie $\tfrac{0}{0}$ nie ma sensu. Zostaje $x = -3$.

Odpowiedź: funkcja ma jedno miejsce zerowe: $x = -3$.

To jeden z najczęstszych błędów na sprawdzianach: odpowiedź „$x = 3$ lub $x = -3$” jest błędna.

Dziura w wykresie - co się dzieje po skróceniu

Jeśli licznik i mianownik mają wspólny czynnik $(x - x_0)$, ułamek można skrócić - ale tylko dla $x \ne x_0$. Wykres funkcji pokrywa się wtedy z wykresem prostszej funkcji, z jednym wyjątkiem: punkt o pierwszej współrzędnej $x_0$ jest wyrwany. Na rysunku zaznaczamy go pustym kółkiem.

Przykład 2. Narysuj wykres funkcji $g(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x + 2}$.

Krok 1. Dziedzina: $x + 2 \ne 0$, czyli $D = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$.

Krok 2. Skracamy: $\dfrac{x^2 - 4}{x + 2} = \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2} = x - 2$ dla $x \ne -2$.

Krok 3. Wykres to prosta $y = x - 2$ bez punktu o pierwszej współrzędnej $-2$. Ten punkt ma drugą współrzędną $-2 - 2 = -4$, więc wyrwany jest punkt $(-2,\ -4)$.

Odpowiedź: wykres to prosta $y = x - 2$ z wyrwanym punktem $(-2,\ -4)$. Funkcja nie przyjmuje wartości $-4$, więc jej zbiór wartości to $\mathbb{R} \setminus \{-4\}$.

Dziura zabiera więc jedną wartość ze zbioru wartości - o tym łatwo zapomnieć.

Asymptoty pionowe i poziome

Asymptota pionowa $x = x_0$ pojawia się tam, gdzie mianownik się zeruje, a licznik nie (po skróceniu wspólnych czynników). W pobliżu $x_0$ wartości funkcji uciekają do $+\infty$ albo $-\infty$. Mogą uciekać w przeciwne strony (jak w hiperboli $\tfrac{1}{x}$) albo w tę samą - na przykład $\tfrac{1}{(x - 1)^2}$ jest dodatnia po obu stronach $x = 1$.

Asymptota pozioma opisuje zachowanie funkcji dla bardzo dużych $|x|$. Decyduje porównanie stopni licznika i mianownika - dla dużych $|x|$ liczą się tylko wyrazy z najwyższą potęgą:

Ostatni wiersz to asymptota ukośna: $\tfrac{x^2 + 1}{x - 1} = x + 1 + \tfrac{2}{x - 1}$, więc dla dużych $|x|$ wykres przytula się do prostej $y = x + 1$. Na poziomie podstawowym wystarczy wiedzieć, że w tym przypadku asymptoty poziomej nie ma.

Wykres może przecinać asymptotę poziomą - inaczej niż w funkcji homograficznej. Funkcja $\tfrac{2x^2 - 1}{x^2 + x}$ przyjmuje wartość $2$ dla $x = -\tfrac{1}{2}$: równanie $2x^2 - 1 = 2x^2 + 2x$ daje $x = -\tfrac{1}{2}$. Asymptoty pionowej wykres przeciąć nie może, bo $x_0$ nie należy do dziedziny.

Przykład 3. Zbadaj funkcję $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 - 4}$.

Krok 1. Dziedzina: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$, więc $D = \mathbb{R} \setminus \{-2,\ 2\}$. Licznik $2x$ nie ma wspólnego czynnika z mianownikiem - nic się nie skraca.

Krok 2. Asymptoty pionowe: $x = -2$ i $x = 2$. Stopień licznika (1) jest mniejszy niż mianownika (2), więc asymptota pozioma to $y = 0$, czyli oś $OX$.

Krok 3. Miejsce zerowe: $2x = 0$, czyli $x = 0$. Punkty pomocnicze: $f(3) = \tfrac{6}{5}$, $f(-3) = -\tfrac{6}{5}$, $f(1) = -\tfrac{2}{3}$.

Krok 4. Znak: licznik i mianownik zmieniają znak w $-2$, $0$ i $2$, więc $f(x) > 0$ dla $x \in (-2;\ 0) \cup (2;\ +\infty)$ oraz $f(x) < 0$ dla $x \in (-\infty;\ -2) \cup (0;\ 2)$ - tak samo jak znak iloczynu $2x(x - 2)(x + 2)$, który wyznaczamy metodą wężyka.

Odpowiedź: $D = \mathbb{R} \setminus \{-2,\ 2\}$, miejsce zerowe $0$, asymptoty $x = -2$, $x = 2$ i $y = 0$; wykres ma trzy gałęzie i jest symetryczny względem początku układu (funkcja nieparzysta: $f(-x) = -f(x)$).

Przykład 4 - pełne badanie z dziurą

Zadanie. Naszkicuj wykres funkcji $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 - 2x - 3}$ i podaj jej zbiór wartości.

Krok 1. Rozkład i dziedzina. Mianownik: $\Delta = 4 + 12 = 16$, pierwiastki $-1$ i $3$, więc $x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3)$ i $D = \mathbb{R} \setminus \{-1,\ 3\}$. Licznik: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.

Krok 2. Skracanie. Dla $x \in D$:

$f(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 3)(x + 1)} = \frac{x - 1}{x - 3} = \frac{2}{x - 3} + 1.$

Po skróceniu zostaje funkcja homograficzna - jej wykres to hiperbola $y = \tfrac{2}{x}$ przesunięta o wektor $[3,\ 1]$.

Krok 3. Dziura. Czynnik $(x + 1)$ się skrócił, więc w $x = -1$ jest dziura, nie asymptota. Jej druga współrzędna: $\tfrac{-1 - 1}{-1 - 3} = \tfrac{1}{2}$. Wyrwany punkt to $\left(-1,\ \tfrac{1}{2}\right)$.

Krok 4. Asymptoty, zera, punkty. Asymptota pionowa $x = 3$, pozioma $y = 1$ (stopnie równe, współczynniki wiodące $1$ i $1$). Miejsce zerowe: $x = 1$ (liczba $-1$ odpada - spoza dziedziny). Dalej $f(0) = \tfrac{1}{3}$, $f(2) = -1$, $f(5) = 2$.

Krok 5. Zbiór wartości. Hiperbola $\tfrac{2}{x - 3} + 1$ przyjmuje wszystkie wartości oprócz $1$. Wartość $\tfrac{1}{2}$ przyjmowała tylko w $x = -1$, a tego punktu nie ma - więc ona też wypada.

Odpowiedź: wykres jak na rysunku; zbiór wartości $\mathbb{R} \setminus \left\{\tfrac{1}{2},\ 1\right\}$. Funkcja jest malejąca w każdym z przedziałów $(-\infty;\ -1)$, $(-1;\ 3)$ i $(3;\ +\infty)$.

Typowe błędy

• Skracanie przed wyznaczeniem dziedziny. Po skróceniu $\tfrac{x^2 - 1}{x^2 - 2x - 3}$ do $\tfrac{x - 1}{x - 3}$ „znika” informacja, że $-1$ nie należy do dziedziny.
• Miejsce zerowe spoza dziedziny. W przykładzie 1 liczba $3$ zeruje licznik, ale nie jest miejscem zerowym.
• Asymptota w każdym zerze mianownika. Jeśli czynnik się skraca, jest dziura, a nie asymptota (przykład 2 i przykład 4).
• Zbiór wartości bez uwzględnienia dziury. Wyrwany punkt zabiera jedną wartość (o ile funkcja nie przyjmuje jej gdzie indziej).
• „Wykres nigdy nie przecina asymptoty poziomej”. To prawda dla funkcji homograficznej, ale nie dla każdej funkcji wymiernej.

Najczęstsze pytania

Co to jest funkcja wymierna? To iloraz dwóch wielomianów, $f(x) = \tfrac{W(x)}{P(x)}$, w którym mianownik nie jest wielomianem zerowym. Przykłady: $\tfrac{1}{x}$, $\tfrac{2x + 1}{x - 1}$, $\tfrac{x^2 - 1}{x^3 + x}$. Wzór funkcji wymiernej to wyrażenie wymierne, czyli ułamek algebraiczny.

Jak wyznaczyć dziedzinę funkcji wymiernej? Przyrównaj mianownik do zera, rozwiąż to równanie i usuń otrzymane liczby ze zbioru $\mathbb{R}$. Robi się to na wzorze wyjściowym, przed skracaniem.

Jak obliczyć miejsca zerowe funkcji wymiernej? Przyrównaj licznik do zera i z otrzymanych rozwiązań zostaw tylko te, które należą do dziedziny. Liczba zerująca jednocześnie licznik i mianownik nie jest miejscem zerowym.

Kiedy funkcja wymierna ma asymptotę pionową? W miejscu zerowym mianownika, które nie jest jednocześnie miejscem zerowym licznika (po skróceniu wspólnych czynników). Gdy czynnik się skraca, na wykresie jest dziura, a nie asymptota.

Jak wyznaczyć asymptotę poziomą funkcji wymiernej? Porównaj stopnie licznika i mianownika: przy mniejszym stopniu licznika asymptotą jest $y = 0$, przy równych stopniach - $y$ równe ilorazowi współczynników przy najwyższych potęgach, a przy większym stopniu licznika asymptoty poziomej nie ma.

Co to jest dziura w wykresie funkcji? To pojedynczy punkt wyrwany z wykresu - pojawia się, gdy licznik i mianownik mają wspólny czynnik $(x - x_0)$. Liczba $x_0$ nie należy do dziedziny, a na rysunku zaznaczamy ten punkt pustym kółkiem.

Czym różni się funkcja wymierna od homograficznej? Funkcja homograficzna to szczególny przypadek funkcji wymiernej: licznik i mianownik są funkcjami liniowymi. Jej wykres jest zawsze hiperbolą, a ogólna funkcja wymierna może mieć kilka asymptot pionowych, dziury i wykres przecinający asymptotę poziomą.

Podsumowanie

• Funkcja wymierna to iloraz wielomianów; dziedzina to $\mathbb{R}$ bez pierwiastków mianownika, wyznaczona przed skracaniem.
• Miejsca zerowe to pierwiastki licznika należące do dziedziny.
• Wspólny czynnik licznika i mianownika daje dziurę (pusty punkt) i może zabrać jedną wartość ze zbioru wartości.
• Asymptoty pionowe są w pierwiastkach mianownika, które zostają po skróceniu.
• Asymptota pozioma zależy od stopni: $y = 0$, $y = \tfrac{a_n}{b_n}$ albo brak; wykres może ją przecinać.

Zobacz też

• Funkcja homograficzna w zadaniach - poprzednia lekcja.
• Wyrażenie wymierne - dziedzina i skracanie - skąd się bierze zasada „dziedzina przed skracaniem”.
• Nierówności wymierne - jak wyznaczyć znak funkcji wymiernej rachunkiem.
• Funkcje wielomianowe i rozkładanie wielomianów na czynniki.
• Funkcja wymierna - wzór, asymptoty, dziedzina - krótkie zestawienie definicji.
• Rozkład wielomianu na czynniki - zadania →, dziedzina funkcji - zadania → i miejsca zerowe - zadania →.