Równania wymierne - jak rozwiązywać krok po kroku

Klasa 3 liceum i technikum

Równanie wymierne to równanie, w którym niewiadoma występuje w mianowniku ułamka, np. $\frac{3}{x-2} = \frac{x}{x+2}$. Rozwiązujemy je, mnożąc obie strony przez wspólny mianownik, co daje równanie wielomianowe - ale tylko dla $x$ z dziedziny, więc każde otrzymane rozwiązanie trzeba z nią porównać.

Ostatni krok nie jest formalnością. Mnożenie przez wyrażenie, które może być zerem, potrafi dołożyć „fałszywe” rozwiązania - takie, dla których równanie wyjściowe w ogóle nie ma sensu. Rachunki są te same co w lekcji o upraszczaniu wyrażeń wymiernych, a równania po pomnożeniu rozwiązujemy jak równania wielomianowe.

Kiedy ułamek jest równy zero

Ułamek jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy zerem jest licznik, a mianownik - nie. Mianownik w ogóle nie bierze udziału w rachunku, służy tylko do wyznaczenia dziedziny.

Przykład 1. Rozwiąż równanie $\dfrac{x^2-9}{x+3} = 0$.

Krok 1. Dziedzina. $x + 3 \neq 0$, czyli $D = \mathbb{R} \setminus \{-3\}$.

Krok 2. Licznik równy zero. $x^2 - 9 = (x-3)(x+3) = 0$, więc $x = 3$ lub $x = -3$.

Krok 3. Dziedzina. $-3 \notin D$ - odrzucamy.

Odpowiedź. $x = 3$.

Przykład 2. Rozwiąż równanie $\dfrac{x^3 - 4x}{x^2 - 2x} = 0$.

Krok 1. Dziedzina. $x^2 - 2x = x(x-2) \neq 0$, więc $D = \mathbb{R} \setminus \{0,\ 2\}$.

Krok 2. $x^3 - 4x = x(x-2)(x+2) = 0$ daje $x \in \{-2,\ 0,\ 2\}$.

Odpowiedź. Z trzech kandydatów zostaje tylko $x = -2$; liczby $0$ i $2$ zerują mianownik.

Proporcja, czyli mnożenie na krzyż

Gdy po każdej stronie stoi jeden ułamek, można od razu „mnożyć na krzyż” - to skrót mnożenia obu stron przez $B \cdot D$.

Przykład 3. Rozwiąż równanie $\dfrac{3}{x-2} = \dfrac{x}{x+2}$.

Krok 1. Dziedzina. $D = \mathbb{R} \setminus \{-2,\ 2\}$.

Krok 2. Na krzyż.

$3(x+2) = x(x-2) \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 5x - 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x-6)(x+1) = 0$

Krok 3. $x = 6$ lub $x = -1$ - obie liczby należą do dziedziny.

Odpowiedź. $x \in \{-1,\ 6\}$. Sprawdzenie: $\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$ oraz $\frac{3}{-3} = \frac{-1}{1}$.

Przykład 4. Rozwiąż równanie $\dfrac{x+1}{x-3} = \dfrac{x-2}{x-5}$.

$D = \mathbb{R} \setminus \{3,\ 5\}$. Po wymnożeniu na krzyż:

$(x+1)(x-5) = (x-2)(x-3) \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 4x - 5 = x^2 - 5x + 6 \quad\Longrightarrow\quad x = 11$

Odpowiedź. $x = 11$ (sprawdzenie: $\frac{12}{8} = \frac{9}{6} = 1{,}5$). Kwadraty się redukują, więc równanie wymierne wcale nie musi prowadzić do kwadratowego.

Mnożenie przez wspólny mianownik

Gdy po którejś stronie jest suma ułamków, mnożenie na krzyż nie działa. Rozkładamy wszystkie mianowniki na czynniki, ustalamy wspólny mianownik i mnożymy przez niego każdy wyraz po obu stronach.

Przykład 5. Rozwiąż równanie $\dfrac{x}{x-1} + \dfrac{2}{x+1} = \dfrac{2}{x^2-1}$.

Krok 1. Rozkład i dziedzina. $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$, więc $D = \mathbb{R} \setminus \{-1,\ 1\}$, a wspólny mianownik to $(x-1)(x+1)$.

Krok 2. Mnożymy każdy wyraz przez $(x-1)(x+1)$ - mianowniki się skracają:

$x(x+1) + 2(x-1) = 2 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + 3x - 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x+4)(x-1) = 0$

Krok 3. Dziedzina. $x = 1$ nie należy do dziedziny - odrzucamy. Zostaje $x = -4$.

Odpowiedź. $x = -4$. Sprawdzenie: $\frac{-4}{-5} + \frac{2}{-3} = \frac{12 - 10}{15} = \frac{2}{15}$ i $\frac{2}{16 - 1} = \frac{2}{15}$.

Przykład 6. Rozwiąż równanie $\dfrac{x+1}{x-2} - \dfrac{3}{x} = \dfrac{6}{x(x-2)}$.

Krok 1. $D = \mathbb{R} \setminus \{0,\ 2\}$, wspólny mianownik $x(x-2)$.

Krok 2. Po pomnożeniu:

$x(x+1) - 3(x-2) = 6 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x(x-2) = 0$

Krok 3. Oba kandydaty, $0$ i $2$, leżą poza dziedziną.

Odpowiedź. Równanie nie ma rozwiązań. Kto pominie dziedzinę, poda dwa „rozwiązania”, z których żadne nie jest prawdziwe - dla $x = 0$ i $x = 2$ obie strony są niezdefiniowane.

Równania wymierne z podstawieniem

Gdy w równaniu powtarza się to samo wyrażenie i jego odwrotność, wygodnie jest je oznaczyć nową literą.

Przykład 7. Rozwiąż równanie $\dfrac{x}{x+1} + \dfrac{x+1}{x} = \dfrac{5}{2}$.

Krok 1. Dziedzina. $D = \mathbb{R} \setminus \{-1,\ 0\}$.

Krok 2. Podstawienie $t = \frac{x}{x+1}$ (wtedy $t \neq 0$, a drugi ułamek to $\frac{1}{t}$):

$t + \dfrac{1}{t} = \dfrac{5}{2} \quad\Longrightarrow\quad 2t^2 - 5t + 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = 2 \ \text{ lub } \ t = \dfrac{1}{2}$

Krok 3. Powrót do $x$. $\frac{x}{x+1} = 2 \Rightarrow x = 2x + 2 \Rightarrow x = -2$. $\ \frac{x}{x+1} = \frac{1}{2} \Rightarrow 2x = x + 1 \Rightarrow x = 1$.

Odpowiedź. $x \in \{-2,\ 1\}$. Dla $x = 1$: $\frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$; dla $x = -2$: $2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.

Równanie wymierne na wykresie

Rozwiązania równania $f(x) = g(x)$ to pierwsze współrzędne punktów wspólnych wykresów $f$ i $g$. Dla równania $\frac{6}{x} = x + 1$ to punkty przecięcia hiperboli (proporcjonalność odwrotna) z prostą.

Przykład 8. Rozwiąż równanie $\dfrac{6}{x} = x + 1$.

$D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$. Mnożymy przez $x$: $\ 6 = x^2 + x$, czyli $x^2 + x - 6 = (x+3)(x-2) = 0$.

Odpowiedź. $x \in \{-3,\ 2\}$.

Wykres od razu pokazuje, że rozwiązania są dokładnie dwa: prosta przecina każdą gałąź hiperboli raz. Rysunek nie zastępuje rachunku, ale dobrze go sprawdza.

Zestawienie przykładów

W połowie przykładów dziedzina coś odrzuciła. Na sprawdzianie i na maturze pominięcie tego kroku kosztuje punkt nawet przy bezbłędnym rachunku.

Typowe błędy

• Brak dziedziny albo wyznaczenie jej dopiero na końcu „z wyniku”. Wypisz ją przed pierwszym przekształceniem.
• Mnożenie na krzyż przy sumie ułamków. $\frac{x}{x-1} + \frac{2}{x+1} = \frac{2}{x^2-1}$ to nie proporcja - trzeba pomnożyć każdy wyraz przez wspólny mianownik.
• Pominięty wyraz bez ułamka. W równaniu $\frac{4}{x} + 1 = x$ jedynkę też mnożymy przez $x$: $4 + x = x^2$, a nie $4 + 1 = x^2$.
• Dzielenie obu stron przez wyrażenie z $x$ - gubi rozwiązania, tak jak w równaniach wielomianowych.
• Skracanie ułamka bez warunku. $\frac{x^2-9}{x+3} = x - 3$ tylko dla $x \neq -3$. Kto w równaniu $\frac{x^2-9}{x+3} = -6$ skróci i zapomni o warunku, dostanie $x - 3 = -6$, czyli $x = -3$ - a to liczba spoza dziedziny. Równanie nie ma rozwiązań.

Najczęstsze pytania

Jak rozwiązać równanie wymierne? Wyznacz dziedzinę (mianowniki różne od zera), pomnóż obie strony przez wspólny mianownik, rozwiąż otrzymane równanie wielomianowe i odrzuć rozwiązania, które nie należą do dziedziny.

Co to jest równanie wymierne? To równanie, w którym niewiadoma występuje w mianowniku, czyli równanie z wyrażeniami wymiernymi (ułamkami algebraicznymi). Każde takie równanie da się sprowadzić do postaci $\frac{W(x)}{Q(x)} = 0$, gdzie $W$ i $Q$ to wielomiany.

Kiedy ułamek jest równy zero? Gdy licznik jest równy zero, a mianownik jest różny od zera. Sam mianownik nigdy nie daje rozwiązania - liczby zerujące mianownik zawsze odpadają.

Dlaczego w równaniu wymiernym trzeba sprawdzać dziedzinę? Bo mnożenie przez wspólny mianownik jest dozwolone tylko wtedy, gdy ten mianownik nie jest zerem. Otrzymane równanie wielomianowe może mieć rozwiązania, dla których równanie wyjściowe nie ma sensu (przykłady 5 i 6).

Czy w równaniu wymiernym można mnożyć na krzyż? Tak, ale tylko w proporcji - gdy po każdej stronie stoi jeden ułamek. Przy sumie ułamków mnożymy wszystkie wyrazy przez wspólny mianownik.

Co zrobić, gdy żadne rozwiązanie nie należy do dziedziny? Napisać, że równanie nie ma rozwiązań (zbiór rozwiązań jest pusty). To poprawna i częsta odpowiedź.

Czy nierówność wymierną rozwiązuje się tak samo? Nie. W nierówności nie wolno mnożyć przez mianownik o nieznanym znaku, bo przy liczbie ujemnej zmienia się zwrot nierówności. Metodę pokazuje lekcja o nierównościach wymiernych.

Podsumowanie

• Kolejność: dziedzina → mnożenie przez wspólny mianownik → równanie wielomianowe → porównanie z dziedziną.
• Ułamek jest zerem, gdy licznik jest zerem, a mianownik nie.
• Mnożenie na krzyż tylko w proporcji (jeden ułamek po każdej stronie).
• Liczby zerujące mianownik zawsze odrzucamy - może się okazać, że rozwiązań nie ma wcale.
• Powtarzające się wyrażenie warto podstawić ($t + \frac{1}{t} = k$).

Zobacz też

• Następna lekcja: zadania tekstowe z równaniami wymiernymi - wspólna praca, ruch, ceny.
• Nierówności wymierne - dlaczego tam nie mnożymy przez mianownik.
• Równania wielomianowe → - zadania z rozwiązaniami na etap po pomnożeniu przez mianownik.
• Równania kwadratowe → - najczęstszy wynik przekształcenia równania wymiernego.
• Proporcjonalność odwrotna → - hiperbola $y = \frac{a}{x}$ w zadaniach.
• Równania prowadzące do równań kwadratowych - pierwsze spotkanie z podstawieniem.
• Zestawienie wzorów: funkcja wymierna - wzór, asymptoty, dziedzina.