Zadania tekstowe z równaniami wymiernymi - praca, ruch, ceny

Klasa 3 liceum i technikum

Zadanie tekstowe z równaniem wymiernym to zadanie, w którym niewiadoma trafia do mianownika, bo pytamy o czas, prędkość lub liczbę sztuk, a znamy wielkość, którą przez nie dzielimy (drogę, kwotę, całą pracę). Po ułożeniu równania rozwiązujemy je jak każde równanie wymierne, a na końcu sprawdzamy wynik nie tylko z dziedziną, ale też z sensem treści.

Plan rozwiązania - cztery kroki

1. Oznacz niewiadomą z jednostką i od razu zapisz warunki z treści (czas i prędkość dodatnie, liczba sztuk naturalna, łódź szybsza od nurtu).
2. Wypisz wielkości w tabeli - na przykład droga, prędkość, czas dla każdego etapu.
3. Ułóż równanie z tej informacji, której jeszcze nie użyłeś (zwykle: suma czasów, różnica cen, wspólny czas pracy).
4. Rozwiąż, odrzuć rozwiązania sprzeczne z warunkami i sprawdź odpowiedź z treścią.

W porównaniu z zadaniami z układami równań nowy jest krok 4: rachunek prawie zawsze daje drugie, ujemne rozwiązanie, którego nie wolno wpisać do odpowiedzi.

Przykład 1 - wspólna praca

Zadanie. Dwie drukarki razem drukują nakład w $6$ godzin. Pierwsza, pracując sama, wydrukowałaby go o $5$ godzin szybciej niż druga. Ile czasu potrzebuje każda z nich osobno?

Krok 1. Niech $x$ - czas pierwszej drukarki (h), $x > 0$. Druga potrzebuje $x + 5$ godzin.

Krok 2. W ciągu godziny pierwsza drukuje $\frac{1}{x}$ nakładu, druga $\frac{1}{x+5}$, a obie razem $\frac{1}{6}$:

$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+5} = \dfrac{1}{6}$

Krok 3. Mnożymy przez $6x(x+5)$:

$6(x+5) + 6x = x(x+5) \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 7x - 30 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x-10)(x+3) = 0$

Krok 4. $x = -3$ odpada (czas ujemny), zostaje $x = 10$.

Odpowiedź. Pierwsza drukarka potrzebuje $10$ godzin, druga $15$ godzin. Sprawdzenie: $\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3 + 2}{30} = \frac{1}{6}$.

Zwróć uwagę, że wspólny czas $6$ h jest krótszy od czasu każdej drukarki osobno - to szybki test sensu wyniku. Częsty błąd to dodawanie czasów ($10 + 15$) zamiast wydajności.

Przykład 2 - łódź z prądem i pod prąd

Zadanie. Motorówka przepłynęła $36$ km z prądem rzeki, a potem wróciła tą samą trasą pod prąd. Cały rejs trwał $5$ godzin. Prędkość nurtu wynosi $3$ km/h. Jaka jest prędkość motorówki na stojącej wodzie?

Krok 1. Niech $v$ - prędkość motorówki na stojącej wodzie (km/h). Warunek: $v > 3$, inaczej łódź nie popłynęłaby pod prąd.

Krok 2. Tabela.

$\dfrac{36}{v+3} + \dfrac{36}{v-3} = 5$

Krok 3. Mnożymy przez $(v+3)(v-3)$:

$36(v-3) + 36(v+3) = 5(v^2 - 9) \quad\Longrightarrow\quad 5v^2 - 72v - 45 = 0$

$\Delta = 5184 + 900 = 6084, \qquad \sqrt{\Delta} = 78, \qquad v = \dfrac{72 - 78}{10} = -0{,}6 \quad \text{lub} \quad v = \dfrac{72 + 78}{10} = 15$

Krok 4. $v = -0{,}6$ nie spełnia warunku $v > 3$.

Odpowiedź. Motorówka płynie z prędkością $15$ km/h. Sprawdzenie: z prądem $36 : 18 = 2$ h, pod prąd $36 : 12 = 3$ h, razem $5$ h.

Przykład 3 - cena i liczba sztuk

Zadanie. Za $240$ zł kupiono pewną liczbę jednakowych książek. Gdyby każda kosztowała o $4$ zł mniej, za tę samą kwotę można by kupić o $2$ książki więcej. Ile książek kupiono i po ile?

Krok 1. Niech $n$ - liczba książek, $n$ naturalne dodatnie. Cena jednej: $\frac{240}{n}$ zł.

Krok 2. Przy $n + 2$ książkach cena byłaby $\frac{240}{n+2}$ i to jest o $4$ zł mniej:

$\dfrac{240}{n} - \dfrac{240}{n+2} = 4$

Krok 3. Mnożymy przez $n(n+2)$:

$240(n+2) - 240n = 4n(n+2) \quad\Longrightarrow\quad 480 = 4n^2 + 8n \quad\Longrightarrow\quad n^2 + 2n - 120 = 0$

$\Delta = 4 + 480 = 484$, $\sqrt{\Delta} = 22$, $\ n = \frac{-2 - 22}{2} = -12$ lub $n = \frac{-2 + 22}{2} = 10$.

Odpowiedź. Kupiono $10$ książek po $24$ zł. Sprawdzenie: po $20$ zł za $240$ zł byłoby ich $12$, czyli o $2$ więcej.

Kolejność odejmowania ma znaczenie: od wyższej ceny ($\frac{240}{n}$) odejmujemy niższą. Odwrotna kolejność prowadzi do równania $n^2 + 2n + 120 = 0$, które ma $\Delta < 0$ i nie ma rozwiązań - to sygnał, że różnica została zapisana na odwrót.

Przykład 4 - zbiornik z dopływem i odpływem

Zadanie. Rura doprowadzająca napełnia pusty zbiornik w pewnym czasie, a rura odprowadzająca opróżnia pełny zbiornik w czasie o $2$ godziny dłuższym. Gdy obie są otwarte, pusty zbiornik napełnia się w $12$ godzin. W jakim czasie napełnia go sama rura doprowadzająca?

Krok 1. Niech $x$ - czas napełniania samym dopływem (h), $x > 0$. Odpływ opróżnia zbiornik w $x + 2$ godziny.

Krok 2. W ciągu godziny dopływ dodaje $\frac{1}{x}$ zbiornika, odpływ zabiera $\frac{1}{x+2}$:

$\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x+2} = \dfrac{1}{12}$

Krok 3. Mnożymy przez $12x(x+2)$:

$12(x+2) - 12x = x(x+2) \quad\Longrightarrow\quad x^2 + 2x - 24 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x+6)(x-4) = 0$

Odpowiedź. Rura doprowadzająca napełnia zbiornik w $4$ godziny (odpływ opróżnia go w $6$ h). Sprawdzenie: $\frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3 - 2}{12} = \frac{1}{12}$.

Przykład 5 - średnia prędkość na trasie tam i z powrotem

Zadanie. Kierowca jechał z miasta A do B ze średnią prędkością $60$ km/h. Z jaką prędkością musi wracać, żeby średnia prędkość na całej trasie wyniosła $48$ km/h?

Krok 1. Niech $s$ - odległość AB (km), $v$ - szukana prędkość (km/h), $v > 0$.

Krok 2. Średnia prędkość to cała droga przez cały czas, a nie średnia z prędkości:

$\dfrac{2s}{\frac{s}{60} + \frac{s}{v}} = 48$

Skracamy przez $s$ i odwracamy obie strony: $\ \frac{1}{60} + \frac{1}{v} = \frac{2}{48} = \frac{1}{24}$.

Krok 3.

$\dfrac{1}{v} = \dfrac{1}{24} - \dfrac{1}{60} = \dfrac{5 - 2}{120} = \dfrac{1}{40} \quad\Longrightarrow\quad v = 40$

Odpowiedź. Kierowca musi wracać z prędkością $40$ km/h. Średnia z liczb $60$ i $40$ to $50$, a nie $48$ - prędkość średnia jest średnią harmoniczną, bo wolniejszy odcinek trwa dłużej.

Pułapka. Gdyby pytanie brzmiało „żeby średnia wyniosła $120$ km/h”, dostalibyśmy $\frac{1}{v} = \frac{1}{60} - \frac{1}{60} = 0$ - takie $v$ nie istnieje. Jadąc w jedną stronę $60$ km/h, kierowca zużył już cały czas, jaki dawałaby średnia $120$ km/h na obie strony.

Jak tłumaczyć treść na równanie

Typowe błędy

• Dodawanie czasów zamiast wydajności we wspólnej pracy. Razem pracuje się szybciej, więc wspólny czas musi być krótszy od każdego z osobna.
• Zostawienie ujemnego rozwiązania w odpowiedzi - czas, prędkość i liczba sztuk muszą być dodatnie.
• Zapomniany warunek $v > u$ w zadaniach z rzeką.
• Średnia prędkość jako średnia arytmetyczna prędkości z dwóch odcinków.
• Odejmowanie w złej kolejności (mniejsza cena minus większa daje wynik ujemny).
• Odpowiedź na inne pytanie niż zadane - w przykładzie 1 pytano o oba czasy, nie tylko o $x$.

Najczęstsze pytania

Jak rozwiązywać zadania na wspólną pracę? Zamień czas na wydajność: kto robi pracę w $a$ godzin, w godzinę robi jej $\frac{1}{a}$. Wydajności osób pracujących razem dodaje się, a suma jest odwrotnością wspólnego czasu: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{t}$.

Jak obliczyć prędkość łodzi z prądem i pod prąd? Z prądem prędkość łodzi i nurtu się dodają ($v + u$), pod prąd odejmują ($v - u$). Czas każdego odcinka to droga przez odpowiednią prędkość, a równanie układamy z sumy albo różnicy czasów.

Jak obliczyć średnią prędkość na trasie tam i z powrotem? Podziel całą drogę przez cały czas. Dla równych odcinków przejechanych z prędkościami $v_1$ i $v_2$ wychodzi $\frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$, czyli średnia harmoniczna - zawsze mniejsza od średniej arytmetycznej, chyba że $v_1 = v_2$.

Dlaczego w zadaniu tekstowym odrzuca się jedno rozwiązanie? Równanie nie wie, że opisuje czas albo liczbę książek - ma też rozwiązania ujemne. Odrzucamy te, które nie spełniają warunków zapisanych w kroku 1.

Skąd wiadomo, że zadanie prowadzi do równania wymiernego? Gdy pytamy o wielkość, przez którą trzeba dzielić: o prędkość przy znanej drodze, o czas przy znanej pracy, o liczbę sztuk przy znanej kwocie. Wtedy niewiadoma ląduje w mianowniku.

Czy zadanie z dopływem i odpływem różni się od wspólnej pracy? Tylko znakiem: odpływ „pracuje przeciwko”, więc jego wydajność odejmujemy. Zbiornik się napełnia, jeśli dopływ jest szybszy, czyli ma krótszy czas.

Podsumowanie

• Wielkość, przez którą się dzieli (czas, prędkość, liczba sztuk), trafia do mianownika.
• Wspólna praca: dodajemy wydajności $\frac{1}{a}$, nie czasy.
• Rzeka: $v + u$ z prądem, $v - u$ pod prąd, warunek $v > u$.
• Średnia prędkość = cała droga : cały czas (średnia harmoniczna).
• Na końcu odrzucamy rozwiązania sprzeczne z treścią i sprawdzamy wynik podstawieniem do treści.

Zobacz też

• Równania wymierne - technika rozwiązywania krok po kroku.
• Zadania prowadzące do równań i nierówności kwadratowych - pierwsze zadania na prędkość i czas.
• Zadania prowadzące do równań wielomianowych - objętości, kolejne liczby, procent składany.
• Zadania tekstowe z układami równań → - ceny, wiek, mieszaniny.
• Zadania tekstowe z wielomianami →.
• Proporcjonalność odwrotna → - liczba pracowników i czas pracy.
• Średnie: arytmetyczna, geometryczna, harmoniczna.