Funkcja homograficzna - jak narysować wykres krok po kroku

Klasa 3 liceum i technikum

Funkcja homograficzna to funkcja postaci $f(x) = \tfrac{ax + b}{cx + d}$, w której $c \ne 0$ i $ad - bc \ne 0$, czyli iloraz dwóch funkcji liniowych. Jej wykresem jest hiperbola powstała z wykresu $y = \tfrac{k}{x}$ przez przesunięcie o wektor - dlatego każdą funkcję homograficzną da się zapisać w postaci kanonicznej $f(x) = \tfrac{k}{x - p} + q$, z której odczytuje się wszystkie własności.

Punktem wyjścia jest proporcjonalność odwrotna y = a/x z klasy 1 oraz przesuwanie wykresów. Licznik hiperboli, który w lekcji o proporcjonalności odwrotnej oznaczaliśmy literą $a$, tutaj nazywamy $k$ i piszemy $y = \tfrac{k}{x}$ - litera $a$ jest już zajęta przez współczynnik we wzorze ogólnym $\tfrac{ax + b}{cx + d}$. W tej lekcji uczymy się metody: jak z dowolnego wzoru dojść do szkicu wykresu i odczytać z niego własności. Zwięzłe zestawienie wzorów (z wyprowadzeniem postaci kanonicznej w ogólnym przypadku) znajdziesz na stronie funkcja homograficzna - wzór, wykres, asymptoty.

Hiperbola przesunięta o wektor

Weźmy hiperbolę $y = \tfrac{2}{x}$ i przesuńmy ją o wektor $[3,\ 1]$: o 3 jednostki w prawo i o 1 w górę. Z lekcji o przekształceniach wiemy, że przesunięcie w prawo o 3 to zamiana $x$ na $x - 3$, a w górę o 1 - dodanie 1 do wzoru:

$y = \frac{2}{x} \quad \xrightarrow{\ [3,\ 1]\ } \quad y = \frac{2}{x - 3} + 1.$

Razem z wykresem przesuwają się asymptoty. Hiperbola $y = \tfrac{2}{x}$ ma asymptoty $x = 0$ i $y = 0$ (osie układu), więc po przesunięciu są to proste $x = 3$ i $y = 1$. Każdy punkt wykresu przesuwa się o ten sam wektor, np. $(2,\ 1)$ przechodzi w $(5,\ 2)$ - sprawdź: $\tfrac{2}{5 - 3} + 1 = 2$.

Ogólnie: wykres funkcji $f(x) = \tfrac{k}{x - p} + q$ to hiperbola $y = \tfrac{k}{x}$ przesunięta o wektor $[p,\ q]$. Liczby $p$ i $q$ to współrzędne punktu przecięcia asymptot - środka symetrii hiperboli.

Uwaga na znak $p$. We wzorze stoi $x - p$, więc $\tfrac{5}{x + 4}$ oznacza $p = -4$ (przesunięcie w lewo), a asymptota pionowa to $x = -4$. Najprościej: asymptota pionowa leży tam, gdzie zeruje się mianownik.

Jak sprowadzić wzór do postaci kanonicznej

Zadanie zwykle podaje wzór ogólny $\tfrac{ax + b}{cx + d}$. Żeby narysować wykres, trzeba wydzielić z ułamka całość: zapisać licznik jako wielokrotność mianownika plus resztę.

Przykład 1. Sprowadź do postaci kanonicznej $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$.

Krok 1. Ile razy mianownik $x - 1$ „mieści się” w liczniku $2x + 1$? Dwa razy: $2(x - 1) = 2x - 2$. Brakuje jeszcze $3$, więc $2x + 1 = 2(x - 1) + 3$.

Krok 2. Rozbijamy ułamek na dwa:

$\frac{2x + 1}{x - 1} = \frac{2(x - 1) + 3}{x - 1} = \frac{2(x - 1)}{x - 1} + \frac{3}{x - 1} = 2 + \frac{3}{x - 1}.$

Odpowiedź: $f(x) = \dfrac{3}{x - 1} + 2$, czyli $k = 3$, $p = 1$, $q = 2$. Wykres to hiperbola $y = \tfrac{3}{x}$ przesunięta o wektor $[1,\ 2]$.

Przykład 2 (współczynnik przy $x$ w mianowniku różny od 1). Sprowadź do postaci kanonicznej $f(x) = \dfrac{4x + 1}{2x - 2}$.

Krok 1. $4x + 1 = 2(2x - 2) + 5$, więc $f(x) = 2 + \dfrac{5}{2x - 2}$.

Krok 2. Postać kanoniczna wymaga w mianowniku samego $x - p$. Wyłączamy 2 przed nawias:

$\frac{5}{2x - 2} = \frac{5}{2(x - 1)} = \frac{\tfrac{5}{2}}{x - 1}.$

Odpowiedź: $f(x) = \dfrac{\tfrac{5}{2}}{x - 1} + 2$, czyli $k = \tfrac{5}{2}$, $p = 1$, $q = 2$.

Działa to też w drugą stronę - z postaci kanonicznej wracamy do ogólnej, sprowadzając do wspólnego mianownika (jak przy dodawaniu wyrażeń wymiernych):

$\frac{3}{x + 1} - 2 = \frac{3 - 2(x + 1)}{x + 1} = \frac{-2x + 1}{x + 1}.$

Skrót do sprawdzenia wyniku: asymptota pionowa to miejsce zerowe mianownika ($x = -\tfrac{d}{c}$), a pozioma to iloraz współczynników przy $x$: $y = \tfrac{a}{c}$. Dla $\tfrac{4x + 1}{2x - 2}$: $x = 1$ i $y = \tfrac{4}{2} = 2$ - zgadza się z tabelą.

Kiedy to w ogóle jest funkcja homograficzna

Warunek $ad - bc \ne 0$ nie jest formalnością. Weźmy $f(x) = \dfrac{3x + 6}{x + 2}$. Tu $ad - bc = 3 \cdot 2 - 6 \cdot 1 = 0$ i rzeczywiście:

$\frac{3x + 6}{x + 2} = \frac{3(x + 2)}{x + 2} = 3 \qquad \text{dla } x \ne -2.$

Wykresem jest pozioma prosta $y = 3$ z wyrwanym punktem $(-2,\ 3)$, a nie hiperbola. Takimi „dziurami” w wykresie zajmujemy się w lekcji o funkcji wymiernej. Drugi warunek, $c \ne 0$, wyklucza zwykłą funkcję liniową (mianownik byłby stałą).

Własności odczytane z postaci kanonicznej

Gdy mamy już $f(x) = \tfrac{k}{x - p} + q$, wszystkie podstawowe własności wypisujemy bez rachunków:

Miejsce zerowe i punkt przecięcia z osią $OY$ trzeba już policzyć: rozwiązujemy $f(x) = 0$ i obliczamy $f(0)$ (o ile $0$ należy do dziedziny).

Przykład 3 - pełne badanie funkcji

Zadanie. Narysuj wykres funkcji $f(x) = \dfrac{2x - 6}{x - 1}$ i odczytaj jej własności.

Krok 1. Postać kanoniczna. $2x - 6 = 2(x - 1) - 4$, więc

$f(x) = \frac{2(x - 1) - 4}{x - 1} = \frac{-4}{x - 1} + 2.$

Mamy $k = -4$, $p = 1$, $q = 2$. Warunek $ad - bc = 2 \cdot (-1) - (-6) \cdot 1 = 4 \ne 0$ jest spełniony.

Krok 2. Asymptoty. Pionowa $x = 1$, pozioma $y = 2$. Rysujemy je linią przerywaną - to „szkielet” wykresu.

Krok 3. Kilka punktów. Najpierw punkty przecięcia z osiami, potem po jednym-dwa z każdej strony asymptoty pionowej:

Krok 4. Szkic. Ponieważ $k < 0$, gałęzie leżą „po lewej u góry” i „po prawej u dołu” względem asymptot. Łączymy punkty gładką krzywą zbliżającą się do asymptot - osobno z każdej strony prostej $x = 1$.

Krok 5. Własności.

• dziedzina: $\mathbb{R} \setminus \{1\}$, zbiór wartości: $\mathbb{R} \setminus \{2\}$;
• miejsce zerowe: $2x - 6 = 0$, czyli $x = 3$; przecięcie z osią $OY$: $f(0) = 6$;
• monotoniczność: $k = -4 < 0$, więc funkcja jest rosnąca w przedziale $(-\infty;\ 1)$ i rosnąca w przedziale $(1;\ +\infty)$;
• znak: $f(x) > 0$ dla $x \in (-\infty;\ 1) \cup (3;\ +\infty)$, $f(x) < 0$ dla $x \in (1;\ 3)$;
• środek symetrii: $S = (1,\ 2)$.

Odpowiedź: wykres to hiperbola $y = -\tfrac{4}{x}$ przesunięta o wektor $[1,\ 2]$, o asymptotach $x = 1$ i $y = 2$; własności jak wyżej.

Typowe błędy

• „Funkcja jest rosnąca w całej dziedzinie”. Nie jest. W przykładzie 3 mamy $f(0) = 6$ i $f(2) = -2$: argument wzrósł, a wartość spadła. Monotoniczność podajemy dla każdego przedziału osobno, nigdy dla sumy $(-\infty;\ 1) \cup (1;\ +\infty)$.
• Zły znak $p$. Dla $\tfrac{11}{x + 2} - 3$ asymptota pionowa to $x = -2$, a nie $x = 2$.
• Asymptota pozioma $y = a$ zamiast $y = \tfrac{a}{c}$. Dla $\tfrac{4x + 1}{2x - 2}$ asymptotą jest $y = 2$, a nie $y = 4$ - liczy się iloraz współczynników przy $x$.
• Łączenie gałęzi. Wykres nie przechodzi przez asymptotę pionową; dwie gałęzie rysujemy osobno i żadna nie dotyka asymptot.
• Zbiór wartości $\mathbb{R}$. Funkcja homograficzna nigdy nie przyjmuje wartości $q$, więc jej zbiór wartości to $\mathbb{R} \setminus \{q\}$.

Najczęstsze pytania

Jak wyznaczyć asymptoty funkcji homograficznej? Asymptota pionowa to prosta $x = -\tfrac{d}{c}$ (miejsce zerowe mianownika), a pozioma - prosta $y = \tfrac{a}{c}$ (iloraz współczynników przy $x$). W postaci kanonicznej $\tfrac{k}{x - p} + q$ są to po prostu $x = p$ i $y = q$.

Jak sprowadzić funkcję homograficzną do postaci kanonicznej? Zapisz licznik jako wielokrotność mianownika plus reszta, np. $2x + 1 = 2(x - 1) + 3$, i rozbij ułamek: $\tfrac{2x + 1}{x - 1} = 2 + \tfrac{3}{x - 1}$. Jeśli przy $x$ w mianowniku stoi liczba różna od 1, wyłącz ją przed nawias i podziel przez nią licznik reszty.

Co to jest postać kanoniczna funkcji homograficznej? To zapis $f(x) = \tfrac{k}{x - p} + q$. Pokazuje, że wykres jest hiperbolą $y = \tfrac{k}{x}$ przesuniętą o wektor $[p,\ q]$, i pozwala od razu odczytać asymptoty, dziedzinę, zbiór wartości i monotoniczność.

Kiedy funkcja homograficzna jest rosnąca, a kiedy malejąca? W postaci kanonicznej decyduje znak $k$: dla $k > 0$ funkcja maleje, dla $k < 0$ rośnie - w każdym z dwóch przedziałów dziedziny osobno. We wzorze ogólnym to samo mówi znak $ad - bc$: dodatni oznacza funkcję rosnącą, ujemny - malejącą.

Jak wyznaczyć zbiór wartości funkcji homograficznej? Zbiór wartości to wszystkie liczby rzeczywiste oprócz $q$, czyli oprócz drugiej współrzędnej środka symetrii (asymptoty poziomej). Dla $f(x) = \tfrac{2x - 6}{x - 1}$ jest to $\mathbb{R} \setminus \{2\}$.

Czy wykres funkcji homograficznej może przeciąć asymptotę? Nie. Asymptoty pionowej nie przetnie, bo $x = p$ nie należy do dziedziny, a poziomej - bo wartość $q$ nie należy do zbioru wartości.

Podsumowanie

• Funkcja homograficzna $f(x) = \tfrac{ax + b}{cx + d}$ wymaga $c \ne 0$ i $ad - bc \ne 0$ (inaczej to funkcja liniowa albo stała z dziurą).
• Postać kanoniczną $\tfrac{k}{x - p} + q$ dostajemy, wydzielając z ułamka całość.
• Wykres to hiperbola $y = \tfrac{k}{x}$ przesunięta o wektor $[p,\ q]$; asymptoty $x = p$ i $y = q$ przesuwają się razem z nią.
• Dziedzina $\mathbb{R} \setminus \{p\}$, zbiór wartości $\mathbb{R} \setminus \{q\}$, środek symetrii $(p,\ q)$.
• Monotoniczność zależy od znaku $k$ i dotyczy każdego przedziału dziedziny osobno.

Zobacz też

• Funkcja homograficzna w zadaniach - następna lekcja: wyznaczanie wzoru, parametr, nierówności i zastosowania.
• Funkcja wymierna - gdy w liczniku i mianowniku stoją wielomiany wyższych stopni.
• Proporcjonalność odwrotna y = a/x - hiperbola, od której wszystko się zaczyna.
• Przesunięcie wzdłuż osi OX i wzdłuż osi OY - skąd się bierze $x - p$ i $+ q$.
• Rysownik przekształceń wykresu - wybierz funkcję $1/x$ i przesuwaj ją suwakami.
• Funkcja homograficzna - wzór, wykres, asymptoty - zestawienie wzorów i wyprowadzenie postaci kanonicznej w ogólnym przypadku.
• Proporcjonalność odwrotna - zadania → i przesunięcia wykresów - zadania →.