Równość wielomianów - jak wyznaczyć parametry a, b, c

Q: Czy wielomiany o tych samych pierwiastkach są równe?

Nie. (x - 1)(x + 2) i 3(x - 1)(x + 2) mają te same pierwiastki, ale różne współczynniki. Różnią się czynnikiem stałym, a (x - 1)²(x + 2) ma te same pierwiastki i nawet inny stopień.

Q: Czy wystarczy, że wielomiany mają równe wartości w kilku punktach?

Nie. Dwa wielomiany stopnia co najwyżej n są równe, jeśli mają równe wartości w n + 1 różnych punktach - mniej punktów nie wystarcza (przykład: x² i x + 2 zgadzają się w dwóch punktach).

Klasa 2 liceum i technikum

Równość wielomianów

$W(x) = a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0, \qquad V(x) = b_n x^n + \ldots + b_1 x + b_0$

$W = V \iff a_n = b_n,\ a_{n-1} = b_{n-1},\ \ldots,\ a_1 = b_1,\ a_0 = b_0$

Równe wielomiany mają ten sam stopień i równe współczynniki przy tych samych potęgach $x$ . Równoważnie: $W(x) = V(x)$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$ .

Dwa wielomiany są równe, gdy są tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej (dwa wielomiany zerowe też uznajemy za równe). Z tej definicji wynika metoda porównywania współczynników: równość wielomianów z parametrami zamieniamy na układ równań, po jednym równaniu dla każdej potęgi $x$ .

Kiedy wielomiany są równe

Zestawiamy współczynniki przy $x^n, x^{n-1}, \ldots, x^0$ i sprawdzamy, czy wszystkie pary się zgadzają. Brakujący wyraz traktujemy jako wyraz ze współczynnikiem $0$ .

W(x)	V(x)	Równe?	Powód
(x − 1)(x + 3)	x² + 2x − 3	tak	po wymnożeniu współczynniki 1, 2, −3 w obu
(x + 2)²	x² + 4	nie	przy x: 4 ≠ 0
x³ − x	x(x − 1)(x + 1)	tak	x(x² − 1) = x³ − x
2x² + x	x + 2x³	nie	różne stopnie: 2 i 3

Ważne rozróżnienie. Równość wielomianów to co innego niż równanie $W(x) = V(x)$ . Wielomiany $x^2$ i $x + 2$ nie są równe, choć dla $x = 2$ (i dla $x = -1$ ) mają te same wartości. Równe wielomiany przyjmują te same wartości dla wszystkich $x$ - i tylko wtedy.

Dlaczego oba warunki (współczynniki i wartości) to to samo? Jeśli $W(x) = V(x)$ dla każdego $x$ , to różnica $W - V$ ma nieskończenie wiele pierwiastków. Niezerowy wielomian stopnia $n$ ma ich co najwyżej $n$ , więc $W - V$ musi być wielomianem zerowym - wszystkie współczynniki $W$ i $V$ są równe.

Wyznaczanie parametrów - porównanie współczynników

Przykład 1. Dla jakich $a$ , $b$ , $c$ wielomiany $W(x) = (a - 2)x^3 + 5x^2 + (b + 1)x - 3$ oraz $V(x) = 4x^3 + 5x^2 - 2x + c$ są równe?

Krok 1. Porównujemy współczynniki przy kolejnych potęgach:

przy $x^3$ : $a - 2 = 4$ ,
przy $x^2$ : $5 = 5$ (zgadza się),
przy $x$ : $b + 1 = -2$ ,
wyraz wolny: $-3 = c$ .

Krok 2. Rozwiązujemy proste równania: $a = 6$ , $b = -3$ , $c = -3$ .

Odpowiedź. $a = 6$ , $b = -3$ , $c = -3$ .

Przykład 2. Dla jakich $a$ i $b$ wielomiany $W(x) = (a + b)x^2 + (a - b)x + 4$ i $V(x) = 5x^2 - x + 4$ są równe?

Krok 1. Wyrazy wolne są równe ( $4 = 4$ ), a pozostałe współczynniki dają układ równań:

$\begin{cases} a + b = 5 \\ a - b = -1 \end{cases}$

Krok 2. Dodajemy równania stronami: $2a = 4$ , czyli $a = 2$ . Z pierwszego równania $b = 3$ .

Odpowiedź. $a = 2$ , $b = 3$ . Sprawdzenie: $W(x) = 5x^2 - x + 4$ .

Gdy trzeba najpierw wymnożyć

Zwykle jeden z wielomianów jest zapisany jako iloczyn. Wtedy najpierw go wymnażamy i porządkujemy, a dopiero potem porównujemy współczynniki.

Przykład 3. Wyznacz $a$ i $b$ tak, aby wielomiany $W(x) = (x - 2)(x^2 + ax + b)$ i $V(x) = x^3 - 5x^2 + 2x + 8$ były równe.

Krok 1. Wymnażamy $W$ :

$W(x) = x^3 + ax^2 + bx - 2x^2 - 2ax - 2b = x^3 + (a - 2)x^2 + (b - 2a)x - 2b.$

Krok 2. Porównujemy z $V$ :

$\begin{cases} a - 2 = -5 \\ b - 2a = 2 \\ -2b = 8 \end{cases}$

Krok 3. Z pierwszego równania $a = -3$ , z trzeciego $b = -4$ . Drugie równanie musi się zgadzać

i rzeczywiście: $-4 - 2 \cdot (-3) = -4 + 6 = 2$ .

Odpowiedź. $a = -3$ , $b = -4$ , czyli $V(x) = (x - 2)(x^2 - 3x - 4)$ .

Trzy równania na dwie niewiadome to sytuacja typowa: jedno z równań służy wtedy za sprawdzenie. Gdyby się nie zgadzało, wielomiany nie byłyby równe dla żadnych $a$ , $b$ . Przy okazji dostaliśmy rozkład $V$ na czynniki - trójmian $x^2 - 3x - 4$ rozkłada się dalej na $(x - 4)(x + 1)$ . Do tej metody wrócimy w lekcji o rozkładaniu wielomianów na czynniki.

Gdy parametr stoi przy najwyższej potędze

Przykład 4. Dla jakich wartości $m$ wielomiany $W(x) = (m^2 - 4)x^3 + (m + 3)x + 1$ i $V(x) = 5x + 1$ są równe?

Krok 1. $V$ nie ma wyrazu z $x^3$ , więc współczynnik przy $x^3$ w $W$ musi być zerem: $m^2 - 4 = 0$ , czyli $m = 2$ lub $m = -2$ .

Krok 2. Współczynniki przy $x$ : $m + 3 = 5$ , czyli $m = 2$ .

Krok 3. Oba warunki muszą zachodzić jednocześnie. Wspólna wartość to tylko $m = 2$ . Dla $m = -2$ dostalibyśmy $W(x) = x + 1 \neq V(x)$ .

Odpowiedź. $m = 2$ .

Gdyby w treści stało $(m - 2)x$ zamiast $(m + 3)x$ , z drugiego warunku wyszłoby $m = 7$ , a to nie spełnia pierwszego - takie wielomiany nie byłyby równe dla żadnego $m$ . Odpowiedź „brak takich $m$ ” jest w tego typu zadaniach całkowicie poprawna.

Wyznaczanie wielomianu z warunków

Przykład 5. Wyznacz wielomian $W(x) = ax^2 + bx + c$ , dla którego $W(0) = 3$ , $W(1) = 4$ oraz $W(-1) = 8$ .

Krok 1. $W(0) = c$ , więc $c = 3$ .

Krok 2. Pozostałe warunki dają układ:

$\begin{cases} a + b + 3 = 4 \\ a - b + 3 = 8 \end{cases} \qquad\Longrightarrow\qquad \begin{cases} a + b = 1 \\ a - b = 5 \end{cases}$

Krok 3. Dodając równania: $2a = 6$ , więc $a = 3$ , a stąd $b = -2$ .

Odpowiedź. $W(x) = 3x^2 - 2x + 3$ . Sprawdzenie: $W(1) = 3 - 2 + 3 = 4$ , $W(-1) = 3 + 2 + 3 = 8$ .

To ta sama metoda co przy wyznaczaniu wzoru funkcji kwadratowej z trzech punktów - wielomian stopnia $n$ wyznacza się z $n + 1$ niezależnych warunków.

Przykład 6. Przedstaw wielomian $W(x) = x^3 + 6x^2 + 9x + 5$ w postaci $(x + a)^3 + b(x + a) + c$ .

Krok 1. Wymnażamy postać z parametrami, korzystając ze wzoru na sześcian sumy:

$(x + a)^3 + b(x + a) + c = x^3 + 3a x^2 + (3a^2 + b)x + (a^3 + ab + c).$

Krok 2. Porównujemy współczynniki z $W$ :

$\begin{cases} 3a = 6 \\ 3a^2 + b = 9 \\ a^3 + ab + c = 5 \end{cases}$

Krok 3. Kolejno: $a = 2$ ; $12 + b = 9$ , więc $b = -3$ ; $8 - 6 + c = 5$ , więc $c = 3$ .

Odpowiedź. $W(x) = (x + 2)^3 - 3(x + 2) + 3$ .

Przykład 7. Dla jakich $a$ i $b$ wielomian $W(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 12x + 9$ jest kwadratem wielomianu postaci $x^2 + px + q$ ?

Krok 1. Wymnażamy kwadrat trójmianu:

$(x^2 + px + q)^2 = x^4 + 2p x^3 + (p^2 + 2q)x^2 + 2pq x + q^2.$

Krok 2. Z wyrazu wolnego $q^2 = 9$ , czyli $q = 3$ lub $q = -3$ . Ze współczynnika przy $x$ : $2pq = -12$ , czyli $pq = -6$ .

Krok 3. Rozważamy oba przypadki:

$q = 3$ : $p = -2$ , więc $a = 2p = -4$ i $b = p^2 + 2q = 4 + 6 = 10$ ;
$q = -3$ : $p = 2$ , więc $a = 4$ i $b = 4 - 6 = -2$ .

Odpowiedź. $a = -4$ , $b = 10$ (wtedy $W(x) = (x^2 - 2x + 3)^2$ ) albo $a = 4$ , $b = -2$ (wtedy $W(x) = (x^2 + 2x - 3)^2$ ).

Skrót: podstawianie liczb

Skoro równe wielomiany mają równe wartości dla każdego $x$ , warunki na parametry można też dostać, podstawiając wygodne liczby. W przykładzie 3:

$x = 0$ : $W(0) = -2b$ oraz $V(0) = 8$ , więc $b = -4$ ;
$x = 1$ : $W(1) = -(1 + a + b)$ oraz $V(1) = 1 - 5 + 2 + 8 = 6$ , więc $1 + a - 4 = -6$ , czyli $a = -3$ .

Wynik jest ten sam. Uwaga: z podstawiania dostajemy tylko warunki konieczne - potrzeba tylu różnych liczb, ile jest niewiadomych, a na końcu trzeba sprawdzić, czy wielomiany z wyliczonymi parametrami są naprawdę równe (porównaniem współczynników albo podstawieniem kolejnych liczb).

Typowe błędy

Pominięty współczynnik zerowy. Jeśli w jednym wielomianie nie ma $x^2$ , to w drugim współczynnik przy $x^2$ też musi wynosić $0$ - to pełnoprawne równanie.
Rozwiązanie tylko części warunków. W przykładzie 4 z $m^2 - 4 = 0$ wychodzą dwie wartości, ale tylko jedna spełnia drugi warunek. Odpowiedzią jest część wspólna.
Mylenie równości wielomianów z równaniem. „Wielomiany są równe” znaczy: dla każdego $x$ . Równanie $W(x) = V(x)$ pyta o konkretne $x$ .
Błąd przy wymnażaniu postaci z parametrem. Wyraz $-2ax$ w przykładzie 3 łatwo zgubić - porządkuj wynik według potęg, zanim zaczniesz porównywać.

Najczęstsze pytania

Kiedy dwa wielomiany są równe? Gdy mają ten sam stopień i równe współczynniki przy tych samych potęgach $x$ . Równoważnie: gdy przyjmują równe wartości dla każdej liczby rzeczywistej $x$ .

Jak wyznaczyć parametry z równości wielomianów? Uporządkuj oba wielomiany (wymnóż nawiasy), wypisz równania „współczynnik przy $x^k$ w $W$ = współczynnik przy $x^k$ w $V$ ” dla każdej potęgi i rozwiąż otrzymany układ.

Czy wielomiany o tych samych pierwiastkach są równe? Nie. $(x - 1)(x + 2)$ i $3(x - 1)(x + 2)$ mają te same pierwiastki, ale różne współczynniki. Różnią się czynnikiem stałym, a $(x - 1)^2(x + 2)$ ma te same pierwiastki i nawet inny stopień.

Co zrobić, gdy równań jest więcej niż niewiadomych? Wyliczyć niewiadome z części równań i sprawdzić resztę. Jeśli któreś się nie zgadza, wielomiany nie są równe dla żadnych wartości parametrów.

Czy wystarczy, że wielomiany mają równe wartości w kilku punktach? Nie. Dwa wielomiany stopnia co najwyżej $n$ są równe, jeśli mają równe wartości w $n + 1$ różnych punktach - mniej punktów nie wystarcza (przykład: $x^2$ i $x + 2$ zgadzają się w dwóch punktach).

Przećwicz

Równość wielomianów → - wyznaczanie parametrów z porównania współczynników, wielomian z podanych wartości, postać $a(x - 1)^3 + \ldots$ i rozkład $x^4 + 4$ na dwa trójmiany.

Podsumowanie

Wielomiany są równe ⇔ mają ten sam stopień i równe współczynniki przy tych samych potęgach.
Równość wielomianów z parametrami zamieniamy na układ równań - po jednym dla każdej potęgi.
Postać iloczynową najpierw wymnażamy i porządkujemy; nadmiarowe równania służą do sprawdzenia.
Warunki muszą zachodzić jednocześnie; „brak takich parametrów” też bywa odpowiedzią.
Wielomian stopnia $n$ wyznaczają $n + 1$ niezależne warunki, np. wartości w $n + 1$ punktach.

Dalej w dziale: wzory skróconego mnożenia stopnia 3 i wzór na aⁿ − bⁿ. Układy równań powtórzysz w rozdziale układy równań liniowych, a ćwiczenia z wyznaczaniem współczynników - w zadaniach wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej →.