Ciąg arytmetyczny krok po kroku - różnica i wzór na n-ty wyraz

Klasa 3 liceum i technikum

Ciąg arytmetyczny to ciąg, w którym każdy wyraz (od drugiego) powstaje z poprzedniego przez dodanie tej samej liczby $r$, nazywanej różnicą ciągu: $a_{n+1} = a_n + r$ dla każdego $n \in \mathbb{N}_+$. Przykład: $5, 8, 11, 14, \dots$ to ciąg arytmetyczny o różnicy $r = 3$.

To trzecia lekcja rozdziału ciągi. Korzystamy z wzoru ogólnego ciągu i z metody różnicy z lekcji o monotoniczności ciągu - w ciągu arytmetycznym różnica $a_{n+1} - a_n$ jest po prostu stałą liczbą.

Jak obliczyć różnicę ciągu arytmetycznego

Różnicę obliczamy, odejmując od dowolnego wyrazu wyraz poprzedni: $r = a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = \dots$

• $5, 8, 11, 14, \dots$ - $r = 8 - 5 = 3$;
• $20, 14, 8, 2, \dots$ - $r = 14 - 20 = -6$ (różnica może być ujemna);
• $7, 7, 7, \dots$ - $r = 0$ (ciąg stały też jest arytmetyczny).

Kolejność odejmowania ma znaczenie: zawsze następny minus poprzedni. Odwrotny zapis daje różnicę z przeciwnym znakiem.

Czy ciąg jest arytmetyczny - sprawdzenie ze wzoru

Ciąg dany wzorem ogólnym jest arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy różnica $a_{n+1} - a_n$nie zależy od $n$.

Przykład 1. Czy ciąg $a_n = 7 - 4n$ jest arytmetyczny?

$a_{n+1} - a_n = 7 - 4(n + 1) - (7 - 4n) = -4$

Odpowiedź. Tak, to ciąg arytmetyczny o różnicy $r = -4$ (i $a_1 = 3$).

Przykład 2. Czy ciąg $a_n = n^2$ jest arytmetyczny?

$a_{n+1} - a_n = (n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1$

Różnica zależy od $n$: $a_2 - a_1 = 3$, ale $a_3 - a_2 = 5$.

Odpowiedź. Nie. Każdy ciąg o wzorze liniowym $a_n = pn + s$ jest arytmetyczny (z różnicą $r = p$), a ciąg z $n^2$ - nie.

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego

Skoro każdy krok dodaje $r$, to od $a_1$ do $a_n$ robimy $n - 1$ kroków:

$a_2 = a_1 + r, \quad a_3 = a_1 + 2r, \quad a_4 = a_1 + 3r, \quad \dots, \quad a_n = a_1 + (n - 1)r$

Najczęstszy błąd to $a_n = a_1 + nr$ - o jeden krok za dużo. Kontrola: dla $n = 1$ wzór musi dawać $a_1$, a $a_1 + 1 \cdot r$ tego nie daje.

Przykład 3. W ciągu $5, 8, 11, \dots$ wyznacz wzór ogólny i wyraz dwudziesty.

$a_1 = 5$, $r = 3$, więc $a_n = 5 + (n - 1) \cdot 3 = 3n + 2$.

$a_{20} = 3 \cdot 20 + 2 = 62$

Odpowiedź. $a_n = 3n + 2$, $a_{20} = 62$.

Przykład 4 (sytuacja z życia). W sali kinowej pierwszy rząd ma $12$ miejsc, a każdy następny o $2$ miejsca więcej. Ile miejsc ma rząd piętnasty?

Liczby miejsc tworzą ciąg arytmetyczny: $a_1 = 12$, $r = 2$.

$a_{15} = 12 + 14 \cdot 2 = 40$

Odpowiedź. Rząd piętnasty ma $40$ miejsc. Ile miejsc ma cała sala, policzymy w następnej lekcji - o sumie ciągu arytmetycznego.

Wykres ciągu arytmetycznego to punkty leżące na jednej prostej, a różnica $r$ jest jej współczynnikiem kierunkowym. Stąd prosty wniosek o monotoniczności: prosta rosnąca ($r > 0$) daje ciąg rosnący, malejąca ($r < 0$) - malejący, pozioma ($r = 0$) - stały.

Ciąg arytmetyczny z dwóch danych wyrazów

Najczęstsze zadanie: znamy dwa wyrazy, szukamy $a_1$ i $r$. Zapisujemy oba ze wzoru $a_n = a_1 + (n - 1)r$ i rozwiązujemy układ - albo szybciej korzystamy z $a_m = a_k + (m - k)r$.

Przykład 5. W ciągu arytmetycznym $a_3 = 11$ i $a_8 = 31$. Wyznacz wzór ogólny.

Krok 1. Od $a_3$ do $a_8$ jest $8 - 3 = 5$ kroków:

$a_8 = a_3 + 5r \iff 31 = 11 + 5r \iff r = 4$

Krok 2. Cofamy się do $a_1$ o dwa kroki: $a_1 = a_3 - 2r = 11 - 8 = 3$.

Krok 3. $a_n = 3 + (n - 1) \cdot 4 = 4n - 1$.

Odpowiedź. $a_n = 4n - 1$. Sprawdzenie: $a_3 = 11$, $a_8 = 31$.

Przykład 6. Który wyraz tego ciągu jest równy $199$?

$4n - 1 = 199 \iff n = 50$

Odpowiedź. $a_{50} = 199$. Gdyby wyszło $n$ ułamkowe lub ujemne, liczba nie byłaby wyrazem ciągu.

Trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego

Jeśli $a, b, c$ są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to $b - a = c - b$, czyli

$2b = a + c$

Środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiadów - stąd nazwa ciągu. Ogólniej, każdy wyraz jest średnią wyrazów równo od niego oddalonych: $a_n = \frac{a_{n-k} + a_{n+k}}{2}$.

Przykład 7. Dla jakiego $x$ liczby $x - 1$, $2x + 1$, $5x - 3$ są (w tej kolejności) kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego?

Krok 1. Warunek: $2(2x + 1) = (x - 1) + (5x - 3)$.

Krok 2. $4x + 2 = 6x - 4 \iff 2x = 6 \iff x = 3$.

Krok 3. Wyrazy: $2, 7, 12$ - różnica $5$.

Odpowiedź. $x = 3$.

Ile jest liczb o danej własności

Liczby dające tę samą resztę z dzielenia przez $d$ tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $d$. To daje szybki sposób na zadania „ile jest liczb…”.

Przykład 8. Ile liczb dwucyfrowych daje resztę $3$ z dzielenia przez $7$?

Krok 1. Najmniejsza taka liczba dwucyfrowa to $10$ ($10 = 7 + 3$), a kolejne rosną o $7$: $a_n = 10 + (n - 1) \cdot 7 = 7n + 3$.

Krok 2. Największa to $94$ ($94 = 7 \cdot 13 + 3$; następna, $101$, ma już trzy cyfry).

Krok 3. $7n + 3 = 94 \iff n = 13$.

Odpowiedź. $13$ liczb.

Tym samym sposobem: liczb trzycyfrowych dających resztę $2$ z dzielenia przez $9$ jest $100$ - od $101$ do $992$, bo $992 = 101 + 99 \cdot 9$.

Typowe błędy

• $a_n = a_1 + nr$ zamiast $a_1 + (n - 1)r$. Od pierwszego do $n$-tego wyrazu jest $n - 1$ kroków.
• Odwrotna kolejność przy różnicy. $r = a_2 - a_1$, nie $a_1 - a_2$; w ciągu $20, 14, 8$ różnica to $-6$.
• Warunek $2b = a + c$ z wyrazami w złej kolejności. Środkiem musi być wyraz, który w treści stoi w środku.
• Uznanie ciągu za arytmetyczny po trzech wyrazach. Ze wzoru ogólnego trzeba pokazać, że $a_{n+1} - a_n$ nie zależy od $n$.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć różnicę ciągu arytmetycznego? Odejmij od dowolnego wyrazu wyraz poprzedni: $r = a_{n+1} - a_n$. W ciągu $5, 8, 11, \dots$ różnica wynosi $8 - 5 = 3$. Gdy znasz dwa dalsze wyrazy, $r = \frac{a_m - a_k}{m - k}$.

Jaki jest wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego?$a_n = a_1 + (n - 1)r$, gdzie $a_1$ to pierwszy wyraz, a $r$ - różnica ciągu. Na przykład dla $a_1 = 5$ i $r = 3$ mamy $a_n = 3n + 2$.

Jak obliczyć pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego? Ze wzoru $a_1 = a_n - (n - 1)r$. Jeśli $a_3 = 11$ i $r = 4$, to $a_1 = 11 - 2 \cdot 4 = 3$.

Jak sprawdzić, czy ciąg jest arytmetyczny? Oblicz $a_{n+1} - a_n$. Jeśli wynik jest liczbą niezależną od $n$, ciąg jest arytmetyczny, a ta liczba to jego różnica. Każdy ciąg postaci $a_n = pn + s$ jest arytmetyczny.

Jaki warunek spełniają trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego? Środkowy jest średnią arytmetyczną skrajnych: $2b = a + c$. Na przykład $2, 7, 12$, bo $2 \cdot 7 = 2 + 12$.

Kiedy ciąg arytmetyczny jest rosnący? Gdy jego różnica jest dodatnia ($r > 0$). Przy $r < 0$ ciąg jest malejący, a przy $r = 0$ - stały.

Jak obliczyć wyraz ciągu arytmetycznego, znając dwa inne wyrazy? Najpierw różnica: $r = \frac{a_m - a_k}{m - k}$, potem dowolny wyraz ze wzoru $a_n = a_k + (n - k)r$. Dla $a_3 = 11$, $a_8 = 31$ wychodzi $r = 4$ i np. $a_{10} = 11 + 7 \cdot 4 = 39$.

Przećwicz

• Ciąg arytmetyczny - zadania → - 7 zadań: wzór ogólny z $a_1$ i $r$, który wyraz ma daną wartość, ciąg z dwóch wyrazów, trzy kolejne wyrazy z niewiadomą, sprawdzanie ze wzoru, kąty trójkąta i układ z iloczynem wyrazów.
• Cały zestaw: ciągi - zadania →

Podsumowanie

• Ciąg arytmetyczny: $a_{n+1} = a_n + r$, gdzie $r$ to stała różnica.
• Wzór na $n$-ty wyraz: $a_n = a_1 + (n - 1)r$; między dowolnymi wyrazami $a_m = a_k + (m - k)r$.
• Ciąg jest arytmetyczny, gdy $a_{n+1} - a_n$ nie zależy od $n$ - każdy ciąg $a_n = pn + s$.
• Trzy kolejne wyrazy: $2b = a + c$ (środkowy to średnia arytmetyczna).
• Monotoniczność wynika ze znaku $r$; wykres to punkty na prostej o współczynniku kierunkowym $r$.

Zobacz też

• Suma ciągu arytmetycznego - następna lekcja: wzór na $S_n$.
• Monotoniczność ciągu - poprzednia lekcja.
• Ciąg arytmetyczny - wzory, różnica, suma - zestawienie wzorów w dziale teorii.
• Średnie - skąd się bierze średnia arytmetyczna w warunku $2b = a + c$.
• Ciąg geometryczny - ciąg, w którym zamiast dodawać, mnożymy przez stałą liczbę.