Ciągłość funkcji w punkcie - definicja, rodzaje nieciągłości, parametr

Klasa 3 liceum i technikum

Funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x_0$ swojej dziedziny, gdy granica funkcji w tym punkcie istnieje i jest równa wartości funkcji: $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. Intuicyjnie: w okolicy $x_0$ wykres da się narysować bez odrywania ołówka od kartki - nie ma w nim dziury, przeskoku ani ucieczki w nieskończoność.

To kolejna lekcja rozdziału elementy analizy matematycznej. W poprzedniej poznaliśmy granicę niewłaściwą funkcji, a wcześniej granice jednostronne. Teraz wszystkie te narzędzia składamy w jedno pojęcie - ciągłość.

Trzy warunki ciągłości

Definicja $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ wygląda na jeden warunek, ale w praktyce sprawdzamy trzy rzeczy, w tej kolejności:

1. Wartość $f(x_0)$ istnieje, czyli $x_0$ należy do dziedziny funkcji.
2. Granica $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ istnieje (jest liczbą). Przy funkcjach sklejanych oznacza to, że granica lewostronna i prawostronna są równe.
3. Granica jest równa wartości: $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Jeśli któryś warunek zawodzi, funkcja nie jest ciągła w $x_0$ - mówimy, że jest w tym punkcie nieciągła.

Przykład 1. Zbadaj ciągłość funkcji $f(x) = x^2 - 3x + 1$ w punkcie $x_0 = 2$.

Krok 1. Wartość: $f(2) = 4 - 6 + 1 = -1$.

Krok 2. Granica wielomianu w punkcie to wartość wielomianu (twierdzenia o działaniach na granicach z lekcji o obliczaniu granic):

$\lim_{x \to 2} (x^2 - 3x + 1) = 2^2 - 3 \cdot 2 + 1 = -1$

Krok 3. Granica jest równa wartości: $-1 = f(2)$.

Odpowiedź. Funkcja jest ciągła w punkcie $x_0 = 2$. Tak samo jest w każdym innym punkcie - każdy wielomian jest ciągły w całym $\mathbb{R}$. To właśnie dlatego granicę wielomianu liczymy przez zwykłe podstawienie.

Ciągłość jednostronna

Czasem warunek z definicji jest spełniony tylko z jednej strony. Mówimy wtedy o ciągłości jednostronnej:

• $f$ jest lewostronnie ciągła w $x_0$, gdy $\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$;
• $f$ jest prawostronnie ciągła w $x_0$, gdy $\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$.

Funkcja jest ciągła w $x_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest w tym punkcie ciągła jednocześnie lewostronnie i prawostronnie. Ciągłość jednostronna przydaje się w dwóch sytuacjach:

• na brzegu dziedziny - funkcja $f(x) = \sqrt{x}$ jest określona tylko dla $x \geq 0$, więc w zerze można badać jedynie granicę prawostronną: $\lim\limits_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0 = f(0)$, czyli $\sqrt{x}$ jest prawostronnie ciągła w zerze;
• przy skoku - gdy kawałek wykresu „startuje” pełnym punktem, funkcja jest ciągła z tej strony, po której leży ten kawałek (przykłady niżej).

Rodzaje nieciągłości

W szkole wyróżniamy trzy typy punktów nieciągłości. Każdy wygląda na wykresie inaczej.

Nieciągłość usuwalna

Granica w punkcie istnieje, ale jest różna od wartości funkcji (albo „dziura” w wykresie została zatkana punktem w złym miejscu).

Dla $x \neq 1$ mamy $\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1$, więc $\lim\limits_{x \to 1} f(x) = 2$, a $f(1) = 3$. Gdyby zmienić tylko jedną wartość i przyjąć $f(1) = 2$, funkcja stałaby się ciągła - stąd nazwa: nieciągłość można usunąć, poprawiając wartość w jednym punkcie.

Skok

Obie granice jednostronne są skończone, ale różne. Wykres „przeskakuje” z jednej wysokości na drugą. Wielkość skoku to różnica granic jednostronnych.

Tu $\lim\limits_{x \to 1^-} f(x) = 1 + 1 = 2$, a $\lim\limits_{x \to 1^+} f(x) = 5 - 1 = 4$. Granica w punkcie $1$ nie istnieje, więc funkcja nie jest ciągła - i żadna zmiana wartości $f(1)$ tego nie naprawi. Ponieważ $f(1) = 4$ jest równe granicy prawostronnej, funkcja jest w tym punkcie prawostronnie ciągła.

Nieciągłość nieskończona

Któraś z granic jednostronnych jest niewłaściwa ($+\infty$ albo $-\infty$). Na wykresie widać wtedy asymptotę pionową.

Funkcja jest tu określona w punkcie $2$ (dopisaliśmy $f(2) = 0$), ale $\lim\limits_{x \to 2} \frac{1}{(x - 2)^2} = +\infty$ - granicy skończonej brak, więc funkcja jest w $x_0 = 2$ nieciągła.

Uwaga. O ciągłości i nieciągłości mówimy tylko w punktach dziedziny. Funkcja $g(x) = \frac{1}{x}$ nie jest określona w zerze, więc nie jest tam ani ciągła, ani nieciągła - pytanie po prostu nie ma sensu. Więcej o tym w następnej lekcji.

Zestawienie

Wszystkie przykłady z tej lekcji w jednej tabeli - kolumny odpowiadają kolejnym warunkom z definicji:

Część całkowita i signum - wzorcowe skoki

Część całkowita liczby $x$, oznaczana $\lfloor x \rfloor$ (w wielu podręcznikach $[x]$), to największa liczba całkowita nie większa od $x$: $\lfloor 2{,}7 \rfloor = 2$, $\lfloor 3 \rfloor = 3$, $\lfloor -1{,}2 \rfloor = -2$.

Na przedziale $\langle n;\ n + 1)$ funkcja jest stała i równa $n$, więc:

• w punkcie niecałkowitym, np. $x_0 = 2{,}5$, obie granice jednostronne wynoszą $2 = \lfloor 2{,}5 \rfloor$ - funkcja jest ciągła;
• w punkcie całkowitym $n$: $\lim\limits_{x \to n^-} \lfloor x \rfloor = n - 1$, a $\lim\limits_{x \to n^+} \lfloor x \rfloor = n = \lfloor n \rfloor$ - skok o $1$, funkcja jest tylko prawostronnie ciągła.

Signum (znak liczby) to funkcja

$\operatorname{sgn} x = \begin{cases} -1 & \text{dla } x < 0 \\ 0 & \text{dla } x = 0 \\ 1 & \text{dla } x > 0 \end{cases}$

W zerze granice jednostronne to $-1$ i $1$, a wartość $0$ nie jest równa żadnej z nich - skok o $2$, bez ciągłości z którejkolwiek strony. W pozostałych punktach signum jest stałe w pobliżu, więc ciągłe.

Funkcje sklejane

Najczęstsze zadanie szkolne: funkcja jest zadana różnymi wzorami na różnych przedziałach, a my badamy ciągłość w punkcie sklejenia. Każdy z kawałków jest wielomianem (czyli jest ciągły), więc jedyne „podejrzane” miejsce to punkt, w którym zmienia się wzór. Schemat:

• granica lewostronna - podstawiamy $x_0$ do wzoru obowiązującego na lewo od $x_0$;
• granica prawostronna - podstawiamy $x_0$ do wzoru obowiązującego na prawo;
• wartość - podstawiamy $x_0$ do wzoru, przy którym stoi znak $\leq$ albo $\geq$ (ten, który „zawiera” $x_0$).

Przykład 2. Zbadaj ciągłość funkcji w punkcie $x_0 = 2$:

$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{dla } x \leq 2 \\ 3x - 2 & \text{dla } x > 2 \end{cases}$

Krok 1. Granica lewostronna: $\lim\limits_{x \to 2^-} x^2 = 4$.

Krok 2. Granica prawostronna: $\lim\limits_{x \to 2^+} (3x - 2) = 6 - 2 = 4$.

Krok 3. Wartość: $x_0 = 2$ spełnia warunek $x \leq 2$, więc $f(2) = 2^2 = 4$.

Odpowiedź. $4 = 4 = 4$ - funkcja jest ciągła w $x_0 = 2$. Ponieważ poza punktem $2$ oba kawałki są wielomianami, jest ciągła w całym $\mathbb{R}$.

Przykład 3. Zbadaj ciągłość funkcji w punkcie $x_0 = 1$:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{dla } x < 1 \\ 2x & \text{dla } x \geq 1 \end{cases}$

Krok 1. $\lim\limits_{x \to 1^-} (x^2 - 1) = 0$.

Krok 2. $\lim\limits_{x \to 1^+} 2x = 2$.

Krok 3. Granice jednostronne są różne, więc granica w punkcie $1$ nie istnieje. Wartość $f(1) = 2 \cdot 1 = 2$ jest równa granicy prawostronnej.

Odpowiedź. Funkcja nie jest ciągła w $x_0 = 1$ (skok o $2$), ale jest w tym punkcie prawostronnie ciągła.

Wyznaczanie parametru, dla którego funkcja jest ciągła

Gdy we wzorze jest parametr, warunek ciągłości „granica = wartość” staje się równaniem z niewiadomą. Każdy punkt sklejenia daje jedno równanie, więc przy dwóch parametrach potrzebne są zwykle dwa punkty sklejenia.

Przykład 4. Dla jakiej wartości $m$ funkcja jest ciągła w punkcie $x_0 = 2$?

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 5x + 6}{x - 2} & \text{dla } x \neq 2 \\ m & \text{dla } x = 2 \end{cases}$

Krok 1. Granica. Podstawienie daje $\frac{0}{0}$, więc rozkładamy licznik na czynniki: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$. Dla $x \neq 2$ skracamy:

$\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x - 3)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x - 3) = -1$

Krok 2. Warunek ciągłości. Granica musi być równa wartości $f(2) = m$, więc $m = -1$.

Odpowiedź. $m = -1$. Dla każdego innego $m$ funkcja ma w punkcie $2$ nieciągłość usuwalną.

Przykład 5 (dwa parametry). Wyznacz $a$ i $b$ tak, aby funkcja była ciągła w $\mathbb{R}$:

$f(x) = \begin{cases} a - x & \text{dla } x < 0 \\ x^2 + bx - 1 & \text{dla } 0 \leq x \leq 2 \\ x + 5 & \text{dla } x > 2 \end{cases}$

Krok 1. Gdzie może być problem. Każdy kawałek jest wielomianem, więc funkcja jest ciągła wszędzie poza punktami sklejenia $0$ i $2$. Tam sprawdzamy warunek ciągłości.

Krok 2. Punkt $x_0 = 0$. Granica lewostronna: $\lim\limits_{x \to 0^-} (a - x) = a$. Granica prawostronna i wartość: $f(0) = 0 + 0 - 1 = -1$. Warunek: $a = -1$.

Krok 3. Punkt $x_0 = 2$. Granica lewostronna i wartość: $f(2) = 4 + 2b - 1 = 3 + 2b$. Granica prawostronna: $\lim\limits_{x \to 2^+} (x + 5) = 7$. Warunek: $3 + 2b = 7$, czyli $b = 2$.

Krok 4. Sprawdzenie. Dla $a = -1$, $b = 2$: w zerze $-1 = -1$, w dwójce $4 + 4 - 1 = 7 = 2 + 5$.

Odpowiedź. $a = -1$, $b = 2$.

Typowe błędy

• Badanie ciągłości poza dziedziną. „Funkcja $\frac{1}{x}$ jest nieciągła w zerze” - nie, zero nie należy do dziedziny, więc o ciągłości w tym punkcie w ogóle się nie mówi.
• Sprawdzenie tylko jednej granicy jednostronnej. Przy funkcji sklejanej trzeba policzyć obie i porównać je z wartością. Równość lewej granicy z wartością daje tylko ciągłość lewostronną.
• Pominięcie wartości $f(x_0)$. Granica może istnieć, a funkcja i tak nie być ciągła (nieciągłość usuwalna). Trzeci warunek trzeba sprawdzić zawsze.
• Wartość z niewłaściwego wzoru. $f(x_0)$ liczymy z tego kawałka, przy którym stoi znak $\leq$ lub $\geq$ (albo osobny wzór „dla $x = x_0$”).
• Zgubione rozwiązanie przy parametrze. Gdy warunek ciągłości jest równaniem kwadratowym, ma zwykle dwa rozwiązania - oba trzeba podać.

Najczęstsze pytania

Kiedy funkcja jest ciągła w punkcie? Gdy $x_0$ należy do dziedziny, granica $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ istnieje i jest równa $f(x_0)$. Przy funkcji sklejanej oznacza to, że granica lewostronna, granica prawostronna i wartość są tą samą liczbą.

Jak sprawdzić ciągłość funkcji w punkcie? Policz wartość $f(x_0)$, potem granice jednostronne w $x_0$ i porównaj wszystkie trzy liczby. Jeśli są równe - funkcja jest ciągła. Jeśli granice są równe, ale różne od wartości - masz nieciągłość usuwalną, a jeśli granice są różne - skok.

Jakie są rodzaje nieciągłości funkcji? W szkole wyróżnia się trzy: nieciągłość usuwalną (granica istnieje, ale nie jest równa wartości), skok (granice jednostronne są skończone i różne) i nieciągłość nieskończoną (któraś granica jednostronna jest równa $+\infty$ lub $-\infty$).

Co to jest nieciągłość usuwalna? To punkt, w którym granica funkcji istnieje, ale wartość jest inna (albo zmieniono ją ręcznie). Wystarczy przedefiniować funkcję w tym jednym punkcie, przyjmując wartość równą granicy, żeby stała się ciągła.

Jak wyznaczyć parametr, aby funkcja była ciągła? W każdym punkcie sklejenia zapisz warunek: granica lewostronna = granica prawostronna = wartość. Otrzymasz równanie (albo układ równań) z parametrem - jego rozwiązania to szukane wartości. Na koniec sprawdź wynik, podstawiając go do wzoru funkcji.

Czy funkcja 1/x jest nieciągła w zerze? Nie. Zero nie należy do dziedziny funkcji $\frac{1}{x}$, a ciągłość i nieciągłość definiuje się tylko w punktach dziedziny. We wszystkich punktach swojej dziedziny funkcja $\frac{1}{x}$ jest ciągła.

Czy część całkowita jest funkcją ciągłą? Nie. Funkcja $\lfloor x \rfloor$ jest ciągła w każdym punkcie niecałkowitym, ale w każdej liczbie całkowitej ma skok o $1$ - jest tam tylko prawostronnie ciągła.

Co to jest ciągłość jednostronna? Funkcja jest lewostronnie ciągła w $x_0$, gdy jej granica lewostronna w tym punkcie jest równa $f(x_0)$, a prawostronnie ciągła - gdy taka równość zachodzi dla granicy prawostronnej. Ciągłość w punkcie to ciągłość jednocześnie z obu stron.

Przećwicz

• Ciągłość funkcji w punkcie - zadania → - 7 zadań: funkcje sklejane, nieciągłość usuwalna i skok, ciągłość jednostronna przy wartości bezwzględnej, parametr z jednym i dwoma rozwiązaniami, dwa parametry naraz i część całkowita.
• Cały zestaw: granica i pochodna funkcji - zadania →

Podsumowanie

• $f$ jest ciągła w $x_0 \in D_f$, gdy $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.
• Sprawdzamy trzy warunki: wartość istnieje, granica istnieje (obie jednostronne równe), granica = wartość.
• Ciągłość lewostronna i prawostronna to ten sam warunek dla jednej granicy jednostronnej.
• Nieciągłość usuwalna - granica istnieje, ale różni się od wartości; skok - granice jednostronne skończone i różne; nieciągłość nieskończona - któraś granica jednostronna jest nieskończona.
• Wielomiany są ciągłe w $\mathbb{R}$, więc w funkcji sklejanej badamy tylko punkty sklejenia.
• Parametr wyznaczamy z równania „granica lewostronna = granica prawostronna = wartość”.
• O ciągłości mówimy tylko w punktach dziedziny.

Zobacz też

• Granica niewłaściwa funkcji - poprzednia lekcja: kiedy wynik granicy to $+\infty$ albo $-\infty$.
• Funkcja ciągła w zbiorze - następna lekcja: ciągłość funkcji elementarnych, własność Darboux i szukanie miejsc zerowych.
• Granice jednostronne funkcji - jak liczyć granicę lewostronną i prawostronną funkcji sklejanej.
• Granica funkcji - zwięzłe zestawienie definicji granicy, ciągłości i asymptot.
• Wartość bezwzględna liczby - funkcja $|x|$, która jest ciągła, choć jej wykres ma „ostry róg”.