Granica funkcji - definicja, obliczanie, granice jednostronne

Granica funkcji w punkcie $x_0$ to liczba $g$, do której zbliżają się wartości $f(x)$, gdy argument $x$ zbliża się do $x_0$ (ale mu nie jest równy). Zapisujemy $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = g$. Wartość funkcji w samym punkcie $x_0$ nie ma znaczenia - funkcja może być tam nawet nieokreślona. Granica jest podstawowym pojęciem analizy: na niej opiera się ciągłość, pochodna i całka.

Definicja

• Definicja Heinego (ciągowa): $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = g$, jeśli dla każdego ciągu argumentów $x_n \to x_0$ (o wyrazach różnych od $x_0$) ciąg wartości $f(x_n)$ dąży do $g$. Korzysta z pojęcia granicy ciągu.
• Definicja Cauchy’ego: dla każdego $\varepsilon > 0$ istnieje $\delta > 0$ takie, że jeśli $0 < |x - x_0| < \delta$, to $|f(x) - g| < \varepsilon$ - wartości da się dowolnie zbliżyć do $g$, biorąc argumenty dostatecznie bliskie $x_0$.

Obie definicje są równoważne.

Jak obliczać granice

Podstawienie. Jeśli funkcja jest ciągła w $x_0$ (wielomiany, funkcje wymierne poza miejscami zerowymi mianownika, pierwiastki, funkcje trygonometryczne), granica to po prostu $f(x_0)$: $\lim\limits_{x \to 2} x^2 = 4$.

Skracanie (symbol $\frac{0}{0}$).

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4.$

Dzielenie przez najwyższą potęgę (symbol $\frac{\infty}{\infty}$).

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 1}{x^2 - 3} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{3}{x^2}} = 2.$

Usuwanie niewymierności - mnożenie przez wyrażenie sprzężone:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x\left(\sqrt{x + 1} + 1\right)} = \frac{1}{2}.$

Granice jednostronne

Granica prawostronna $\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x)$ bierze pod uwagę tylko argumenty większe od $x_0$, lewostronna - mniejsze. Granica (obustronna) istnieje dokładnie wtedy, gdy obie jednostronne istnieją i są równe.

Przykład. Dla $f(x) = \frac{1}{x}$: $\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$, a $\lim\limits_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$. Granice jednostronne są różne, więc granica w zerze nie istnieje.

Symbole nieoznaczone

Wyrażenia $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$, $0 \cdot \infty$, $1^\infty$, $0^0$ i $\infty^0$ nazywa się symbolami nieoznaczonymi: sam typ nie przesądza o wyniku, który może być dowolną liczbą albo nieskończonością. Trzeba przekształcić wyrażenie - skrócić, podzielić przez najwyższą potęgę, usunąć niewymierność. Dwie klasyczne granice tego rodzaju: $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ (symbol $\frac{0}{0}$) i $\lim\limits_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ (symbol $1^\infty$) - ta druga definiuje liczbę e.

Ciągłość i asymptoty

Funkcja jest ciągła w punkcie $x_0$, gdy ma w nim granicę równą wartości: $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. Intuicyjnie - wykres da się narysować w okolicy $x_0$ bez odrywania ręki.

Granice opisują też asymptoty wykresu:

• pionowa $x = x_0$ - gdy któraś granica jednostronna w $x_0$ jest nieskończona,
• pozioma $y = g$ - gdy $\lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x) = g$.

Przykład. $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$ ma asymptotę pionową $x = 3$ (granice jednostronne to $\pm\infty$) i poziomą $y = 2$ (granica w nieskończoności). Więcej o asymptotach funkcji wymiernych: funkcja wymierna.

Najczęstsze pytania

Co to jest granica funkcji? Liczba, do której zbliżają się wartości funkcji, gdy argument zbliża się do danego punktu. Wartość funkcji w samym punkcie nie ma przy tym znaczenia.

Jak obliczyć granicę funkcji? Najpierw spróbuj podstawić. Jeśli wychodzi symbol nieoznaczony, przekształć wyrażenie: skróć ułamek, podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę albo pomnóż przez wyrażenie sprzężone.

Kiedy granica funkcji nie istnieje? Gdy granice jednostronne są różne (jak $\frac{1}{x}$ w zerze) albo gdy wartości nie zbliżają się do żadnej liczby, np. $\sin\frac{1}{x}$ przy $x \to 0$ oscyluje między $-1$ a $1$.

Ile wynosi granica sin x / x przy x dążącym do 0?$1$. To jedna z podstawowych granic analizy - z niej wynika m.in. wzór na pochodną sinusa.

Czym różni się granica od wartości funkcji? Wartość to $f(x_0)$, granica - to, do czego zbliża się $f(x)$ przy $x \to x_0$. Mogą się różnić albo wartość może nie istnieć; gdy są równe, funkcja jest ciągła.

Podsumowanie

• $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = g$ - wartości zbliżają się do $g$, gdy $x \to x_0$; definicje Heinego i Cauchy’ego.
• Metody: podstawienie, skracanie, dzielenie przez najwyższą potęgę, wyrażenie sprzężone.
• Granica istnieje, gdy granice jednostronne istnieją i są równe.
• Symbole nieoznaczone wymagają przekształceń; $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$.
• Ciągłość: granica równa wartości; asymptoty: nieskończone granice jednostronne lub skończone granice w $\pm\infty$.