Pochodna funkcji - definicja, styczna, ekstrema i monotoniczność

Pochodna funkcji w punkcie $x_0$ to granica ilorazu różnicowego $\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ przy $h \to 0$. Mówi, jak szybko zmienia się wartość funkcji, gdy argument zmienia się o bardzo mało: geometrycznie jest to współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu, fizycznie - na przykład prędkość chwilowa. Wzory na pochodne konkretnych funkcji zebrane są w tablicy pochodnych.

Definicja i interpretacja geometryczna

Iloraz różnicowy $\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ to nachylenie siecznej przechodzącej przez punkty $(x_0, f(x_0))$ i $(x_0 + h, f(x_0 + h))$. Gdy $h$ maleje do zera, drugi punkt zbliża się do pierwszego, a sieczna obraca się i w granicy staje się styczną.

Przykład z definicji. Dla $f(x) = x^2$ w punkcie $x_0 = 3$:

$\frac{(3 + h)^2 - 9}{h} = \frac{6h + h^2}{h} = 6 + h \ \xrightarrow{h \to 0}\ 6,$

więc $f'(3) = 6$. Ogólnie $(x^2)' = 2x$.

Interpretacja fizyczna. Jeśli $s(t)$ to droga przebyta do chwili $t$, to $s'(t)$ jest prędkością chwilową. Ciało spadające swobodnie przebywa w przybliżeniu $s(t) = 5t^2$ metrów, więc po $2$ sekundach ma prędkość $s'(2) = 10 \cdot 2 = 20$ m/s.

Równanie stycznej

Styczna do wykresu funkcji $f$ w punkcie $x_0$ ma współczynnik kierunkowy $f'(x_0)$ i przechodzi przez punkt $(x_0, f(x_0))$:

$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0).$

Przykład. Styczna do $y = x^2$ w punkcie $x_0 = 1$: $f(1) = 1$, $f'(1) = 2$, więc $y = 2(x - 1) + 1 = 2x - 1$ (rysunek wyżej).

Monotoniczność

Znak pochodnej mówi, czy funkcja rośnie, czy maleje:

• jeśli $f'(x) > 0$ dla wszystkich $x$ z przedziału - $f$ jest na nim rosnąca,
• jeśli $f'(x) < 0$ - malejąca,
• jeśli $f'(x) = 0$ na całym przedziale - stała.

Ekstrema funkcji

Jeśli funkcja różniczkowalna ma w punkcie wewnętrznym $x_0$ ekstremum, to $f'(x_0) = 0$ - to twierdzenie Fermata o ekstremum. Warunek nie jest jednak wystarczający: $f(x) = x^3$ ma $f'(0) = 0$, a ekstremum w zerze nie ma. Rozstrzyga zmiana znaku pochodnej: z $+$ na $-$ daje maksimum, z $-$ na $+$ minimum.

Przykład. $f(x) = x^3 - 3x$.

Krok 1. Pochodna. $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$.

Krok 2. Miejsca zerowe pochodnej. $x = -1$ i $x = 1$.

Krok 3. Znak pochodnej. $f' > 0$ na $(-\infty, -1)$, $f' < 0$ na $(-1, 1)$, $f' > 0$ na $(1, +\infty)$.

Krok 4. Wnioski. Funkcja rośnie, maleje, znów rośnie. W $x = -1$ pochodna zmienia znak z $+$ na $-$, więc jest tam maksimum $f(-1) = 2$; w $x = 1$ - z $-$ na $+$, więc minimum $f(1) = -2$.

Zadania optymalizacyjne

Pochodna pozwala znaleźć największą lub najmniejszą wartość wielkości, która zależy od jednej zmiennej.

Przykład - pudełko z kartonu. Z kwadratowego kartonu o boku $12$ cm wycinamy w rogach kwadraty o boku $x$ i zaginamy boki. Jakie $x$ daje pudełko o największej objętości?

Krok 1. Funkcja. Dno ma bok $12 - 2x$, wysokość to $x$: $V(x) = x(12 - 2x)^2$ dla $0 < x < 6$.

Krok 2. Pochodna. $V'(x) = (12 - 2x)^2 - 4x(12 - 2x) = (12 - 2x)(12 - 6x)$.

Krok 3. Punkty krytyczne. W przedziale $(0, 6)$ pochodna zeruje się tylko dla $x = 2$; przed nim jest dodatnia, za nim ujemna - to maksimum.

Odpowiedź. $x = 2$ cm, a objętość to $V(2) = 2 \cdot 8^2 = 128$ cm³.

Pochodna a ciągłość

Funkcja mająca pochodną w punkcie jest w nim ciągła, ale nie odwrotnie. $f(x) = |x|$ jest ciągła w zerze, lecz pochodnej tam nie ma: iloraz różnicowy dąży do $1$ z prawej strony i do $-1$ z lewej. Na wykresie widać to jako „ostry dziubek” - w takim punkcie nie da się poprowadzić jednej stycznej. Pojęcie granicy potrzebne w definicji pochodnej omawia strona granica funkcji.

Najczęstsze pytania

Co to jest pochodna funkcji? Granica ilorazu różnicowego $\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ przy $h \to 0$ - miara tempa zmian funkcji. Na wykresie to nachylenie stycznej w danym punkcie.

Jak obliczyć równanie stycznej do wykresu? Policz $f(x_0)$ i $f'(x_0)$, a potem podstaw do $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$.

Jak znaleźć ekstremum funkcji za pomocą pochodnej? Znajdź miejsca zerowe pochodnej i sprawdź, czy pochodna zmienia w nich znak: z plusa na minus - maksimum, z minusa na plus - minimum.

Czy f’(x₀) = 0 oznacza ekstremum? Nie zawsze. Dla $f(x) = x^3$ pochodna w zerze jest równa zero, ale funkcja rośnie po obu stronach - ekstremum nie ma. Potrzebna jest zmiana znaku pochodnej.

Kiedy funkcja jest rosnąca? Gdy jej pochodna jest dodatnia na całym przedziale. Ujemna pochodna oznacza funkcję malejącą.

Czy każda funkcja ciągła ma pochodną? Nie. $|x|$ jest ciągła, a w zerze nie ma pochodnej. Istnieją nawet funkcje ciągłe, które nie mają pochodnej w żadnym punkcie.

Podsumowanie

• $f'(x_0) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ - nachylenie stycznej, tempo zmian.
• Styczna: $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$.
• $f' > 0$ - funkcja rośnie, $f' < 0$ - maleje.
• Ekstremum: $f'(x_0) = 0$ i zmiana znaku pochodnej.
• Optymalizacja: funkcja jednej zmiennej, pochodna, punkty krytyczne, sprawdzenie znaku.
• Wzory: tablica pochodnych.