Wzór na sin 2x, cos 2x i tg 2x - funkcje trygonometryczne wielokrotności kąta

Klasa 3 liceum i technikum

Wzór na sin 2x to $\sin 2x = 2\sin x\cos x$: sinus podwojonego kąta jest równy podwojonemu iloczynowi sinusa i cosinusa tego kąta. Wzór na cos 2x ma trzy równoważne postacie: $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x$. Oba wzory działają dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i są szczególnym przypadkiem wzorów na sinus i cosinus sumy.

Wyprowadzenie: podstawiamy β = α

Wzory na sumę kątów działają dla dowolnych $\alpha$ i $\beta$ - także dla dwóch jednakowych. Podstawiamy $\beta = \alpha$.

Sinus podwojonego kąta.

$\sin 2\alpha = \sin(\alpha + \alpha) = \sin\alpha\cos\alpha + \cos\alpha\sin\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha.$

Cosinus podwojonego kąta.

$\cos 2\alpha = \cos(\alpha + \alpha) = \cos\alpha\cos\alpha - \sin\alpha\sin\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha.$

Dwie pozostałe postacie dostajemy z jedynki trygonometrycznej. Zamiana $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$ daje $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$, a zamiana $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$ daje $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$. Którą postać wybrać, zależy od zadania: jeśli znamy sinus - bierzemy tę z sinusem, jeśli równanie zawiera same cosinusy - tę z cosinusem.

Tangens podwojonego kąta. Z tangensa sumy:

$\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\alpha} = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}.$

Wzór wymaga, żeby istniał $\operatorname{tg}\alpha$ ($\alpha \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$) i żeby mianownik nie był zerem ($\operatorname{tg}^2\alpha \neq 1$, czyli $\alpha \neq \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$) - wtedy $\cos 2\alpha = 0$ i $\operatorname{tg} 2\alpha$ nie istnieje.

sin 2x to nie 2 sin x

Dwójka przed $x$ i dwójka przed sinusem robią z wykresem zupełnie co innego. Funkcja $y = \sin 2x$ ma okres $\pi$ i wartości od $-1$ do $1$, a $y = 2\sin x$ - okres $2\pi$ i wartości od $-2$ do $2$. Dla $x = \frac{\pi}{2}$: $\sin\pi = 0$, a $2\sin\frac{\pi}{2} = 2$.

Wzór $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ pokazuje, skąd ta różnica: podwojony sinus trzeba jeszcze pomnożyć przez cosinus, który jest co najwyżej równy $1$. Dlatego zawsze $|\sin 2x| \le 2|\sin x|$.

Obliczanie funkcji kąta 2α z danej funkcji kąta α

Przykład 1. Wiadomo, że $\sin\alpha = \frac{3}{5}$ i $\alpha \in \left(\frac{\pi}{2};\ \pi\right)$. Oblicz $\sin 2\alpha$, $\cos 2\alpha$ i $\operatorname{tg} 2\alpha$.

Krok 1. Cosinus. W II ćwiartce cosinus jest ujemny: $\cos\alpha = -\sqrt{1 - \frac{9}{25}} = -\frac{4}{5}$.

Krok 2. Sinus i cosinus podwojonego kąta.

$\sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{24}{25}, \qquad \cos 2\alpha = 1 - 2 \cdot \frac{9}{25} = \frac{7}{25}.$

Krok 3. Tangens. $\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = -\frac{24}{7}$. Sprawdzenie drugim wzorem: $\operatorname{tg}\alpha = -\frac{3}{4}$, więc $\frac{2 \cdot (-3/4)}{1 - 9/16} = \frac{-3/2}{7/16} = -\frac{24}{7}$.

Odpowiedź. $\sin 2\alpha = -\frac{24}{25}$, $\cos 2\alpha = \frac{7}{25}$, $\operatorname{tg} 2\alpha = -\frac{24}{7}$.

Zwróć uwagę, że znak cosinusa z kroku 1 decyduje o znaku $\sin 2\alpha$. Gdyby kąt leżał w I ćwiartce, wyszłoby $\sin 2\alpha = +\frac{24}{25}$ - stąd w zadaniu zawsze podaje się przedział.

Sin 2α i cos 2α wprost z tangensa. Dzielimy $\sin 2\alpha = \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}$ w liczniku i mianowniku przez $\cos^2\alpha$:

$\sin 2\alpha = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha}, \qquad \cos 2\alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha}.$

Przykład 2. Jeśli $\operatorname{tg}\alpha = 2$, to $\sin 2\alpha = \frac{4}{1 + 4} = \frac{4}{5}$ i $\cos 2\alpha = \frac{1 - 4}{5} = -\frac{3}{5}$. Ćwiartka jest tu niepotrzebna: kąty o tangensie $2$ różnią się o $\pi$, a kąty $2\alpha$ - o $2\pi$, więc dają te same wartości.

Obniżanie potęgi i kąt połówkowy

Ze wzoru $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$ wyznaczamy kwadraty:

$\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}, \qquad \cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}.$

To wzory na obniżanie potęgi: kwadrat funkcji zamieniamy na pierwszą potęgę cosinusa podwojonego kąta. Od razu widać z nich, że $y = \sin^2 x$ ma okres $\pi$ i wartości od $0$ do $1$. Przydają się też przy pochodnych i całkach.

Kąt połówkowy. Wstawiamy $\frac{\alpha}{2}$ w miejsce $\alpha$:

$\left|\sin\frac{\alpha}{2}\right| = \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}, \qquad \left|\cos\frac{\alpha}{2}\right| = \sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}.$

Pierwiastek daje wartość bezwzględną - znak trzeba ustalić z ćwiartki, w której leży kąt połówkowy$\frac{\alpha}{2}$, a nie $\alpha$.

Przykład 3. Oblicz $\sin 22{,}5^\circ$ i $\cos 22{,}5^\circ$.

Kąt $22{,}5^\circ$ jest połową $45^\circ$ i leży w I ćwiartce, więc bierzemy plus:

$\sin 22{,}5^\circ = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \approx 0{,}3827, \qquad \cos 22{,}5^\circ = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \approx 0{,}9239.$

Tangens połówki ma prostszy wzór bez pierwiastka: $\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}$, więc $\operatorname{tg} 22{,}5^\circ = \frac{\sqrt{2}/2}{1 + \sqrt{2}/2} = \sqrt{2} - 1$.

Przykład 4. Wiadomo, że $\cos\alpha = -\frac{7}{25}$ i $\alpha \in \left(\pi;\ \frac{3\pi}{2}\right)$. Oblicz $\sin\frac{\alpha}{2}$ i $\cos\frac{\alpha}{2}$.

Krok 1. Gdzie leży połowa kąta. Dzielimy przedział przez 2: $\frac{\alpha}{2} \in \left(\frac{\pi}{2};\ \frac{3\pi}{4}\right)$ - to II ćwiartka, więc sinus połówki jest dodatni, a cosinus ujemny.

Krok 2. Wartości.

$\sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \frac{7}{25}}{2}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}, \qquad \cos\frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 - \frac{7}{25}}{2}} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}.$

Sprawdzenie. $\cos\alpha = \cos^2\frac{\alpha}{2} - \sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = -\frac{7}{25}$.

Odpowiedź. $\sin\frac{\alpha}{2} = \frac{4}{5}$, $\cos\frac{\alpha}{2} = -\frac{3}{5}$.

Wzory na sin 3α i cos 3α

Potrójny kąt zapisujemy jako $2\alpha + \alpha$ i łączymy wzór na sumę ze wzorami na podwojony kąt.

$\sin 3\alpha = \sin 2\alpha\cos\alpha + \cos 2\alpha\sin\alpha = 2\sin\alpha\cos^2\alpha + (1 - 2\sin^2\alpha)\sin\alpha.$

Zamieniamy $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$ i porządkujemy:

$\sin 3\alpha = 2\sin\alpha - 2\sin^3\alpha + \sin\alpha - 2\sin^3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha.$

Tak samo dla cosinusa:

$\cos 3\alpha = \cos 2\alpha\cos\alpha - \sin 2\alpha\sin\alpha = (2\cos^2\alpha - 1)\cos\alpha - 2\sin^2\alpha\cos\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha.$

Przykład 5. Jeśli $\sin\alpha = \frac{1}{3}$, to $\sin 3\alpha = 3 \cdot \frac{1}{3} - 4 \cdot \frac{1}{27} = 1 - \frac{4}{27} = \frac{23}{27}$. Tu ćwiartka nie jest potrzebna - wzór zawiera tylko sinus.

Upraszczanie, dowodzenie i obliczanie bez tablic

Wzory działają w obie strony. Rozpoznanie iloczynu $2\sin x\cos x$ albo różnicy $\cos^2 x - \sin^2 x$ pozwala „zwinąć” wyrażenie do jednej funkcji.

• $(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x\cos x = 1 + \sin 2x$;
• $\cos^4 x - \sin^4 x = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) = \cos 2x$;
• $\sin x\cos x\cos 2x = \frac{1}{2}\sin 2x\cos 2x = \frac{1}{4}\sin 4x$;
• $\sin 15^\circ\cos 15^\circ = \frac{1}{2}\sin 30^\circ = \frac{1}{4}$ oraz $\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Przykład 6. Udowodnij, że $\dfrac{1 - \cos 2x}{\sin 2x} = \operatorname{tg} x$ dla $\sin 2x \neq 0$.

Warunek $\sin 2x \neq 0$ oznacza $x \neq \frac{k\pi}{2}$ - wtedy istnieje też $\operatorname{tg} x$. Przekształcamy lewą stronę, w liczniku wybierając postać $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:

$L = \frac{1 - (1 - 2\sin^2 x)}{2\sin x\cos x} = \frac{2\sin^2 x}{2\sin x\cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \operatorname{tg} x = P.$

Przykład 7 - zbiór wartości. Funkcja $f(x) = \sin x\cos x$ to $\frac{1}{2}\sin 2x$, więc przyjmuje wartości od $-\frac{1}{2}$ do $\frac{1}{2}$, a jej okres to $\pi$. Bez wzoru na $\sin 2x$ ten wynik nie jest wcale oczywisty.

Najczęstsze pytania

Ile wynosi sin 2x?$\sin 2x = 2\sin x\cos x$. Wzór wynika z sinusa sumy dla dwóch jednakowych kątów i jest prawdziwy dla każdego $x$.

Ile wynosi cos 2x?$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$. Z jedynki trygonometrycznej to samo można zapisać jako $2\cos^2 x - 1$ albo $1 - 2\sin^2 x$ - wybierasz postać, która pasuje do danych.

Czy sin 2x to to samo co 2 sin x? Nie. Dla $x = \frac{\pi}{2}$ mamy $\sin 2x = \sin\pi = 0$, a $2\sin x = 2$. Funkcja $\sin 2x$ ma okres $\pi$ i wartości w $\langle -1;\ 1 \rangle$, a $2\sin x$ - okres $2\pi$ i wartości w $\langle -2;\ 2 \rangle$.

Jaki jest wzór na tg 2x?$\operatorname{tg} 2x = \frac{2\operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg}^2 x}$ dla $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ i $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$.

Ile wynosi sin 22,5°?$\sin 22{,}5^\circ = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \approx 0{,}3827$ - ze wzoru na kąt połówkowy dla $45^\circ$. Cosinus: $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \approx 0{,}9239$.

Jak obliczyć sin 2α, znając tg α? Ze wzoru $\sin 2\alpha = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha}$. Dla $\operatorname{tg}\alpha = 2$ wychodzi $\frac{4}{5}$ - niezależnie od ćwiartki.

Jak obniżyć potęgę sin²x? Zamień $\sin^2 x$ na $\frac{1 - \cos 2x}{2}$, a $\cos^2 x$ na $\frac{1 + \cos 2x}{2}$. Kwadrat znika, a w jego miejsce pojawia się podwojony kąt.

Ile wynosi sin 3x?$\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$, a $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$. Oba wzory dostajesz, rozpisując $3x = 2x + x$.

Przećwicz

• Wzory na podwojony kąt - zadania → - $\sin 2\alpha$ i $\cos 2\alpha$ z danej funkcji i ćwiartki, obliczenia bez tablic, sin 2α z tangensa, dowodzenie tożsamości, kąt połówkowy, wzory na potrójny kąt i zbiór wartości $\sin^4 x + \cos^4 x$.
• Na start: sin 2α i cos 2α z danego sinusa, obliczenia bez tablic, zbiór wartości sin⁴x + cos⁴x.
• Dalej: suma i różnica sinusów i cosinusów - jak zamienić sumę funkcji na iloczyn.

Podsumowanie

• $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ - nie $2\sin\alpha$.
• $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$ - postać wybierasz według danych.
• $\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}$, a z samego tangensa: $\sin 2\alpha = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha}$, $\cos 2\alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha}$.
• Obniżanie potęgi: $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$, $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$; przy kącie połówkowym znak bierzesz z ćwiartki kąta $\frac{\alpha}{2}$.
• $\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$, $\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$.
• Wszystkie te wzory to wzory na sumę kątów z $\beta = \alpha$.