Trapez - linia środkowa, trapez równoramienny i prostokątny

Klasa 3 liceum i technikum

Trapez to czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych. Boki równoległe to podstawy trapezu, dwa pozostałe boki - ramiona, a odległość między podstawami to wysokość trapezu. Najważniejsze twierdzenie o trapezie mówi, że odcinek łączący środki ramion (linia środkowa) jest równoległy do podstaw i równy ich średniej arytmetycznej.

Kąty przy ramieniu

Ramię $AD$ przecina dwie proste równoległe $AB$ i $CD$. Kąty $\alpha$ (przy $A$) i $\delta$ (przy $D$) leżą po tej samej stronie ramienia, między równoległymi - to kąty jednostronne, a takie kąty sumują się do $180^\circ$:

$\alpha + \delta = 180^\circ, \qquad \beta + \gamma = 180^\circ.$

Uwaga na częsty błąd: kąty przy tej samej podstawie ($\alpha$ i $\beta$) nie muszą mieć sumy $180^\circ$. Sumują się kąty przy tym samym ramieniu.

Przykład 1. W trapezie $ABCD$ ($AB \parallel CD$) kąt przy wierzchołku $A$ jest o $40^\circ$ mniejszy od kąta przy wierzchołku $D$. Oblicz te kąty.

$\alpha + \delta = 180^\circ, \quad \delta - \alpha = 40^\circ \quad\Longrightarrow\quad 2\delta = 220^\circ, \quad \delta = 110^\circ, \quad \alpha = 70^\circ.$

Odpowiedź. $\alpha = 70^\circ$, $\delta = 110^\circ$.

Linia środkowa trapezu

Twierdzenie. Odcinek $MN$ łączący środki ramion trapezu jest równoległy do podstaw, a jego długość jest średnią arytmetyczną długości podstaw: $|MN| = \frac{a + b}{2}$.

Dowód. Niech $M$ będzie środkiem ramienia $AD$, a $N$ - środkiem ramienia $BC$.

1. Prowadzimy prostą $DN$ aż do przecięcia z prostą $AB$ w punkcie $E$.
2. Trójkąty $DCN$ i $EBN$ są przystające (cecha kbk): $|CN| = |NB|$, bo $N$ to środek $BC$; kąty $DNC$ i $ENB$ są wierzchołkowe; kąty $DCN$ i $EBN$ są naprzemianległe przy równoległych $CD$ i $AE$.
3. Z przystawania: $|BE| = |CD| = b$ oraz $|DN| = |NE|$, czyli $N$ jest środkiem odcinka $DE$.
4. W trójkącie $ADE$ odcinek $MN$ łączy środki boków $AD$ i $DE$. Z twierdzenia o odcinku łączącym środki boków trójkąta jest on równoległy do $AE$ i równy połowie $|AE| = a + b$.

Stąd $MN \parallel AB$ i $|MN| = \frac{a + b}{2}$. $\blacksquare$

Wzór na pole trapezu można więc czytać tak: pole = linia środkowa razy wysokość.

Przykład 2. Trapez ma podstawy $11$ i $5$ oraz wysokość $4$. Oblicz długość linii środkowej i pole trapezu.

$m = \frac{11 + 5}{2} = 8, \qquad P = m \cdot h = 8 \cdot 4 = 32.$

Odcinek łączący środki przekątnych

Linia środkowa $MN$ przecina przekątne $AC$ i $BD$ w ich środkach $K$ i $L$. W trójkącie $ACD$ odcinek $MK$ łączy środki boków $AD$ i $AC$, więc $|MK| = \frac{b}{2}$. Tak samo w trójkącie $BCD$: $|LN| = \frac{b}{2}$. Zostaje

$|KL| = |MN| - |MK| - |LN| = \frac{a + b}{2} - b = \frac{a - b}{2}.$

Dla trapezu z przykładu 2 odcinek łączący środki przekątnych ma długość $\frac{11 - 5}{2} = 3$.

Trapez równoramienny

Trapez równoramienny to trapez, którego ramiona mają równą długość (i który nie jest równoległobokiem). Ma oś symetrii - prostą przechodzącą przez środki obu podstaw. Z symetrii wynikają trzy własności:

• kąty przy każdej podstawie są równe: $\alpha = \beta$ i $\gamma = \delta$;
• przekątne mają równą długość (trójkąty $ABD$ i $BAC$ są przystające z cechy bkb);
• wysokości poprowadzone z końców krótszej podstawy odcinają na dłuższej podstawie dwa równe odcinki długości $x = \frac{a - b}{2}$.

Spodek $L$ wysokości z wierzchołka $C$ leży więc w odległości $|AL| = b + x = \frac{a + b}{2}$ od wierzchołka $A$. Przekątna $AC$ jest przeciwprostokątną trójkąta $ALC$, stąd wzór z ramki: $d^2 = h^2 + \left(\frac{a + b}{2}\right)^2$.

Przykład 3. Trapez równoramienny ma podstawy $12$ i $4$ oraz ramię $5$. Oblicz wysokość, pole i długość przekątnej.

Krok 1. Rzut ramienia. $x = \frac{12 - 4}{2} = 4$.

Krok 2. Wysokość z trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej $5$ i przyprostokątnej $4$:

$h = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{9} = 3.$

Krok 3. Pole. $P = \frac{12 + 4}{2} \cdot 3 = 24$.

Krok 4. Przekątna. $|AL| = \frac{12 + 4}{2} = 8$, więc

$d = \sqrt{3^2 + 8^2} = \sqrt{73} \approx 8{,}54.$

Odpowiedź. $h = 3$, $P = 24$, $d = \sqrt{73}$.

Trapez prostokątny

Trapez prostokątny ma jedno ramię prostopadłe do podstaw. Ma dokładnie dwa kąty proste (przy tym ramieniu), a ramię prostopadłe jest jednocześnie wysokością. Drugie ramię liczymy z twierdzenia Pitagorasa: jego rzut na dłuższą podstawę ma długość $a - b$.

Przykład 4. Trapez prostokątny ma podstawy $9$ i $4$, a krótsze ramię (prostopadłe do podstaw) ma długość $12$. Oblicz drugie ramię, obwód i pole.

$c = \sqrt{12^2 + (9 - 4)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13,$

$L = 9 + 4 + 12 + 13 = 38, \qquad P = \frac{9 + 4}{2} \cdot 12 = 78.$

Odpowiedź. Drugie ramię ma długość $13$, obwód wynosi $38$, a pole $78$.

Przekątne trapezu

Przekątne trapezu przecinają się w punkcie $S$. Trójkąty $ABS$ i $CDS$ mają równe kąty: kąty $BAS$ i $DCS$ są naprzemianległe (tak samo $ABS$ i $CDS$), a kąty przy $S$ - wierzchołkowe. Są więc podobne w skali $\frac{|AB|}{|CD|} = \frac{a}{b}$, skąd

$\frac{|AS|}{|SC|} = \frac{|BS|}{|SD|} = \frac{a}{b}.$

Przykład 5. Trapez ma podstawy $|AB| = 12$ i $|CD| = 4$, a przekątna $AC$ ma długość $10$. Na jakie odcinki dzieli ją punkt przecięcia przekątnych?

Stosunek podstaw to $12 : 4 = 3 : 1$, więc przekątną dzielimy na $3 + 1 = 4$ równe części:

$|AS| = \frac{3}{4} \cdot 10 = 7{,}5, \qquad |SC| = \frac{1}{4} \cdot 10 = 2{,}5.$

Pola czterech trójkątów, na które przekątne dzielą trapez, omawia lekcja pola figur podobnych.

Najczęstsze pytania

Ile wynosi linia środkowa trapezu? Połowę sumy podstaw: $m = \frac{a + b}{2}$. Jest równoległa do podstaw, a pole trapezu to linia środkowa razy wysokość.

Jak obliczyć wysokość trapezu równoramiennego? Odejmij podstawy i podziel przez dwa - to rzut ramienia $x = \frac{a - b}{2}$. Wysokość wynika z twierdzenia Pitagorasa: $h = \sqrt{c^2 - x^2}$, gdzie $c$ to ramię.

Jak obliczyć przekątną trapezu równoramiennego? Ze wzoru $d = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a + b}{2}\right)^2}$: przekątna jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych $h$ i $\frac{a + b}{2}$.

Czy przekątne trapezu są równe? Tylko w trapezie równoramiennym. W dowolnym trapezie przekątne mają różne długości, ale zawsze dzielą się w tym samym stosunku $a : b$.

Ile osi symetrii ma trapez równoramienny? Jedną - prostą przechodzącą przez środki obu podstaw. Pozostałe trapezy - poza rombem, prostokątem i kwadratem - nie mają żadnej osi symetrii.

Ile kątów prostych ma trapez prostokątny? Dwa - oba przy ramieniu prostopadłym do podstaw. Gdyby miał trzy, miałby i czwarty, i byłby prostokątem.

Przećwicz

• Trapez → - pole i wysokość trapezu równoramiennego i prostokątnego, linia środkowa, odcinek łączący środki przekątnych i podział przekątnych.
• Kąty w czworokątach → - kąty trapezu przy ramieniu i przy podstawie.

Wszystkie typy w jednym miejscu: czworokąty - zadania z rozwiązaniami.

Podsumowanie

• Kąty przy jednym ramieniu trapezu sumują się do $180^\circ$.
• Linia środkowa jest równoległa do podstaw i ma długość $\frac{a + b}{2}$; odcinek łączący środki przekątnych ma długość $\frac{a - b}{2}$.
• Trapez równoramienny ma oś symetrii, równe kąty przy podstawie i równe przekątne; rzut ramienia to $\frac{a - b}{2}$.
• W trapezie prostokątnym ramię prostopadłe jest wysokością.
• Przekątne dowolnego trapezu dzielą się w stosunku podstaw $a : b$.