Okrąg wpisany w czworokąt - warunek a + c = b + d

Klasa 3 liceum i technikum

Okrąg wpisany w czworokąt to okrąg styczny do wszystkich czterech boków czworokąta; o czworokącie mówimy wtedy, że jest opisany na okręgu. Da się go wpisać dokładnie wtedy, gdy sumy przeciwległych boków są równe: $a + c = b + d$. Okrąg wpisany zawsze ma każdy romb, kwadrat i deltoid, a z prostokątów - tylko kwadrat.

Odcinki styczne

Kluczem jest znany fakt z lekcji o stycznej i siecznej:

Dwa odcinki styczne poprowadzone do okręgu z jednego punktu mają równe długości.

Z każdego wierzchołka czworokąta opisanego wychodzą dwa takie odcinki - do punktów styczności na dwóch bokach, które się w nim spotykają. Oznaczmy ich długości przez $x$ (z wierzchołka $A$), $y$ (z $B$), $z$ (z $C$) i $w$ (z $D$).

Warunek wpisania okręgu - twierdzenie i dowód

Twierdzenie. W czworokąt wypukły $ABCD$ można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy $|AB| + |CD| = |BC| + |DA|$.

Dowód (czworokąt opisany ⇒ równe sumy). Każdy bok składa się z dwóch odcinków stycznych:

$|AB| = x + y, \qquad |BC| = y + z, \qquad |CD| = z + w, \qquad |DA| = w + x.$

Stąd $|AB| + |CD| = x + y + z + w$ oraz $|BC| + |DA| = y + z + w + x$ - obie sumy są równe. $\blacksquare$

Dowód (równe sumy ⇒ czworokąt opisany). Załóżmy, że $|AB| + |CD| = |BC| + |DA|$.

1. Dwusieczne kątów $B$ i $C$ przecinają się w punkcie $O$ równo oddalonym od prostych $AB$, $BC$ i $CD$. Okrąg $o$ o środku $O$ jest styczny do tych trzech boków.
2. Przypuśćmy, że $o$ nie jest styczny do $AD$. Z punktu $A$ prowadzimy drugą styczną do $o$ (pierwszą jest prosta $AB$); przetnie ona prostą $CD$ w punkcie $D' \neq D$. Czworokąt $ABCD'$ jest opisany na $o$, więc z pierwszej części $|AB| + |CD'| = |BC| + |D'A|$.
3. Odejmujemy tę równość od założenia: $|CD| - |CD'| = |DA| - |D'A|$. Punkty $D$ i $D'$ leżą na prostej $CD$, więc lewa strona to $\pm |DD'|$, czyli $\bigl||DA| - |D'A|\bigr| = |DD'|$.
4. W trójkącie $ADD'$ różnica dwóch boków jest jednak zawsze mniejsza od trzeciego boku (nierówność trójkąta) - sprzeczność.

Zatem $o$ jest styczny także do $AD$. $\blacksquare$

Które czworokąty mają okrąg wpisany

• Romb (więc i kwadrat) - zawsze: wszystkie boki równe, więc $a + c = b + d$.
• Deltoid wypukły - zawsze: z $|AB| = |AD|$ i $|CB| = |CD|$ wynika $|AB| + |CD| = |AD| + |CB|$. Środek okręgu leży na osi symetrii $AC$.
• Równoległobok - tylko wtedy, gdy jest rombem: $a = c$ i $b = d$, więc warunek daje $2a = 2b$.
• Prostokąt - tylko kwadrat.
• Trapez - wtedy, gdy suma podstaw równa się sumie ramion.

Pole czworokąta opisanego: P = r · p

Połączmy środek $O$ okręgu z wierzchołkami. Czworokąt rozpada się na cztery trójkąty, których podstawami są boki $a, b, c, d$, a wysokość każdego to promień $r$ (promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do boku):

$P = \frac{a \cdot r}{2} + \frac{b \cdot r}{2} + \frac{c \cdot r}{2} + \frac{d \cdot r}{2} = r \cdot \frac{a + b + c + d}{2} = r \cdot p.$

To ten sam wzór co dla trójkąta z okręgiem wpisanym: $p$ to połowa obwodu. Daje on najprostszą drogę do promienia: $r = \frac{P}{p}$.

Przykład 1. Czworokąt $ABCD$ jest opisany na okręgu, $|AB| = 7$, $|BC| = 9$, $|CD| = 8$. Oblicz $|DA|$, obwód oraz pole czworokąta, jeśli promień okręgu wpisanego wynosi $2$.

Krok 1. Czwarty bok z warunku $|AB| + |CD| = |BC| + |DA|$:

$7 + 8 = 9 + |DA| \quad\Longrightarrow\quad |DA| = 6.$

Krok 2. Obwód. $L = 7 + 9 + 8 + 6 = 30$, więc $p = 15$.

Krok 3. Pole. $P = r \cdot p = 2 \cdot 15 = 30$.

Odpowiedź. $|DA| = 6$, obwód $30$, pole $30$.

Trapez opisany na okręgu

Okrąg wpisany w trapez jest styczny do obu podstaw, a podstawy są równoległe - odległość między nimi to średnica. Dlatego w każdym trapezie opisanym na okręgu

$h = 2r, \qquad a + b = c_1 + c_2,$

gdzie $c_1, c_2$ to ramiona. W trapezie równoramiennym oba ramiona są równe, więc każde ma długość $c = \frac{a + b}{2}$ - tyle, co linia środkowa. Rzut ramienia to $\frac{a - b}{2}$, więc z twierdzenia Pitagorasa

$h^2 = \left(\frac{a + b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a - b}{2}\right)^2 = \frac{4ab}{4} = ab, \qquad h = \sqrt{ab}.$

Przykład 2. Trapez równoramienny o podstawach $9$ i $4$ jest opisany na okręgu. Oblicz ramię, wysokość, promień okręgu i pole trapezu.

Krok 1. Ramię. $c = \frac{9 + 4}{2} = 6{,}5$.

Krok 2. Wysokość. $h = \sqrt{9 \cdot 4} = 6$. Sprawdzenie Pitagorasem: rzut ramienia to $\frac{9 - 4}{2} = 2{,}5$, a $2{,}5^2 + 6^2 = 6{,}25 + 36 = 42{,}25 = 6{,}5^2$.

Krok 3. Promień. $r = \frac{h}{2} = 3$.

Krok 4. Pole. $P = \frac{9 + 4}{2} \cdot 6 = 39$. Sprawdzenie wzorem $P = r \cdot p$: $p = \frac{9 + 4 + 6{,}5 + 6{,}5}{2} = 13$ i $3 \cdot 13 = 39$.

Odpowiedź. Ramię $6{,}5$, wysokość $6$, promień $3$, pole $39$.

Przykład 3. Trapez prostokątny o podstawach $12$ i $6$ jest opisany na okręgu. Oblicz jego wysokość, dłuższe ramię i promień okręgu.

Krok 1. Dwa równania. Krótsze ramię jest wysokością $h$, dłuższe oznaczmy $c$. Z warunku okręgu $h + c = 12 + 6 = 18$, a rzut ramienia $c$ na dłuższą podstawę ma długość $12 - 6 = 6$:

$c^2 = h^2 + 6^2.$

Krok 2. Rozwiązanie. $c^2 - h^2 = 36$, czyli $(c - h)(c + h) = 36$. Skoro $c + h = 18$, to $c - h = 2$. Dodając równania: $2c = 20$, więc $c = 10$ i $h = 8$.

Krok 3. Promień. $r = \frac{h}{2} = 4$. Sprawdzenie: $P = \frac{12 + 6}{2} \cdot 8 = 72$, a $r \cdot p = 4 \cdot \frac{12 + 6 + 8 + 10}{2} = 4 \cdot 18 = 72$.

Odpowiedź. $h = 8$, $c = 10$, $r = 4$.

Najczęstsze pytania

Kiedy w czworokąt można wpisać okrąg? Wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków są równe: $a + c = b + d$.

Czy w prostokąt można wpisać okrąg? Tylko w kwadrat. W prostokącie $a + c = 2a$ i $b + d = 2b$, więc warunek wymaga $a = b$.

Czy w każdy romb można wpisać okrąg? Tak. Wszystkie boki rombu są równe, więc sumy przeciwległych boków też. Środkiem okręgu jest punkt przecięcia przekątnych, a promień to połowa wysokości rombu.

Czy w deltoid można wpisać okrąg? Tak, w każdy deltoid wypukły. Ma on dwie pary równych boków sąsiednich, więc $a + c = b + d$ zachodzi zawsze.

Jak obliczyć promień okręgu wpisanego w trapez? Najprościej z wysokości: $r = \frac{h}{2}$, bo okrąg jest styczny do obu podstaw. W trapezie równoramiennym $h = \sqrt{ab}$, więc $r = \frac{\sqrt{ab}}{2}$.

Jaki jest wzór na pole czworokąta opisanego na okręgu?$P = r \cdot p$, gdzie $p$ to połowa obwodu. Wzór działa dla każdego wielokąta opisanego na okręgu.

Czym różni się okrąg wpisany od opisanego? Opisany przechodzi przez wierzchołki (warunek kątów $\alpha + \gamma = 180^\circ$, patrz okrąg opisany na czworokącie), wpisany jest styczny do boków (warunek boków $a + c = b + d$).

Przećwicz

• Okrąg wpisany w czworokąt → - warunek $a + c = b + d$, pole $P = r \cdot p$, trapez prostokątny i równoramienny, odcinki styczne, deltoid.
• Zadania mieszane → - czworokąt i trapez opisany na okręgu.

Wszystkie typy w jednym miejscu: czworokąty - zadania z rozwiązaniami.

Podsumowanie

• W czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy $a + c = b + d$.
• Dowód: każdy bok to suma dwóch odcinków stycznych, a odcinki styczne z jednego wierzchołka są równe.
• Okrąg wpisany ma każdy romb i deltoid; z prostokątów - tylko kwadrat.
• Pole: $P = r \cdot p$. W trapezie opisanym $h = 2r$, a w równoramiennym dodatkowo $c = \frac{a + b}{2}$ i $h = \sqrt{ab}$.