Dwumian Newtona w zadaniach - rozwinięcie, współczynnik i wyraz wolny

Klasa 3 liceum i technikum

Dwumian Newtona to wzór na rozwinięcie potęgi sumy $(a + b)^n$: rozwinięcie ma $n + 1$ składników postaci $\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$, w których potęga $a$ maleje od $n$ do $0$, potęga $b$ rośnie od $0$ do $n$, a współczynnikami są symbole Newtona, czyli liczby z $n$-tego wiersza trójkąta Pascala. Dla $n = 2$ i $n = 3$ są to znane wzory skróconego mnożenia: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ i $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

W tej lekcji wyprowadzamy wzór z kombinatoryki i uczymy się typowych zadań: rozwinięcia, współczynnika przy wybranej potędze, wyrazu wolnego i sumy współczynników. Zestawienie wzorów z tabelą współczynników dla $n$ od $0$ do $7$ jest na stronie wzór Newtona.

Skąd w rozwinięciu biorą się symbole Newtona

Zapiszmy $(a + b)^3$ jako iloczyn trzech nawiasów i wymnóżmy go, nie porządkując wyrazów. Każdy składnik powstaje tak, że z każdego nawiasu bierzemy $a$ albo $b$:

$(a + b)(a + b)(a + b) = aaa + aab + aba + abb + baa + bab + bba + bbb.$

Jest $2^3 = 8$ takich składników. Składnik $a^2b$ pojawia się tyle razy, na ile sposobów można wybrać jeden nawias, z którego weźmiemy $b$ ($aab$, $aba$, $baa$) - czyli $\binom{3}{1} = 3$ razy. Składnik $ab^2$ - tyle, na ile sposobów można wybrać dwa nawiasy z $b$: $\binom{3}{2} = 3$. Stąd

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.$

Tak samo dla dowolnego $n$: w iloczynie $n$ nawiasów składnik $a^{n-k}b^k$ powstaje, gdy $b$ weźmiemy z $k$ nawiasów, a $a$ z pozostałych $n - k$. Te $k$ nawiasów wybieramy na $\binom{n}{k}$ sposobów - i to jest współczynnik przy $a^{n-k}b^k$. To cały dowód wzoru Newtona. (Można go też udowodnić indukcją matematyczną, korzystając z reguły Pascala.)

Rozwijanie dwumianu krok po kroku

Przykład 1. Rozwiń $(x + 3)^4$.

Krok 1. Współczynniki - wiersz $n = 4$ trójkąta Pascala: $1, 4, 6, 4, 1$.

Krok 2. Potęgi - $x$ od $x^4$ do $x^0$, liczba $3$ od $3^0$ do $3^4$:

$(x + 3)^4 = 1 \cdot x^4 + 4 \cdot x^3 \cdot 3 + 6 \cdot x^2 \cdot 9 + 4 \cdot x \cdot 27 + 1 \cdot 81.$

Krok 3. Mnożymy liczby:

$(x + 3)^4 = x^4 + 12x^3 + 54x^2 + 108x + 81.$

Sprawdzenie: dla $x = 1$ lewa strona to $4^4 = 256$, prawa $1 + 12 + 54 + 108 + 81 = 256$.

Przykład 2 (różnica). Rozwiń $(x - 3)^5$.

Traktujemy różnicę jak sumę $x + (-3)$. Potęgi nieparzyste liczby $-3$ są ujemne, więc znaki zmieniają się na przemian. Współczynniki z wiersza $n = 5$: $1, 5, 10, 10, 5, 1$.

$(x - 3)^5 = x^5 - 5 \cdot 3x^4 + 10 \cdot 9x^3 - 10 \cdot 27x^2 + 5 \cdot 81x - 243$

$(x - 3)^5 = x^5 - 15x^4 + 90x^3 - 270x^2 + 405x - 243.$

Sprawdzenie: dla $x = 1$: $(-2)^5 = -32$ oraz $1 - 15 + 90 - 270 + 405 - 243 = -32$.

Wyraz ogólny: jeden wyraz bez rozwijania całości

Przy dużym $n$ nie rozpisujemy całego rozwinięcia - interesuje nas jeden wyraz. Używamy wyrazu ogólnego $T_{k+1} = \binom{n}{k}a^{n-k}b^k$. Uwaga na numerację: wyraz z $b^k$ stoi na miejscu $k + 1$ (pierwszy wyraz to $k = 0$).

Przykład 3. Znajdź współczynnik przy $x^4$ w rozwinięciu $(3x - 1)^6$.

Krok 1. Wyraz ogólny. Tu $a = 3x$, $b = -1$, $n = 6$:

$T_{k+1} = \binom{6}{k}(3x)^{6-k}(-1)^k = \binom{6}{k} \cdot 3^{6-k} \cdot (-1)^k \cdot x^{6-k}.$

Krok 2. Która potęga? $x^4$ dostajemy, gdy $6 - k = 4$, czyli $k = 2$.

Krok 3. Liczymy współczynnik:

$\binom{6}{2} \cdot 3^4 \cdot (-1)^2 = 15 \cdot 81 \cdot 1 = 1215.$

Odpowiedź: współczynnik przy $x^4$ wynosi $1215$ (to trzeci wyraz rozwinięcia, $T_3$).

Najczęstszy błąd: podniesienie do potęgi samego $x$ zamiast całego $3x$ - wtedy wychodzi $15$ zamiast $1215$.

Wyraz wolny

Wyraz wolny to wyraz, w którym nie ma $x$ (potęga $x^0$). Pojawia się, gdy w dwumianie są potęgi dodatnie i ujemne, np. $x^2$ i $\tfrac{1}{x}$.

Przykład 4. Znajdź wyraz wolny rozwinięcia $\left(x^2 - \dfrac{2}{x}\right)^6$.

Krok 1. Wyraz ogólny. $a = x^2$, $b = -\tfrac{2}{x} = -2x^{-1}$:

$T_{k+1} = \binom{6}{k}(x^2)^{6-k}(-2x^{-1})^k = \binom{6}{k}(-2)^k x^{12-2k} \cdot x^{-k} = \binom{6}{k}(-2)^k x^{12-3k}.$

Krok 2. Potęga zero: $12 - 3k = 0$, czyli $k = 4$. Liczba $k$ wyszła całkowita z przedziału $0 \le k \le 6$, więc wyraz wolny istnieje. (Gdyby wyszło np. $k = 2{,}5$, wyrazu wolnego by nie było - wtedy odpowiedź brzmi „wyraz wolny równa się $0$”.)

Krok 3. Wartość:

$T_5 = \binom{6}{4}(-2)^4 = 15 \cdot 16 = 240.$

Odpowiedź: wyraz wolny wynosi $240$.

Suma współczynników i przybliżenia

Suma współczynników. Jeśli $W(x)$ to wielomian po rozwinięciu, to suma jego współczynników jest równa $W(1)$ - podstawienie $x = 1$ zamienia każdą potęgę $x$ na jedynkę. Nie trzeba niczego rozwijać.

Przykład 5. Suma współczynników rozwinięcia $(2x + 1)^6$ wynosi $(2 + 1)^6 = 3^6 = 729$.

Podstawienie $a = b = 1$ w samym wzorze Newtona daje znaną z poprzedniej lekcji tożsamość $\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \ldots + \binom{n}{n} = 2^n$, a podstawienie $a = 1$, $b = -1$ - tożsamość $\binom{n}{0} - \binom{n}{1} + \binom{n}{2} - \ldots = 0$ dla $n \ge 1$.

Przybliżenia. Gdy $b$ jest małe, kolejne wyrazy rozwinięcia szybko maleją i wystarczy kilka pierwszych.

Przykład 6. Oblicz w przybliżeniu $1{,}02^5$.

$1{,}02^5 = (1 + 0{,}02)^5 = 1 + 5 \cdot 0{,}02 + 10 \cdot 0{,}0004 + 10 \cdot 0{,}000008 + \ldots$

$1{,}02^5 \approx 1 + 0{,}1 + 0{,}004 + 0{,}00008 = 1{,}10408.$

Dokładna wartość to $1{,}1040808\ldots$ - już cztery wyrazy dają wynik z dokładnością do stutysięcznych. Tak liczy się w pamięci np. lokatę na $2\%$ rocznie przez $5$ lat: kapitał rośnie o około $10{,}4\%$.

Typowe błędy

• Potęgowanie tylko $x$, a nie całego składnika. W $(3x - 1)^6$ potęgujemy $3x$, więc pojawia się $3^{6-k}$.
• Zgubione znaki w różnicy. $(a - b)^n$ ma znaki na przemian; najbezpieczniej pisać $b = -3$ (z minusem) i potęgować razem ze znakiem.
• Pomylony numer wyrazu. Wyraz z $b^k$ to $T_{k+1}$, a nie $T_k$. Wyraz piąty to $k = 4$.
• Wyraz wolny przy niecałkowitym $k$. Jeśli równanie na potęgę daje $k$ niecałkowite albo spoza $0 \le k \le n$, wyrazu wolnego nie ma (jest równy $0$).

Najczęstsze pytania

Co to jest dwumian Newtona? To wzór $(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{n-k}b^k$, który pozwala rozwinąć dowolną naturalną potęgę sumy dwóch składników. Współczynniki rozwinięcia to symbole Newtona, czyli liczby z $n$-tego wiersza trójkąta Pascala.

Jak rozwinąć (a + b) do potęgi 5? Bierzemy wiersz $n = 5$ trójkąta Pascala: $1, 5, 10, 10, 5, 1$. Potęgi $a$ maleją od $5$ do $0$, potęgi $b$ rosną od $0$ do $5$: $(a + b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$.

Jak znaleźć współczynnik przy x do danej potęgi? Zapisz wyraz ogólny $T_{k+1} = \binom{n}{k}a^{n-k}b^k$, uprość potęgę $x$, przyrównaj ją do szukanej i wyznacz $k$. Potem oblicz liczbę stojącą przy $x$ - razem z potęgami współczynników i znakiem.

Jak znaleźć wyraz wolny rozwinięcia? Tak samo jak współczynnik, tylko szukana potęga $x$ to $0$. Np. w $\left(x^2 - \tfrac{2}{x}\right)^6$ wyraz ogólny zawiera $x^{12-3k}$, więc $k = 4$, a wyraz wolny to $\binom{6}{4} \cdot 16 = 240$.

Ile wyrazów ma rozwinięcie dwumianu Newtona? Rozwinięcie $(a + b)^n$ ma $n + 1$ wyrazów - dla $k = 0, 1, \ldots, n$. Gdy $n$ jest parzyste, jest jeden wyraz środkowy $T_{n/2 + 1}$, gdy nieparzyste - dwa.

Jak obliczyć sumę współczynników wielomianu (px + q) do potęgi n? Podstaw $x = 1$: suma współczynników wynosi $(p + q)^n$. Np. dla $(2x + 1)^6$ jest to $3^6 = 729$.

Przećwicz

• Dwumian Newtona - zadania → - rozwinięcia sumy i różnicy, współczynnik przy danej potędze, wyraz wolny i środkowy, suma współczynników, przybliżenia i wyznaczanie $n$ (zadania z pełnym rozwiązaniem krok po kroku).
• Symbol Newtona i trójkąt Pascala - zadania →
• Cały zestaw: kombinatoryka - zadania z rozwiązaniami →

Podsumowanie

• $(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{n-k}b^k$: współczynniki z $n$-tego wiersza trójkąta Pascala, potęgi $a$ maleją, potęgi $b$ rosną.
• Współczynnik $\binom{n}{k}$ to liczba sposobów wyboru $k$ nawiasów, z których bierzemy $b$.
• Różnica $(a - b)^n$: te same współczynniki, znaki na przemian.
• Pojedynczy wyraz znajdujemy z wyrazu ogólnego $T_{k+1}$: przyrównujemy potęgę $x$ i wyznaczamy $k$.
• Suma współczynników to wartość wielomianu w $x = 1$.

Zobacz też

• Wzór Newtona (dwumian Newtona) - zestawienie wzorów, tabela współczynników i historia wzoru.
• Symbol Newtona i trójkąt Pascala - własności liczb $\binom{n}{k}$.
• Izaak Newton - kim był autor wzoru.
• Wzory skróconego mnożenia - dwumian Newtona dla $n = 2$ i $n = 3$.