Podobieństwo wielokątów. Czworokąty podobne

Klasa 3 liceum i technikum

Dwa czworokąty są podobne, gdy da się je tak dopasować wierzchołkami, że odpowiednie kąty są równe, a stosunek długości każdej pary odpowiednich boków jest ten sam - to skala podobieństwa $k$. W przeciwieństwie do trójkątów dla czworokątów nie wystarczą same kąty ani same boki: kwadrat i romb mają boki w tym samym stosunku, a kwadrat i prostokąt - te same kąty, i żadna z tych par nie jest podobna.

Podobieństwo wielokątów

Podobieństwo to przekształcenie, które wszystkie odległości mnoży przez tę samą liczbę $k > 0$. Figura zachowuje wtedy kształt, a zmienia tylko rozmiar (i ewentualnie położenie). Dla wielokątów daje to praktyczne kryterium:

Wielokąty $A_1 A_2 \ldots A_n$ i $A'_1 A'_2 \ldots A'_n$ są podobne w skali $k$, gdy $|\angle A'_i| = |\angle A_i|$ dla każdego $i$ oraz $|A'_i A'_{i+1}| = k \cdot |A_i A_{i+1}|$ dla każdego boku.

Zapisujemy to jak przy trójkątach: $ABCD \sim A'B'C'D'$, a kolejność liter mówi, który wierzchołek odpowiada któremu. Gdy $k > 1$, drugi wielokąt jest powiększeniem pierwszego, gdy $k < 1$ - pomniejszeniem, a $k = 1$ to przystawanie.

Dlaczego potrzebne są oba warunki

Dla trójkątów wystarcza jedna cecha podobieństwa, np. równość kątów (kkk) albo proporcjonalność boków (bbb). Dla czworokątów żadna z nich osobno nie działa.

• Kwadrat i romb o boku $3$: wszystkie boki są w stosunku $1 : 1$, a jednak figury nie są podobne - kwadrat ma kąty proste, romb ma kąty $60^\circ$ i $120^\circ$.
• Kwadrat i prostokąt $6 \times 3$: wszystkie kąty są proste, a jednak figury nie są podobne - boki kwadratu są w stosunku $1 : 1$, prostokąta $2 : 1$.

Powód jest prosty: trójkąt jest „sztywny” (trzy boki wyznaczają jego kąty), a czworokąt nie - czworokąt z listewek przegubowych da się zgniatać, nie zmieniając długości boków.

Które czworokąty są zawsze podobne? Wszystkie kwadraty (kąty proste, a boki zawsze w stosunku $1 : 1$). Nie są natomiast podobne wszystkie prostokąty, wszystkie romby ani wszystkie trapezy.

Obwody i pola czworokątów podobnych

Jeśli każdy bok mnożymy przez $k$, to obwód (suma boków) też rośnie $k$ razy. Pole rośnie $k^2$ razy: czworokąt można przekątną podzielić na dwa trójkąty, a pole każdego z nich mnoży się przez $k^2$. Dowód dla trójkątów jest w lekcji pola figur podobnych.

$L' = k \cdot L, \qquad P' = k^2 \cdot P, \qquad k = \frac{L'}{L} = \sqrt{\frac{P'}{P}}.$

Przykład 1. Czworokąty $ABCD$ i $A'B'C'D'$ są podobne. Boki pierwszego mają długości $|AB| = 6$, $|BC| = 8$, $|CD| = 5$, $|DA| = 4$, a w drugim $|D'A'| = 6$. Oblicz pozostałe boki drugiego czworokąta i stosunek pól.

Krok 1. Skala. Bokowi $DA = 4$ odpowiada $D'A' = 6$, więc $k = \frac{6}{4} = 1{,}5$.

Krok 2. Boki. Mnożymy każdy bok przez $1{,}5$:

$|A'B'| = 9, \qquad |B'C'| = 12, \qquad |C'D'| = 7{,}5.$

Obwód rośnie w tej samej skali: $6 + 8 + 5 + 4 = 23$ oraz $9 + 12 + 7{,}5 + 6 = 34{,}5 = 1{,}5 \cdot 23$.

Krok 3. Pola. $\frac{P'}{P} = k^2 = 1{,}5^2 = 2{,}25$.

Odpowiedź. Boki: $9$, $12$, $7{,}5$, $6$; pole drugiego czworokąta jest $2{,}25$ raza większe.

Przykład 2. Pole z obwodu. Romb ma pole $20$. Drugi romb jest do niego podobny i ma obwód trzy razy większy. Jakie ma pole?

Stosunek obwodów to skala: $k = 3$. Pole rośnie z kwadratem skali:

$P' = k^2 \cdot P = 9 \cdot 20 = 180.$

Odpowiedź. $180$ - a nie $60$, jak wychodzi, gdy pole pomnoży się przez samo $k$. To najczęstszy błąd w tego typu zadaniach. Odwrotnie: gdy pola są w stosunku $4 : 25$, skala wynosi $k = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5}$ i w tym stosunku są też obwody.

Ta sama zasada $k^2$ stoi za przeliczaniem pól na mapie: w skali $1 : 10\,000$ jeden centymetr kwadratowy to $10\,000^2$ cm², czyli hektar. Więcej przykładów jest w lekcjach pola figur podobnych i skala mapy.

Prostokąty podobne

Kąty wszystkich prostokątów są równe, więc o podobieństwie decydują tylko boki: prostokąty są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy mają ten sam stosunek dłuższego boku do krótszego.

Przykład 3. Czy prostokąt $9 \times 12$ jest podobny do prostokąta $12 \times 16$? A do prostokąta $10 \times 14$?

$\frac{12}{9} = \frac{4}{3} = \frac{16}{12} \qquad\text{(podobne, } k = \tfrac{12}{9} = \tfrac{4}{3}\text{)}, \qquad \frac{14}{10} = \frac{7}{5} \neq \frac{4}{3} \qquad\text{(niepodobne).}$

Format A4 i liczba √2. Arkusze papieru A0, A1, …, A4, A5 mają tę własność, że po przecięciu arkusza na pół (prostopadle do dłuższego boku) powstają dwa arkusze podobne do niego.

Niech arkusz ma boki $x$ (krótszy) i $y$ (dłuższy). Połówka ma boki $\frac{y}{2}$ (krótszy) i $x$ (dłuższy). Podobieństwo oznacza równe stosunki:

$\frac{y}{x} = \frac{x}{y/2} \quad\Longrightarrow\quad y^2 = 2x^2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{y}{x} = \sqrt{2}.$

Dlatego A4 ma wymiary $210 \times 297$ mm: $\frac{297}{210} \approx 1{,}414 \approx \sqrt{2}$. Skala podobieństwa między A4 a A5 wynosi $\frac{1}{\sqrt{2}}$, a pole A5 to połowa pola A4 - zgodnie ze wzorem $k^2 = \frac{1}{2}$.

Trapez podzielony na dwa trapezy podobne

Odcinek równoległy do podstaw dzieli trapez na dwa mniejsze trapezy. Kiedy są one podobne? Ich kąty są równe (ramiona leżą na tych samych prostych, a podstawy są równoległe), więc decyduje stosunek boków. Jeśli odcinek ma długość $m$, to w trapezie dolnym podstawy mają $a$ i $m$, a w górnym $m$ i $b$. Skala musi być ta sama:

$\frac{a}{m} = \frac{m}{b} \quad\Longrightarrow\quad m^2 = ab \quad\Longrightarrow\quad m = \sqrt{ab}.$

Przykład 4. Trapez ma podstawy $9$ i $4$. Jaką długość ma odcinek równoległy do podstaw, który dzieli go na dwa trapezy podobne? W jakim stosunku dzieli on ramiona?

Krok 1. Długość odcinka. $m = \sqrt{9 \cdot 4} = 6$, a skala podobieństwa trapezu dolnego do górnego to $\frac{9}{6} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

Krok 2. Ramiona. Ramiona obu trapezów też muszą być w skali $\frac{3}{2}$, więc odcinek $EF$ dzieli każde ramię w stosunku $3 : 2$ (licząc od dłuższej podstawy). Sprawdzenie: długość odcinka równoległego zmienia się liniowo od $9$ do $4$; po przejściu $\frac{3}{5}$ wysokości wynosi $9 - \frac{3}{5} \cdot 5 = 6$.

Odpowiedź. Odcinek ma długość $6$ i dzieli ramiona w stosunku $3 : 2$.

To ta sama średnia geometryczna $\sqrt{ab}$, która w poprzednich lekcjach była wysokością trapezu równoramiennego opisanego na okręgu. Dla porównania: linia środkowa (średnia arytmetyczna) ma tu długość $6{,}5$ i podobnych trapezów nie daje.

Najczęstsze pytania

Czy wszystkie kwadraty są podobne? Tak. Każde dwa kwadraty mają równe kąty (proste) i boki w tym samym stosunku, więc są podobne w skali równej stosunkowi ich boków.

Czy wszystkie prostokąty są podobne? Nie. Kąty mają równe, ale boki muszą być proporcjonalne: prostokąt $1 \times 2$ nie jest podobny do prostokąta $1 \times 3$.

Czy romb jest podobny do kwadratu? Tylko wtedy, gdy sam jest kwadratem. Boki rombu i kwadratu są zawsze w stosunku $1 : 1$, ale kąty rombu (poza kwadratem) nie są proste.

Jak sprawdzić, czy dwa czworokąty są podobne? Trzeba sprawdzić oba warunki: czy odpowiednie kąty są równe i czy stosunki odpowiednich boków są takie same. Jeden warunek nie wystarcza (w odróżnieniu od trójkątów).

Ile razy zwiększy się pole czworokąta, gdy jego boki zwiększymy trzy razy? Dziewięć razy, bo pole zmienia się z kwadratem skali: $k^2 = 3^2 = 9$. Obwód zwiększy się trzy razy.

Dlaczego format A4 ma boki w stosunku √2? Bo tylko przy tym stosunku połówka arkusza (A5) jest podobna do całego arkusza. Z równania $\frac{y}{x} = \frac{x}{y/2}$ wychodzi $\frac{y}{x} = \sqrt{2}$.

Przećwicz

• Czworokąty podobne → - skala, boki i obwody, stosunek pól, prostokąty i romby podobne, format A4, prostokąt złoty, plan w skali, trapez podzielony na dwa podobne.
• Pola figur podobnych → - skala z pól i obwodów, stosunek pól $k^2$.
• Skala mapy → - odległości i pola na mapie i planie.

Wszystkie typy w jednym miejscu: czworokąty - zadania z rozwiązaniami.

Podsumowanie

• Wielokąty są podobne, gdy mają równe odpowiednie kąty i proporcjonalne odpowiednie boki.
• Dla czworokątów nie ma cechy kkk ani bbb: kwadrat i romb, kwadrat i prostokąt to kontrprzykłady.
• W skali $k$ obwód rośnie $k$ razy, a pole $k^2$ razy.
• Prostokąty są podobne, gdy mają ten sam stosunek boków; arkusze A mają stosunek $\sqrt{2}$.
• Odcinek $\sqrt{ab}$ równoległy do podstaw dzieli trapez na dwa trapezy podobne.