Kombinatoryka, dwumian Newtona i trójkąt Pascala - kurs, klasa 3
Klasa 3 liceum i technikum
Kombinatoryka to dział matematyki, który odpowiada na pytanie „na ile sposobów?” - ile jest kodów PIN, ustawień w kolejce, możliwych drużyn albo wyników losowania - bez wypisywania wszystkich możliwości. Całą kombinatorykę szkolną da się zbudować z dwóch prostych reguł: reguły mnożenia (etapy wyboru mnożymy) i reguły dodawania (rozłączne przypadki dodajemy). Wzory na wariacje, permutacje i kombinacje są tylko gotowymi skrótami tych reguł.
W tym dziale idziemy od reguł do wzorów. Najpierw liczymy możliwości „na piechotę”, etapami, potem poznajemy trzy modele: wariacje (wybór z kolejnością), permutacje (ustawienie wszystkich elementów) i kombinacje (wybór bez kolejności). Lekcja z zadaniami różnymi uczy rozpoznawać, który model pasuje do treści. Na końcu symbol Newtona i trójkąt Pascala prowadzą do dwumianu Newtona, czyli wzoru na .
Czego nauczysz się w tym dziale:
- dzielić wybór na etapy i stosować regułę mnożenia oraz regułę dodawania;
- liczyć wariacje z powtórzeniami () i bez powtórzeń ();
- obliczać silnię i liczbę permutacji, także z powtórzeniami i przy okrągłym stole;
- liczyć kombinacje i rozwiązywać zadania z wyborem „bez kolejności”;
- rozpoznawać model w treści zadania, liczyć przez zdarzenie przeciwne i rozbijać na przypadki;
- obliczać symbol Newtona, korzystać z jego własności i budować trójkąt Pascala;
- rozwijać dwumian Newtona i znajdować wybrany wyraz rozwinięcia.
Warto wcześniej znać działania na potęgach i wzory skróconego mnożenia - dwumian Newtona jest ich uogólnieniem. Kombinatoryka to też fundament rachunku prawdopodobieństwa: żeby policzyć szansę, trzeba najpierw policzyć możliwości.
Do każdej lekcji są zadania z pełnym rozwiązaniem krok po kroku - kombinatoryka - zadania z rozwiązaniami: 66 zadań w 7 typach, od reguły mnożenia po symbol i dwumian Newtona.
Zwięzłe zestawienie wzorów jest na stronach kombinatoryka - permutacje, wariacje, kombinacje i wzór Newtona.
