Podział czworokątów. Trapezoid, deltoid i czworokąt wklęsły

Klasa 3 liceum i technikum

Czworokąt to wielokąt o czterech bokach, czterech wierzchołkach i dwóch przekątnych. Czworokąty dzielimy według liczby par boków równoległych: trapezoid nie ma żadnej takiej pary, trapez ma co najmniej jedną, a równoległobok - dwie. Osobną rodzinę tworzą deltoidy: czworokąty o dwóch parach równych boków sąsiednich.

Elementy czworokąta

W czworokącie $ABCD$ wierzchołki wypisujemy po kolei, idąc wzdłuż obwodu. Dzięki temu nazwa od razu mówi, które elementy do siebie pasują:

• boki sąsiednie mają wspólny wierzchołek ($AB$ i $BC$), boki przeciwległe - nie mają ($AB$ i $CD$, $BC$ i $DA$);
• kąty przeciwległe leżą przy wierzchołkach, które nie są połączone bokiem ($A$ i $C$, $B$ i $D$);
• przekątne łączą wierzchołki przeciwległe: $AC$ i $BD$. Czworokąt ma ich dokładnie dwie.

Kąty przy wierzchołkach $A$, $B$, $C$, $D$ oznaczamy zwykle kolejno $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$. Ta umowa przyda się w każdej lekcji tego działu.

Czworokąt wypukły i wklęsły

Czworokąt jest wypukły, gdy każdy odcinek łączący dwa jego punkty leży w całości w czworokącie. Wtedy obie przekątne biegną wewnątrz figury, a każdy kąt wewnętrzny jest mniejszy od $180^\circ$. Czworokąt wklęsły ma jeden kąt większy od $180^\circ$ i jedną przekątną leżącą na zewnątrz.

W szkole niemal zawsze pracujemy z czworokątami wypukłymi i tylko je dzielimy na trapezy i równoległoboki. Wklęsły bywa jednak deltoid - wrócimy do niego niżej.

Suma kątów czworokąta

Suma kątów wewnętrznych czworokąta wynosi $360^\circ$.

Dowód. W każdym czworokącie co najmniej jedna przekątna leży wewnątrz figury (w wypukłym - obie, w wklęsłym - ta, która wychodzi z wierzchołka kąta wklęsłego). Taka przekątna dzieli czworokąt na dwa trójkąty, a ich kąty składają się dokładnie na kąty czworokąta. Każdy trójkąt ma sumę kątów $180^\circ$, więc

$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 2 \cdot 180^\circ = 360^\circ. \qquad \blacksquare$

To szczególny przypadek wzoru $(n - 2) \cdot 180^\circ$ na sumę kątów $n$-kąta z lekcji o wielokątach.

Podział czworokątów wypukłych

Najważniejsze kryterium to równoległość boków:

1. Trapezoid - żadna para boków nie jest równoległa.
2. Trapez - co najmniej jedna para boków równoległych (to są podstawy trapezu).
3. Równoległobok - obie pary boków przeciwległych są równoległe.

W polskiej szkole trapez definiujemy przez „co najmniej jedną parę”, więc każdy równoległobok jest też trapezem. Dalej idą coraz bardziej szczególne równoległoboki: romb (wszystkie boki równe), prostokąt (wszystkie kąty proste) i kwadrat (romb i prostokąt naraz).

Każda figura dziedziczy własności figur ogólniejszych. Kwadrat ma wszystko, co ma romb, prostokąt i równoległobok. Najważniejsze własności zebrane w jednej tabeli:

Trapezom i równoległobokom poświęcone są osobne lekcje: trapez oraz równoległobok, romb i prostokąt.

Trapezoid

Trapezoid to czworokąt, w którym żadne dwa boki nie są równoległe. To „najzwyklejszy” czworokąt - o trapezoidzie wiemy tylko tyle, ile o każdym czworokącie: suma kątów to $360^\circ$, a pole można policzyć, dzieląc go przekątną na dwa trójkąty.

Jak poznać trapezoid po kątach? W czworokącie wypukłym boki $AB$ i $CD$ są równoległe dokładnie wtedy, gdy kąty przy ramieniu $AD$ sumują się do $180^\circ$ (kąty jednostronne). Wystarczy więc sprawdzić sumy kolejnych kątów.

Przykład 1. Trzy kąty czworokąta wypukłego $ABCD$ mają miary $\alpha = 75^\circ$, $\beta = 95^\circ$ i $\gamma = 110^\circ$. Wyznacz czwarty kąt i rozstrzygnij, czy to trapezoid.

Krok 1. Czwarty kąt.

$\delta = 360^\circ - (75^\circ + 95^\circ + 110^\circ) = 360^\circ - 280^\circ = 80^\circ.$

Krok 2. Sumy kolejnych kątów.

$\alpha + \beta = 170^\circ, \quad \beta + \gamma = 205^\circ, \quad \gamma + \delta = 190^\circ, \quad \delta + \alpha = 155^\circ.$

Żadna suma nie wynosi $180^\circ$, więc żadna para boków nie jest równoległa.

Odpowiedź. $\delta = 80^\circ$, a czworokąt jest trapezoidem.

Deltoid i jego własności

Deltoid to czworokąt, który ma dwie pary równych boków sąsiednich: $|AB| = |AD|$ oraz $|CB| = |CD|$. Kształtem przypomina latawiec. Każdy romb jest deltoidem (wszystkie cztery boki są równe), ale deltoid zwykle nie jest rombem ani nawet trapezem.

Twierdzenie. W deltoidzie $ABCD$, w którym $|AB| = |AD|$ i $|CB| = |CD|$: przekątna $AC$ jest osią symetrii deltoidu, przekątne są prostopadłe, $AC$ dzieli przekątną $BD$ na połowy, a kąty przy wierzchołkach $B$ i $D$ są równe.

Dowód. Punkt $A$ jest jednakowo oddalony od $B$ i $D$, więc leży na symetralnej odcinka $BD$. Z tego samego powodu leży na niej punkt $C$. Dwa różne punkty wyznaczają prostą, więc prosta $AC$jest symetralną odcinka $BD$: przecina go pod kątem prostym w jego środku $S$. Symetria względem prostej $AC$ zamienia $B$ z $D$, a $A$ i $C$ zostawia w miejscu - przenosi więc deltoid na siebie, czyli $AC$ jest jego osią symetrii. Kąty $ABC$ i $ADC$ przechodzą w tej symetrii jeden na drugi, więc są równe. $\blacksquare$

Z prostopadłości przekątnych wynika wzór na pole. Przekątna $AC$ dzieli deltoid na trójkąty $ABC$ i $ADC$ o wspólnej podstawie $AC$ i wysokościach $|BS|$ oraz $|SD|$:

$P = \frac{|AC| \cdot |BS|}{2} + \frac{|AC| \cdot |SD|}{2} = \frac{|AC| \cdot (|BS| + |SD|)}{2} = \frac{e \cdot f}{2}.$

Przykład 2. Przekątne deltoidu $ABCD$ przecinają się w punkcie $S$. Wiadomo, że $|AS| = 6$, $|SC| = 15$ i $|BD| = 16$ (jak na rysunku). Oblicz pole i obwód deltoidu.

Krok 1. Pole. Przekątne mają długości $e = 6 + 15 = 21$ i $f = 16$, więc

$P = \frac{21 \cdot 16}{2} = 168.$

Krok 2. Boki. Przekątna $AC$ dzieli $BD$ na połowy: $|BS| = |SD| = 8$, a kąt przy $S$ jest prosty. Z twierdzenia Pitagorasa:

$|AB| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10, \qquad |CB| = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{289} = 17.$

Krok 3. Obwód. Deltoid ma po dwa boki każdej długości: $L = 2 \cdot 10 + 2 \cdot 17 = 54$.

Odpowiedź. $P = 168$, $L = 54$.

Deltoid wklęsły

Gdy wierzchołek $C$ wpadnie do środka trójkąta $ABD$, powstaje deltoid wklęsły (kształt grotu strzały). Przekątna $AC$ leży wtedy wewnątrz figury, a $BD$ - na zewnątrz. Własności z dowodu wyżej zostają: oś symetrii, prostopadłość prostych $AC$ i $BD$, równe kąty przy $B$ i $D$, a nawet wzór $P = \frac{e \cdot f}{2}$ (pole to różnica trójkątów $ABD$ i $CBD$, które mają wspólną podstawę $BD$).

Przykład 3. W deltoidzie wklęsłym $ABCD$ kąt przy wierzchołku $A$ ma $50^\circ$, a kąty przy $B$ i $D$ - po $30^\circ$. Oblicz kąt wewnętrzny przy wierzchołku $C$.

$|\angle C| = 360^\circ - (50^\circ + 30^\circ + 30^\circ) = 250^\circ.$

Kąt $BCD$ widoczny „od zewnątrz” ma $360^\circ - 250^\circ = 110^\circ$. Zauważ, że to dokładnie suma trzech pozostałych kątów: $50^\circ + 30^\circ + 30^\circ$. Tak jest w każdym czworokącie wklęsłym.

Pole dowolnego czworokąta z przekątnych

Gdy przekątne nie są prostopadłe, wzór $\frac{e \cdot f}{2}$ przestaje działać, ale wystarczy dopisać sinus kąta między nimi.

Przekątne dzielą czworokąt na cztery trójkąty o wierzchołku $S$. Kąty przy $S$ to na przemian $\varphi$ i $180^\circ - \varphi$, a $\sin(180^\circ - \varphi) = \sin\varphi$. Pole każdego trójkąta liczymy wzorem $\frac{1}{2}ab\sin\gamma$:

$P = \tfrac{1}{2}\sin\varphi\,(pr + rq + qs + sp) = \tfrac{1}{2}\sin\varphi\,(p + q)(r + s) = \tfrac{1}{2}\, d_1 d_2 \sin\varphi.$

Dla $\varphi = 90^\circ$ sinus jest równy $1$ i wraca znany wzór $\frac{e \cdot f}{2}$ - działa on więc w każdym czworokącie o prostopadłych przekątnych, nie tylko w rombie i deltoidzie.

Przykład 4. Przekątne czworokąta mają długości $10$ i $7$ i przecinają się pod kątem $30^\circ$.

$P = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 7 \cdot \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \cdot 70 \cdot \frac{1}{2} = 17{,}5.$

Najczęstsze pytania

Co to jest trapezoid? Czworokąt, który nie ma żadnej pary boków równoległych. To przeciwieństwo trapezu: trapez ma co najmniej jedną parę boków równoległych, trapezoid - ani jednej.

Czy równoległobok jest trapezem? Tak, według definicji używanej w polskiej szkole: trapez ma co najmniej jedną parę boków równoległych, a równoległobok ma ich dwie. Dlatego wzór na pole trapezu działa też dla równoległoboku.

Czy kwadrat jest deltoidem? Tak. Kwadrat, podobnie jak każdy romb, ma dwie pary równych boków sąsiednich. Deltoid, który ma wszystkie boki równe, jest rombem.

Czy deltoid jest równoległobokiem? Tylko wtedy, gdy jest rombem. Zwykły deltoid nie ma żadnej pary boków równoległych, więc jest trapezoidem.

Ile przekątnych ma czworokąt? Dwie. Z każdego wierzchołka wychodzi jedna przekątna (do wierzchołka przeciwległego), a każda przekątna ma dwa końce: $\frac{4 \cdot 1}{2} = 2$.

Jaka jest suma kątów w czworokącie wklęsłym? Też $360^\circ$. Przekątna wychodząca z wierzchołka kąta wklęsłego leży wewnątrz figury i dzieli ją na dwa trójkąty.

Jak obliczyć pole deltoidu? Z przekątnych: $P = \frac{e \cdot f}{2}$. Wzór wynika stąd, że przekątne deltoidu są prostopadłe.

Przećwicz

• Trapezoidy i deltoidy → - pole i boki deltoidu z przekątnych, deltoid wklęsły, kąty i pole czworokąta z przekątnych.
• Kąty w czworokątach → - kąty dane w stosunku, kąty deltoidu, rombu i trapezu.

Wszystkie typy w jednym miejscu: czworokąty - zadania z rozwiązaniami.

Podsumowanie

• Czworokąt ma cztery boki, cztery kąty i dwie przekątne; suma kątów to zawsze $360^\circ$.
• Trapezoid - 0 par boków równoległych, trapez - co najmniej 1, równoległobok - 2.
• Deltoid ma dwie pary równych boków sąsiednich; przekątna łącząca wierzchołki między równymi bokami jest osią symetrii i symetralną drugiej przekątnej.
• Czworokąt o prostopadłych przekątnych ma pole $\frac{e \cdot f}{2}$, a dowolny - $\frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\varphi$.
• W czworokącie wklęsłym jeden kąt ma więcej niż $180^\circ$, a jedna przekątna leży na zewnątrz.