Jak obliczyć granicę funkcji w punkcie - podstawienie i symbol 0/0

Klasa 3 liceum i technikum

Granicę funkcji w punkcie oblicza się najpierw przez podstawienie: jeśli po wstawieniu $x_0$ wychodzi liczba (mianownik różny od zera), to ona jest granicą. Jeśli wychodzi symbol $\frac{0}{0}$, wyrażenie trzeba przekształcić - rozłożyć na czynniki, skrócić czynnik $(x - x_0)$ albo pomnożyć przez wyrażenie sprzężone - i dopiero wtedy podstawić.

To kolejna lekcja rozdziału elementy analizy matematycznej. W poprzedniej - granica funkcji w punkcie - poznaliśmy definicję granicy i odczytywaliśmy granice z tabel i wykresów. Teraz uczymy się je obliczać, bez tabel i bez zgadywania.

Twierdzenia o działaniach na granicach

Liczenie granic z samej definicji byłoby żmudne. Na szczęście granice zachowują się „przyzwoicie” wobec działań. Jeżeli $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = a$ i $\lim\limits_{x \to x_0} g(x) = b$ (obie granice są liczbami), to:

Wszystkie wynikają z twierdzeń o granicach ciągów i definicji Heinego. Do tego dochodzą dwie granice „cegiełki”: $\lim\limits_{x \to x_0} c = c$ (funkcja stała) i $\lim\limits_{x \to x_0} x = x_0$. Z nich i z działań da się złożyć granicę każdego wielomianu i każdej funkcji wymiernej.

Przykład 1. Oblicz $\lim\limits_{x \to -1} \dfrac{2x^3 - x + 4}{x^2 + 3}$.

Krok 1. Granica licznika (suma, iloczyny i potęga): $2 \cdot (-1)^3 - (-1) + 4 = -2 + 1 + 4 = 3$.

Krok 2. Granica mianownika: $(-1)^2 + 3 = 4 \neq 0$, więc wolno użyć twierdzenia o ilorazie.

Odpowiedź. $\lim\limits_{x \to -1} \dfrac{2x^3 - x + 4}{x^2 + 3} = \dfrac{3}{4}$.

Przykład 2. Oblicz $\lim\limits_{x \to 4} (x - 1)\sqrt{x + 5}$.

Krok 1. $\lim\limits_{x \to 4} (x - 1) = 3$ oraz $\lim\limits_{x \to 4} (x + 5) = 9 \geq 0$, więc $\lim\limits_{x \to 4} \sqrt{x + 5} = \sqrt{9} = 3$.

Odpowiedź. Z twierdzenia o iloczynie granica wynosi $3 \cdot 3 = 9$.

Podstawienie - kiedy wolno, a kiedy nie

W obu przykładach granica wyszła równa wartości funkcji w punkcie. To nie przypadek: wielomiany, funkcje wymierne (poza miejscami zerowymi mianownika) i pierwiastki są ciągłe w swoich dziedzinach, a dla funkcji ciągłej granica w punkcie dziedziny to po prostu wartość. Dokładnie omawia to lekcja o ciągłości funkcji w punkcie.

Dlatego pierwszym krokiem jest zawsze próba podstawienia. Jej wynik mówi, co robić dalej:

Trzeci przypadek prowadzi do granic nieskończonych - zajmuje się nim lekcja o granicy niewłaściwej funkcji. Tutaj skupiamy się na drugim.

Symbol 0/0 - dlaczego da się skrócić

Zapis $\frac{0}{0}$ nie jest liczbą. To informacja, że licznik i mianownik jednocześnie dążą do zera, a wynik zależy od tego, jak szybko. Przykłady: $\frac{x^2}{x} \to 0$, $\frac{x}{x} \to 1$, $\frac{5x}{x} \to 5$ przy $x \to 0$ - za każdym razem „$\frac{0}{0}$”, a granice różne.

Dla wielomianów jest jednak prosty klucz. Jeśli wielomian $W$ zeruje się w $x_0$, to z twierdzenia Bézouta dzieli się przez $(x - x_0)$: $W(x) = (x - x_0) \cdot Q(x)$. Symbol $\frac{0}{0}$ w ilorazie wielomianów oznacza więc, że oba mają wspólny czynnik $(x - x_0)$.

Skracanie go jest w pełni uprawnione: przy liczeniu granicy bierzemy tylko $x \neq x_0$, a dla takich $x$ funkcja przed skróceniem i po skróceniu ma te same wartości. Funkcje równe wszędzie poza samym punktem $x_0$ mają w $x_0$ tę samą granicę.

Rozkład na czynniki i wzory skróconego mnożenia

Przykład 3 (trójmian). Oblicz $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^2 - 3x - 4}{x^2 - 16}$.

Krok 1. Podstawienie. Licznik: $16 - 12 - 4 = 0$, mianownik: $16 - 16 = 0$. Symbol $\frac{0}{0}$.

Krok 2. Rozkład. Trójmian ma pierwiastki $4$ i $-1$, a mianownik to różnica kwadratów:

$\frac{x^2 - 3x - 4}{x^2 - 16} = \frac{(x - 4)(x + 1)}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{x + 1}{x + 4} \quad \text{dla } x \neq 4$

Krok 3. Ponowne podstawienie. $\dfrac{4 + 1}{4 + 4} = \dfrac{5}{8}$.

Odpowiedź. $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^2 - 3x - 4}{x^2 - 16} = \dfrac{5}{8}$.

Przykład 4 (kwadrat różnicy). Oblicz $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 9}$.

Krok 1. Licznik $9 - 18 + 9 = 0$, mianownik $0$ - symbol $\frac{0}{0}$.

Krok 2. Licznik to kwadrat różnicy: $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$. Po skróceniu:

$\frac{(x - 3)^2}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{x - 3}{x + 3} \quad \text{dla } x \neq 3$

Krok 3. Podstawiamy: $\dfrac{0}{6} = 0$.

Odpowiedź. Granica wynosi $0$. Symbol $\frac{0}{0}$ może więc dać także zero - licznik „zerował się podwójnie”, szybciej niż mianownik.

Przykład 5 (suma sześcianów). Oblicz $\lim\limits_{x \to -1} \dfrac{x^3 + 1}{x^2 - 1}$.

Krok 1. Licznik $-1 + 1 = 0$, mianownik $1 - 1 = 0$.

Krok 2. Wzór $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ daje $x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$:

$\frac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} \quad \text{dla } x \neq -1$

Krok 3. Podstawiamy: $\dfrac{1 + 1 + 1}{-1 - 1} = -\dfrac{3}{2}$.

Odpowiedź. $\lim\limits_{x \to -1} \dfrac{x^3 + 1}{x^2 - 1} = -\dfrac{3}{2}$.

Dzielenie przez (x − x₀) i schemat Hornera

Gdy wielomian jest trzeciego stopnia i nie widać gotowego wzoru, czynnik $(x - x_0)$ wydzielamy schematem Hornera (albo zwykłym dzieleniem wielomianów).

Przykład 6. Oblicz $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^3 + 2x^2 - 5x + 2}{x^2 + 2x - 3}$.

Krok 1. Podstawienie. Licznik: $1 + 2 - 5 + 2 = 0$, mianownik: $1 + 2 - 3 = 0$. Symbol $\frac{0}{0}$.

Krok 2. Horner dla licznika (dzielimy przez $x - 1$, więc w lewej kolumnie stoi $1$):

Reszta wynosi $0$, a iloraz to $x^2 + 3x - 2$. Zatem $x^3 + 2x^2 - 5x + 2 = (x - 1)(x^2 + 3x - 2)$.

Krok 3. Mianownik. Pierwiastki trójmianu to $1$ i $-3$: $x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)$.

Krok 4. Skracamy i podstawiamy:

$\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x^2 + 3x - 2)}{(x - 1)(x + 3)} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 3x - 2}{x + 3} = \frac{1 + 3 - 2}{1 + 3} = \frac{1}{2}$

Odpowiedź. Granica wynosi $\frac{1}{2}$.

Wyrażenie sprzężone - granice z pierwiastkiem

Gdy w liczniku lub mianowniku jest różnica z pierwiastkiem, nie rozłożymy jej na czynniki wprost. Pomaga wzór $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$: mnożymy licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone, a pierwiastek znika po podniesieniu do kwadratu.

Przykład 7 (pierwiastek w mianowniku). Oblicz $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x - 2}{\sqrt{2x + 5} - 3}$.

Krok 1. Licznik $0$, mianownik $\sqrt{9} - 3 = 0$ - symbol $\frac{0}{0}$.

Krok 2. Mnożymy licznik i mianownik przez $\sqrt{2x + 5} + 3$. W mianowniku: $\left(\sqrt{2x + 5}\right)^2 - 3^2 = 2x + 5 - 9 = 2(x - 2)$.

$\frac{x - 2}{\sqrt{2x + 5} - 3} = \frac{(x - 2)\left(\sqrt{2x + 5} + 3\right)}{2(x - 2)} = \frac{\sqrt{2x + 5} + 3}{2} \quad \text{dla } x \neq 2$

Krok 3. Podstawiamy: $\dfrac{3 + 3}{2} = 3$.

Odpowiedź. $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x - 2}{\sqrt{2x + 5} - 3} = 3$.

Przykład 8 (pierwiastki w liczniku i mianowniku). Oblicz $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{x + 3} - 2}{\sqrt{x + 8} - 3}$.

Krok 1. Licznik $\sqrt{4} - 2 = 0$, mianownik $\sqrt{9} - 3 = 0$.

Krok 2. Dwa sprzężenia naraz - mnożymy przez $\left(\sqrt{x + 3} + 2\right)\left(\sqrt{x + 8} + 3\right)$. Licznik daje $(x + 3) - 4 = x - 1$, mianownik $(x + 8) - 9 = x - 1$:

$\frac{\sqrt{x + 3} - 2}{\sqrt{x + 8} - 3} = \frac{(x - 1)\left(\sqrt{x + 8} + 3\right)}{(x - 1)\left(\sqrt{x + 3} + 2\right)} = \frac{\sqrt{x + 8} + 3}{\sqrt{x + 3} + 2}$

Krok 3. Podstawiamy: $\dfrac{3 + 3}{2 + 2} = \dfrac{3}{2}$.

Odpowiedź. Granica wynosi $\frac{3}{2}$.

Różnica ułamków - wspólny mianownik

Czasem symbol nieoznaczony kryje się w różnicy ułamków, z których każdy osobno „wybucha”. Wtedy najpierw sprowadzamy do wspólnego mianownika.

Przykład 9. Oblicz $\lim\limits_{x \to 3} \left(\dfrac{1}{x - 3} - \dfrac{6}{x^2 - 9}\right)$.

Krok 1. Oba ułamki osobno nie mają granicy skończonej (mianowniki dążą do zera, liczniki nie), więc nie można liczyć ich granic oddzielnie.

Krok 2. Wspólny mianownik to $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$:

$\frac{1}{x - 3} - \frac{6}{x^2 - 9} = \frac{x + 3 - 6}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{x - 3}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{1}{x + 3} \quad \text{dla } x \neq 3$

Krok 3. Podstawiamy: $\dfrac{1}{6}$.

Odpowiedź. Granica wynosi $\frac{1}{6}$.

Schemat obliczania granicy w punkcie

1. Podstaw $x_0$. Wyszła liczba (mianownik $\neq 0$)? To jest granica.
2. Wyszło $\frac{0}{0}$? Rozpoznaj, co się zeruje:
   • wielomiany - rozłóż na czynniki (trójmian, wzory skróconego mnożenia, schemat Hornera); w liczniku i mianowniku musi pojawić się czynnik $(x - x_0)$;
   • pierwiastek - pomnóż przez wyrażenie sprzężone;
   • różnica ułamków - sprowadź do wspólnego mianownika.
3. Skróć $(x - x_0)$ - wolno, bo $x \neq x_0$.
4. Podstaw ponownie. Jeśli znów wychodzi $\frac{0}{0}$, powtórz krok 2 (czynnik mógł występować kilka razy).
5. Wyszło „liczba $\neq 0$ przez $0$”? Granica jest niewłaściwa albo nie istnieje - zbadaj granice jednostronne.

Ciekawostka: granica sin x / x

Najsłynniejsza granica z symbolem $\frac{0}{0}$ nie daje się skrócić żadnym wzorem:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

Nie ma tu wspólnego czynnika - dowód wymaga porównania pól na okręgu jednostkowym i wykracza poza szkolny program. Tabela pokazuje jednak, że wartości rzeczywiście zbliżają się do $1$ ($x$ w radianach):

Dla $x < 0$ wartości są takie same, bo $\frac{\sin(-x)}{-x} = \frac{\sin x}{x}$. Ta granica jest podstawą wzoru na pochodną sinusa - zobacz tablicę pochodnych.

Typowe błędy

• Zapisywanie $\frac{0}{0} = 0$ albo $\frac{0}{0} = 1$. Symbol nieoznaczony nie jest wynikiem. W tej lekcji ten sam „$\frac{0}{0}$” dał $\frac{5}{8}$, $0$, $-\frac{3}{2}$, $\frac{1}{2}$, $3$ i $\frac{3}{2}$.
• Skracanie składników zamiast czynników. W $\frac{x^2 - 9}{x - 3}$ nie wolno „skreślić $x$”; skraca się dopiero cały nawias po rozkładzie: $\frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3}$.
• Zapominanie o $\lim$ w zapisie. Pomiędzy kolejnymi przekształceniami piszemy $\lim\limits_{x \to x_0}$ przed każdym wyrażeniem, aż do podstawienia.
• Liczenie granic składników osobno, gdy nie istnieją. W przykładzie 9 granica każdego ułamka osobno nie jest liczbą, więc twierdzenie o różnicy granic nie działa.
• Mnożenie przez sprzężenie tylko licznika. Mnożymy licznik i mianownik - inaczej zmienia się wartość ułamka.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć granicę funkcji w punkcie? Najpierw podstaw punkt do wzoru. Jeśli wychodzi liczba, a mianownik nie jest zerem, to jest granica. Jeśli wychodzi $\frac{0}{0}$, przekształć wyrażenie - rozłóż na czynniki i skróć $(x - x_0)$ albo pomnóż przez wyrażenie sprzężone - i podstaw jeszcze raz.

Co zrobić, gdy w granicy wychodzi 0/0? Licznik i mianownik mają wspólny czynnik $(x - x_0)$. Rozłóż oba na czynniki (trójmian, wzory skróconego mnożenia, schemat Hornera), skróć ten czynnik i ponownie podstaw. Przy pierwiastkach pomnóż licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone.

Ile wynosi 0/0? To nie jest liczba, tylko symbol nieoznaczony. Granica wyrażenia typu $\frac{0}{0}$ może być dowolną liczbą, nieskończonością albo nie istnieć - trzeba ją wyznaczyć, przekształcając wzór.

Dlaczego przy liczeniu granicy wolno skrócić ułamek? Bo granica w punkcie $x_0$ zależy tylko od wartości funkcji dla $x \neq x_0$. Dla takich $x$ czynnik $(x - x_0)$ jest różny od zera, więc ułamek przed skróceniem i po skróceniu ma te same wartości.

Jak obliczyć granicę z pierwiastkiem? Gdy podstawienie daje $\frac{0}{0}$, pomnóż licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone, np. $\sqrt{x + 3} + 2$ dla $\sqrt{x + 3} - 2$. Ze wzoru na różnicę kwadratów pierwiastek znika, pojawia się czynnik $(x - x_0)$ do skrócenia.

Kiedy granicę funkcji można obliczyć przez podstawienie? Gdy funkcja jest ciągła w danym punkcie - tak jest dla wielomianów zawsze, a dla funkcji wymiernych i pierwiastków w każdym punkcie ich dziedziny (mianownik różny od zera, wyrażenie pod pierwiastkiem nieujemne).

Ile wynosi granica sin x / x przy x dążącym do 0? Wynosi $1$. To granica typu $\frac{0}{0}$, której nie da się obliczyć skracaniem - jej dowód wykracza poza szkolny program, ale można ją sprawdzić tabelą wartości.

Przećwicz

• Obliczanie granic funkcji - zadania → - 10 zadań: podstawienie, symbol 0/0 z trójmianem i różnicą sześcianów, schemat Hornera, wyrażenie sprzężone, ułamek piętrowy i dobieranie parametrów tak, by granica miała zadaną wartość.
• Cały zestaw: granica i pochodna funkcji - zadania →

Podsumowanie

• Granica sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu (mianownik $\neq 0$), potęgi i pierwiastka to wynik działania na granicach.
• Dla wielomianów, funkcji wymiernych i pierwiastków w punktach dziedziny granica = wartość (podstawienie).
• $\frac{0}{0}$ to symbol nieoznaczony: licznik i mianownik mają wspólny czynnik $(x - x_0)$.
• Narzędzia: rozkład trójmianu, wzory skróconego mnożenia, schemat Hornera, wyrażenie sprzężone, wspólny mianownik.
• Po skróceniu podstawiamy ponownie; „liczba $\neq 0$ przez $0$” oznacza granice nieskończone.

Zobacz też

• Granica funkcji w punkcie - poprzednia lekcja: definicja Heinego i odczytywanie granic z wykresu.
• Granice jednostronne funkcji - następna lekcja: co robić, gdy z lewej i z prawej wychodzi co innego.
• Granica funkcji - zestawienie definicji i metod - ściąga z metod liczenia granic.
• Rozkładanie wielomianów na czynniki - wszystkie sposoby rozkładu, które przydają się przy symbolu $\frac{0}{0}$.