Procent składany, lokaty i kredyty - odsetki i raty krok po kroku

Klasa 3 liceum i technikum

Procent składany to sposób naliczania odsetek, w którym odsetki po każdym okresie dopisuje się do kapitału, a w następnym okresie procent liczy się już od powiększonej kwoty. Kolejne stany konta tworzą więc ciąg geometryczny o ilorazie $q = 1 + \frac{p}{100}$: przy lokacie 10 000 zł na 6% rocznie po roku jest 10 600 zł, po dwóch latach 11 236 zł, po trzech 11 910,16 zł.

Ta lekcja pokazuje, jak z ciągu geometrycznego i jego sumy wynikają wszystkie rachunki bankowe: wartość lokaty, wpływ częstszej kapitalizacji, podatek od odsetek, wysokość raty kredytu i całkowity koszt kredytu. Korzysta z lekcji ciąg geometryczny i suma ciągu geometrycznego, a procenty przypomnisz sobie w lekcji procenty. Cały rozdział: ciągi - kurs dla klasy 3.

Umowa o zaokrągleniach. Kwoty podajemy w złotych z dokładnością do grosza i zaokrąglamy dopiero wynik końcowy. Banki zaokrąglają odsetki co okres, więc ich wynik może się różnić o grosz lub dwa - to nie błąd w rachunku.

Procent prosty i procent składany

Procent prosty naliczamy zawsze od kapitału początkowego. Odsetki co roku są takie same, więc kolejne stany konta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $K_0 \cdot \frac{p}{100}$.

Procent składany naliczamy od stanu konta na początku okresu. Po pierwszym roku mamy $K_0 \cdot q$, po drugim $K_0 \cdot q \cdot q = K_0 q^2$, po $n$ latach

$K_n = K_0 \cdot q^{n}, \qquad q = 1 + \frac{p}{100}.$

To jest wzór na $n$-ty wyraz ciągu geometrycznego - stąd całe podobieństwo.

Przykład 1. Wpłacamy 10 000 zł na lokatę oprocentowaną 6% w skali roku. Ile będzie na koncie po 3 latach przy procencie prostym, a ile przy rocznej kapitalizacji odsetek?

Krok 1. Procent prosty. Co roku 6% z 10 000 zł, czyli 600 zł:

$K_3 = 10\,000 \cdot (1 + 3 \cdot 0{,}06) = 10\,000 \cdot 1{,}18 = 11\,800$

Krok 2. Procent składany. $q = 1{,}06$:

$K_3 = 10\,000 \cdot 1{,}06^3 = 10\,000 \cdot 1{,}191016 = 11\,910{,}16$

Odpowiedź. 11 800 zł przy procencie prostym i 11 910,16 zł przy procencie składanym. Różnica 110,16 zł to „odsetki od odsetek”.

Kapitalizacja miesięczna i kwartalna

Kapitalizacja odsetek to dopisanie naliczonych odsetek do kapitału. Bank może to robić raz w roku, co kwartał, co miesiąc albo nawet codziennie. Przy kapitalizacji $k$ razy w roku w każdym okresie dolicza się $\frac{p}{k}\%$, a okresów w ciągu $n$ lat jest $nk$:

$K_n = K_0\left(1 + \frac{p}{100k}\right)^{nk}$

Przykład 2. Te same 10 000 zł na 6% rocznie przez 3 lata, ale z kapitalizacją miesięczną.

Krok 1. Oprocentowanie na miesiąc: $\frac{6\%}{12} = 0{,}5\%$, więc $q = 1{,}005$. Okresów: $3 \cdot 12 = 36$.

Krok 2.

$K = 10\,000 \cdot 1{,}005^{36} \approx 10\,000 \cdot 1{,}196681 = 11\,966{,}81$

Odpowiedź. 11 966,81 zł - o 56,65 zł więcej niż przy kapitalizacji rocznej. Im częstsza kapitalizacja, tym więcej zarabiamy przy tym samym oprocentowaniu nominalnym.

Zysk z coraz częstszej kapitalizacji ma jednak sufit. Przy kapitalizacji codziennej te same 10 000 zł urosną do 11 971,99 zł, a przy kapitalizacji „w każdej chwili” (ciągłej) - do $10\,000 \cdot e^{0{,}18} \approx 11\,972{,}17$ zł. Liczba $e \approx 2{,}718$ to granica ciągu $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$, o której więcej w lekcji jak obliczyć granicę ciągu.

Podatek od odsetek

W Polsce od odsetek z lokat bank pobiera podatek od zysków kapitałowych w wysokości 19% (potocznie „podatek Belki”) - przy każdej kapitalizacji. Na konto trafia więc tylko 81% odsetek, a w rachunku zamiast $\frac{p}{100k}$ bierzemy $0{,}81 \cdot \frac{p}{100k}$.

Przykład 3. Lokata 5 000 zł na rok, oprocentowanie 5% w skali roku, kapitalizacja kwartalna, podatek 19%. Ile wypłacimy po roku?

Krok 1. Oprocentowanie na kwartał: $\frac{5\%}{4} = 1{,}25\%$. Po podatku zostaje $0{,}81 \cdot 1{,}25\% = 1{,}0125\%$, więc $q = 1{,}010125$.

Krok 2. Cztery kwartały:

$K = 5\,000 \cdot 1{,}010125^{4} \approx 5\,205{,}60$

Odpowiedź. Około 5 205,60 zł. Bez podatku byłoby 5 254,73 zł - podatek zabrał 49,13 zł z 254,73 zł odsetek.

Po ilu latach kapitał się podwoi?

Przykład 4. Po ilu latach lokata na 6% w skali roku z roczną kapitalizacją co najmniej podwoi wpłaconą kwotę?

Szukamy najmniejszego $n$, dla którego $K_0 \cdot 1{,}06^n \geq 2K_0$, czyli $1{,}06^n \geq 2$. Logarytmujemy (zob. zastosowanie logarytmów):

$n \geq \frac{\log 2}{\log 1{,}06} \approx 11{,}9$

Odpowiedź. Po 12 latach. Sprawdzenie: $1{,}06^{11} \approx 1{,}898 < 2$, a $1{,}06^{12} \approx 2{,}012 \geq 2$.

Regularne wpłaty - suma ciągu geometrycznego

Przykład 5. Na początku każdego roku przez 5 lat wpłacamy 1 000 zł na konto oprocentowane 5% rocznie z roczną kapitalizacją. Ile będzie na koncie na koniec piątego roku?

Krok 1. Pierwsza wpłata pracuje 5 lat, druga 4 lata, …, ostatnia 1 rok:

$1000 \cdot 1{,}05^5 + 1000 \cdot 1{,}05^4 + \ldots + 1000 \cdot 1{,}05$

Krok 2. To suma 5 wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie $1000 \cdot 1{,}05$ i ilorazie $1{,}05$:

$S_5 = 1050 \cdot \frac{1{,}05^5 - 1}{1{,}05 - 1} \approx 5\,801{,}91$

Odpowiedź. Około 5 801,91 zł, z czego 5 000 zł to wpłaty, a 801,91 zł - odsetki.

Kredyt w ratach stałych - skąd wzór na ratę

Rata stała (annuitetowa) to rata, która przez cały okres kredytu jest taka sama. Wzór na nią wynika z porównania dwóch kwot po $n$ miesiącach:

• dług $K$ urósłby przez $n$ miesięcy do $K q^n$, gdzie $q = 1 + \frac{p}{1200}$ (miesięczne oprocentowanie to $\frac{p}{12}\%$);
• wpłacone raty $R$ urosłyby do $R q^{n-1} + R q^{n-2} + \ldots + Rq + R$ - pierwsza rata pracuje $n - 1$ miesięcy, ostatnia wcale.

Kredyt jest spłacony, gdy obie kwoty są równe. Prawa strona to suma ciągu geometrycznego:

$K q^{n} = R \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1} \quad\Longrightarrow\quad R = K \cdot \frac{q^{n}(q - 1)}{q^{n} - 1}$

Przykład 6. Kredyt 20 000 zł na 2 lata (24 raty miesięczne), oprocentowanie 8% w skali roku, raty stałe. Oblicz ratę i całkowity koszt odsetek.

Krok 1. $q = 1 + \frac{8}{1200} = 1{,}00\overline{6}$, $n = 24$, $q^{24} \approx 1{,}172888$.

Krok 2.

$R = 20\,000 \cdot \frac{1{,}172888 \cdot 0{,}00\overline{6}}{0{,}172888} \approx 904{,}55$

Krok 3. Razem spłacimy $24 \cdot 904{,}55 = 21\,709{,}20$ zł, z czego odsetki to $21\,709{,}20 - 20\,000 = 1\,709{,}20$ zł.

Odpowiedź. Rata wynosi 904,55 zł, odsetki razem 1 709,20 zł. W praktyce bank dolicza jeszcze prowizję i ubezpieczenie - dlatego porównując oferty, patrzy się na RRSO (rzeczywistą roczną stopę oprocentowania), a nie tylko na oprocentowanie nominalne.

Kredyt w ratach malejących - ciąg arytmetyczny

Rata malejąca składa się ze stałej części kapitałowej $\frac{K}{n}$ i odsetek od długu, który jeszcze pozostał. Dług co miesiąc spada o $\frac{K}{n}$, więc odsetki - a z nimi cała rata - maleją co miesiąc o tę samą kwotę. Kolejne raty tworzą ciąg arytmetyczny.

Przykład 7. Kredyt 12 000 zł spłacany w 12 ratach malejących, oprocentowanie 9% w skali roku. Oblicz pierwszą i ostatnią ratę oraz sumę odsetek.

Krok 1. Część kapitałowa: $\frac{12\,000}{12} = 1\,000$ zł. Oprocentowanie miesięczne: $\frac{9\%}{12} = 0{,}75\%$.

Krok 2. Pierwsza rata: odsetki od całego długu $12\,000 \cdot 0{,}0075 = 90$ zł, rata $1\,090$ zł. Ostatnia rata: dług wynosi już tylko 1 000 zł, odsetki $7{,}50$ zł, rata $1\,007{,}50$ zł. Każda kolejna rata jest mniejsza o $1\,000 \cdot 0{,}0075 = 7{,}50$ zł.

Krok 3. Odsetki tworzą ciąg arytmetyczny $90,\ 82{,}50,\ \ldots,\ 7{,}50$ - 12 wyrazów. Ich suma (wzór z lekcji suma ciągu arytmetycznego):

$S_{12} = \frac{90 + 7{,}50}{2} \cdot 12 = 585$

Odpowiedź. Pierwsza rata 1 090 zł, ostatnia 1 007,50 zł, odsetki razem 585 zł.

Raty stałe czy malejące? Przy ratach malejących płacimy mniej odsetek w sumie, bo dług szybciej spada, ale pierwsze raty są wyższe. Raty stałe są na początku niższe, za to w sumie droższe.

Typowe błędy

• Roczne oprocentowanie w miesięcznym okresie. Przy kapitalizacji miesięcznej mnożymy przez $1 + \frac{p}{1200}$, a nie przez $1 + \frac{p}{100}$ - i to 12 razy w roku.
• Procent prosty zamiast składanego. $10\,000 \cdot (1 + 3 \cdot 0{,}06)$ to nie jest wynik lokaty z kapitalizacją - brakuje odsetek od odsetek.
• Odsetki pomniejszone o 19% podatku już od kapitału. Podatek dotyczy tylko odsetek, nie całej kwoty na koncie.
• Zaokrąglanie w trakcie. Zaokrąglenie $1{,}06^3$ do $1{,}19$ daje 11 900 zł zamiast 11 910,16 zł - błąd ponad 10 zł.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć procent składany? Pomnóż kapitał przez $\left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$, gdzie $p$ to oprocentowanie roczne, a $n$ liczba lat: $K_n = K_0\left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$. Przy kapitalizacji $k$ razy w roku bierzesz $\left(1 + \frac{p}{100k}\right)^{nk}$.

Czym się różni procent prosty od składanego? Przy procencie prostym odsetki liczy się zawsze od kapitału początkowego (stan konta rośnie jak ciąg arytmetyczny), przy składanym - od stanu konta z odsetkami (rośnie jak ciąg geometryczny).

Co to jest kapitalizacja odsetek? To dopisanie naliczonych odsetek do kapitału. Po kapitalizacji odsetki same zaczynają przynosić odsetki.

Ile zarobię na lokacie 10 000 zł na 6% przez rok? Brutto 600 zł przy kapitalizacji rocznej. Po 19% podatku zostaje 486 zł, więc wypłacisz 10 486 zł.

Jak obliczyć ratę kredytu? Dla rat stałych: $R = K \cdot \frac{q^n(q - 1)}{q^n - 1}$, gdzie $q = 1 + \frac{p}{1200}$, $p$ to oprocentowanie roczne w procentach, a $n$ liczba rat miesięcznych. Dla 20 000 zł, 8% i 24 rat wychodzi 904,55 zł.

Które raty są tańsze - stałe czy malejące? Malejące: suma odsetek jest mniejsza, bo dług szybciej spada. Za to pierwsze raty malejące są wyższe od raty stałej.

Po ilu latach podwoi się kapitał? Rozwiąż nierówność $\left(1 + \frac{p}{100}\right)^n \geq 2$ logarytmując: $n \geq \frac{\log 2}{\log(1 + p/100)}$. Przy 6% to 12 lat.

Przećwicz

• Lokaty i kredyty - zadania → - 7 zadań: procent składany i prosty, kapitalizacja miesięczna, podatek od odsetek, czas potrzebny na wzrost kapitału, rata stała kredytu i raty malejące, wszystko policzone co do grosza.
• Cały zestaw: ciągi - zadania →

Podsumowanie

• Procent prosty: stany konta tworzą ciąg arytmetyczny; procent składany - ciąg geometryczny o ilorazie $1 + \frac{p}{100}$.
• Kapitalizacja $k$ razy w roku: $K_n = K_0\left(1 + \frac{p}{100k}\right)^{nk}$ - częstsza kapitalizacja daje więcej.
• Podatek 19% zmniejsza odsetki w każdym okresie: zamiast $\frac{p}{100k}$ bierzemy $0{,}81 \cdot \frac{p}{100k}$.
• Rata stała wynika z sumy ciągu geometrycznego: $R = K \cdot \frac{q^n(q - 1)}{q^n - 1}$.
• Raty malejące tworzą ciąg arytmetyczny, a sumę odsetek liczymy wzorem na $S_n$.

Zobacz też

• Ciąg arytmetyczny i geometryczny w jednym zadaniu - poprzednia lekcja.
• Granica ciągu liczbowego - następna lekcja.
• Kalkulator procentów - podwyżki, obniżki i punkty procentowe krok po kroku.
• Procenty - zadania → - procent z liczby, podwyżki i obniżki.
• Ciąg geometryczny - wzory, iloraz, suma - zestawienie wzorów.