Szereg geometryczny w zadaniach - suma nieskończona i równania

Klasa 3 liceum i technikum

Szereg geometryczny to nieskończona suma wyrazów ciągu geometrycznego $a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + \ldots$. Jego sumą nazywamy granicę ciągu sum częściowych $S_n$; ta granica istnieje dokładnie wtedy, gdy $|q| < 1$ (albo $a_1 = 0$), i wynosi $S = \frac{a_1}{1 - q}$.

To ostatnia lekcja rozdziału ciągi. Łączy dwie wcześniejsze: sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego i granicę ciągu, w szczególności fakt, że $q^n \to 0$ dla $|q| < 1$.

Skąd się bierze wzór na sumę szeregu

Nieskończonej liczby składników nie da się po prostu dodać. Dodajemy więc coraz dłuższe początkowe fragmenty i patrzymy, do czego dążą. Suma $n$ pierwszych wyrazów (dla $q \neq 1$) to

$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$

Jeśli $|q| < 1$, to $q^n \to 0$, więc

$\lim_{n \to \infty} S_n = a_1 \cdot \frac{1 - 0}{1 - q} = \frac{a_1}{1 - q}$

Jeśli $|q| \geq 1$, potęga $q^n$ nie dąży do zera i ciąg $S_n$ nie ma granicy skończonej (dla $q = 1$ jest $S_n = n a_1$, co rośnie lub maleje bez końca). Szereg jest wtedy rozbieżny.

Przykład 1. Oblicz sumę $8 + 4 + 2 + 1 + \ldots$

Krok 1. $a_1 = 8$, $q = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$. Ponieważ $|q| < 1$, szereg jest zbieżny.

Krok 2.

$S = \frac{8}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{8}{\frac{1}{2}} = 16$

Odpowiedź. $S = 16$.

Sumy częściowe to $8,\ 12,\ 14,\ 15,\ 15{,}5,\ 15{,}75, \ldots$ - każda jest bliżej $16$ niż poprzednia, ale żadna go nie przekracza. Ze wzoru: $S_n = 16 - 16 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n$, więc do $16$ zawsze brakuje dokładnie ostatniego dodanego wyrazu.

Przykład 2 (iloraz ujemny). Oblicz sumę $6 - 2 + \frac{2}{3} - \frac{2}{9} + \ldots$

Krok 1. $a_1 = 6$, $q = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$, $|q| = \frac{1}{3} < 1$.

Krok 2.

$S = \frac{6}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)} = \frac{6}{\frac{4}{3}} = \frac{9}{2}$

Odpowiedź. $S = \frac{9}{2} = 4{,}5$. Przy ujemnym $q$ sumy częściowe skaczą raz nad, raz pod wynikiem: $6,\ 4,\ 4{,}67,\ 4{,}44, \ldots$

Kiedy wzoru nie wolno użyć

Wzór $S = \frac{a_1}{1 - q}$ działa tylko dla $|q| < 1$. Podstawienie do niego szeregu $1 + 2 + 4 + 8 + \ldots$ ($q = 2$) daje „$S = \frac{1}{1 - 2} = -1$” - absurd, bo suma liczb dodatnich nie może być ujemna. Ten szereg jest rozbieżny do $+\infty$. Dlatego zawsze najpierw sprawdzamy warunek $|q| < 1$, a dopiero potem liczymy.

Ułamek okresowy jako szereg geometryczny

Rozwinięcie okresowe to w rzeczywistości szereg geometryczny. Dzięki temu każdy ułamek okresowy da się zamienić na ułamek zwykły.

Przykład 3. Zamień $0{,}(27)$ na ułamek zwykły.

Krok 1. Rozpisujemy okres:

$0{,}(27) = 0{,}27 + 0{,}0027 + 0{,}000027 + \ldots = \frac{27}{100} + \frac{27}{10\,000} + \ldots$

Krok 2. To szereg o $a_1 = \frac{27}{100}$ i $q = \frac{1}{100}$:

$S = \frac{\frac{27}{100}}{1 - \frac{1}{100}} = \frac{\frac{27}{100}}{\frac{99}{100}} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$

Odpowiedź. $0{,}(27) = \frac{3}{11}$.

Przykład 4 (okres nie od razu po przecinku). Zamień $1{,}2(3)$ na ułamek zwykły.

Część nieokresową odkładamy na bok: $1{,}2(3) = 1{,}2 + 0{,}0333\ldots$, a $0{,}0333\ldots = 0{,}03 + 0{,}003 + \ldots$ to szereg o $a_1 = \frac{3}{100}$, $q = \frac{1}{10}$:

$\frac{\frac{3}{100}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{\frac{3}{100}}{\frac{9}{10}} = \frac{1}{30}$

Odpowiedź. $1{,}2(3) = \frac{6}{5} + \frac{1}{30} = \frac{36}{30} + \frac{1}{30} = \frac{37}{30}$. Tak samo $0{,}1(6) = \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{1}{6}$.

Ciekawostka: $0{,}(9) = \frac{0{,}9}{1 - 0{,}1} = 1$. To nie przybliżenie - zapisy $0{,}999\ldots$ i $1$ oznaczają tę samą liczbę.

Równania z szeregiem geometrycznym

Gdy w szeregu występuje niewiadoma, mamy dwa warunki: równanie z sumą oraz warunek zbieżności $|q| < 1$. Rozwiązanie, które go nie spełnia, odrzucamy.

Przykład 5. Rozwiąż równanie $1 + x + x^2 + x^3 + \ldots = 3$.

Krok 1. Warunek zbieżności. $a_1 = 1$, $q = x$, więc musi być $|x| < 1$.

Krok 2. Równanie. $\dfrac{1}{1 - x} = 3$, czyli $1 - x = \frac{1}{3}$, $x = \frac{2}{3}$.

Krok 3. $\left|\frac{2}{3}\right| < 1$ - warunek spełniony.

Odpowiedź. $x = \frac{2}{3}$.

Przykład 6 (przedział zbieżności). Dla jakich $x$ szereg $1 + (x - 1) + (x - 1)^2 + \ldots$ jest zbieżny? Oblicz jego sumę.

Krok 1. $q = x - 1$, warunek $|x - 1| < 1$, czyli $-1 < x - 1 < 1$, więc $x \in (0, 2)$.

Krok 2. Suma: $S = \dfrac{1}{1 - (x - 1)} = \dfrac{1}{2 - x}$.

Odpowiedź. Szereg jest zbieżny dla $x \in (0, 2)$, a jego suma wynosi $\dfrac{1}{2 - x}$. Np. dla $x = \frac{1}{2}$ suma to $\frac{2}{3}$, a dla $x = 2$ szereg $1 + 1 + 1 + \ldots$ jest rozbieżny.

Przykład 7 (iloraz z sumy). Suma szeregu geometrycznego wynosi $12$, a pierwszy wyraz $4$. Wyznacz iloraz.

$\dfrac{4}{1 - q} = 12$, więc $1 - q = \frac{1}{3}$ i $q = \frac{2}{3}$. Warunek $|q| < 1$ jest spełniony. Odpowiedź. $q = \frac{2}{3}$, szereg to $4 + \frac{8}{3} + \frac{16}{9} + \ldots$

Figury wpisane jedna w drugą

Klasyczne zadanie maturalne: konstrukcja powtarzana bez końca, za każdym razem w tej samej skali. Pola (i obwody) kolejnych figur tworzą wtedy ciąg geometryczny.

Przykład 8. W kwadrat o boku $4$ wpisano kwadrat, którego wierzchołki są środkami boków pierwszego. W drugi kwadrat w ten sam sposób wpisano trzeci i tak dalej bez końca. Oblicz sumę pól i sumę obwodów wszystkich kwadratów.

Krok 1. Skala. Bok drugiego kwadratu to przekątna kwadratu o boku $2$: $\sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2} = \frac{4}{\sqrt{2}}$. Każdy bok jest więc $\sqrt{2}$ razy krótszy od poprzedniego, a każde pole - $2$ razy mniejsze.

Krok 2. Pola: $16 + 8 + 4 + \ldots$, czyli $a_1 = 16$, $q = \frac{1}{2}$: $S_P = \dfrac{16}{1 - \frac{1}{2}} = 32$.

Krok 3. Obwody: $16 + \frac{16}{\sqrt{2}} + \ldots$, czyli $q = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$S_O = \frac{16}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{32}{2 - \sqrt{2}} = \frac{32(2 + \sqrt{2})}{4 - 2} = 32 + 16\sqrt{2}$

Odpowiedź. Suma pól wynosi $32$, a suma obwodów $32 + 16\sqrt{2} \approx 54{,}63$.

Achilles i żółw

Paradoks Zenona z Elei: Achilles biegnie dziesięć razy szybciej od żółwia, który ma $100$ m przewagi. Gdy Achilles przebiegnie $100$ m, żółw jest $10$ m dalej; gdy przebiegnie te $10$ m, żółw jest o $1$ m dalej - i tak bez końca. Czy Achilles kiedykolwiek go dogoni? Odcinki tworzą szereg o $a_1 = 100$ i $q = \frac{1}{10}$:

$100 + 10 + 1 + \ldots = \frac{100}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{1000}{9} \approx 111{,}11 \text{ m}$

Nieskończenie wiele etapów daje skończoną drogę - Achilles dogania żółwia po $111{,}11$ m.

Typowe błędy

• Liczenie sumy bez sprawdzenia $|q| < 1$. Dla $q = 2$ wzór daje bezsensowne $-1$.
• Zła wartość ilorazu. $q$ to wyraz podzielony przez poprzedni: w $6 - 2 + \frac{2}{3}$ jest $q = -\frac{1}{3}$, nie $-3$.
• Brak warunku zbieżności w równaniu. W równaniu z niewiadomą w ilorazie każde rozwiązanie trzeba porównać z przedziałem $|q| < 1$.
• Ułamek okresowy z przesuniętym okresem. W $1{,}2(3)$ okres zaczyna się na drugim miejscu po przecinku, więc $a_1 = \frac{3}{100}$, a nie $\frac{3}{10}$.

Najczęstsze pytania

Co to jest szereg geometryczny? To nieskończona suma wyrazów ciągu geometrycznego: $a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + \ldots$ Jego suma to granica sum częściowych $S_n$.

Kiedy szereg geometryczny jest zbieżny? Gdy iloraz spełnia warunek $|q| < 1$, czyli $-1 < q < 1$ (albo gdy $a_1 = 0$). Dla $|q| \geq 1$ i $a_1 \neq 0$ szereg jest rozbieżny.

Jak obliczyć sumę szeregu geometrycznego? Sprawdź, że $|q| < 1$, i podstaw do wzoru $S = \frac{a_1}{1 - q}$. Na przykład $8 + 4 + 2 + \ldots = \frac{8}{1 - \frac{1}{2}} = 16$.

Jak zamienić ułamek okresowy na zwykły? Zapisz go jako szereg geometryczny: $0{,}(27) = \frac{27}{100} + \frac{27}{10\,000} + \ldots$ Iloraz to $\frac{1}{100}$, więc suma wynosi $\frac{27}{99} = \frac{3}{11}$.

Ile wynosi 0,(9)? Dokładnie $1$: $0{,}9 + 0{,}09 + \ldots = \frac{0{,}9}{1 - 0{,}1} = 1$.

Czym się różni suma ciągu geometrycznego od sumy szeregu? Suma ciągu $S_n = a_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}$ dotyczy skończenie wielu wyrazów i istnieje zawsze. Suma szeregu to granica $S_n$ przy $n \to \infty$ i istnieje tylko dla $|q| < 1$.

Jak rozwiązać równanie z szeregiem geometrycznym? Ustal $a_1$ i $q$, zapisz warunek $|q| < 1$, przyrównaj $\frac{a_1}{1 - q}$ do prawej strony i odrzuć rozwiązania, które nie spełniają warunku zbieżności.

Przećwicz

• Szereg geometryczny - zadania → - 7 zadań: suma szeregu z dodatnim i ujemnym ilorazem, ułamek okresowy, równanie z niewiadomą w ilorazie, przedział zbieżności, wyznaczanie szeregu z sumy i drugiego wyrazu oraz trójkąty wpisane jeden w drugi.
• Cały zestaw: ciągi - zadania →

Podsumowanie

• Szereg geometryczny $a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + \ldots$ ma sumę równą granicy sum częściowych.
• Warunek zbieżności: $|q| < 1$; wtedy $S = \frac{a_1}{1 - q}$.
• Dla $|q| \geq 1$ (i $a_1 \neq 0$) szereg jest rozbieżny - wzoru nie wolno stosować.
• Każdy ułamek okresowy to szereg geometryczny, np. $0{,}(27) = \frac{3}{11}$.
• W równaniach z szeregiem rozwiązanie musi spełniać warunek $|q| < 1$.
• Pola figur wpisanych w tej samej skali $k$ tworzą szereg o ilorazie $k^2$.

Zobacz też

• Suma ciągu geometrycznego - wzór na $S_n$, z którego wyprowadziliśmy sumę szeregu.
• Ciąg rozbieżny do nieskończoności - poprzednia lekcja: co się dzieje z $q^n$ dla $|q| \geq 1$.
• Szereg geometryczny - suma i ułamki okresowe - zestawienie wzorów i zapis sumy z symbolem $\sum$.
• Ciąg geometryczny - wzory, iloraz, suma - wszystkie wzory ciągu geometrycznego w jednym miejscu.
• Ciąg harmoniczny 1/n - szereg, którego wyrazy dążą do zera, a suma mimo to jest nieskończona.