Funkcja złożona i jej pochodna - reguła łańcuchowa krok po kroku

Klasa 3 liceum i technikum

Funkcja złożona $g \circ f$ to funkcja, która liczbie $x$ przypisuje $g\big(f(x)\big)$: najpierw działa funkcja wewnętrzna $f$, a na jej wynik - funkcja zewnętrzna $g$. Pochodna funkcji złożonej to pochodna funkcji zewnętrznej, obliczona w punkcie $f(x)$, pomnożona przez pochodną funkcji wewnętrznej (reguła łańcuchowa).

To kolejna lekcja rozdziału elementy analizy matematycznej. W poprzedniej - funkcja pochodna - poznaliśmy wzory na pochodną potęgi, sumy, iloczynu i ilorazu. Nie wystarczą one jednak do wygodnego zróżniczkowania $(2x - 1)^5$ czy $\sqrt{x^2 + 4}$. Do tego służy reguła łańcuchowa.

Składanie funkcji - kolejność ma znaczenie

Weźmy $f(x) = 2x - 1$ oraz $g(x) = x^2$. Złożyć je można na dwa sposoby:

$g\big(f(x)\big) = (2x - 1)^2, \qquad f\big(g(x)\big) = 2x^2 - 1.$

W pierwszym przypadku najpierw mnożymy przez $2$ i odejmujemy $1$, a dopiero potem podnosimy do kwadratu. W drugim - odwrotnie. Wyniki są różne:

Składanie funkcji nie jest przemienne: $g \circ f \ne f \circ g$. Znasz już jeden ważny przykład złożenia - przesunięcie wykresu wzdłuż osi Ox: wykres $y = f(x - 3)$ powstaje, gdy funkcję $f$ złożymy z funkcją wewnętrzną $x - 3$.

Dziedzina funkcji złożonej

Liczba $x$ należy do dziedziny złożenia $g \circ f$, gdy spełnia dwa warunki: należy do dziedziny funkcji wewnętrznej $f$ oraz wartość $f(x)$ należy do dziedziny funkcji zewnętrznej $g$.

Przykład 1. Wyznacz dziedzinę funkcji $h(x) = \sqrt{4 - x^2}$.

Krok 1. Funkcja wewnętrzna $f(x) = 4 - x^2$ jest określona dla każdego $x$, zewnętrzna $g(u) = \sqrt{u}$ - dla $u \geq 0$.

Krok 2. Warunek $4 - x^2 \geq 0$, czyli $x^2 \leq 4$, daje $-2 \leq x \leq 2$.

Odpowiedź. $D_h = \langle -2;\ 2\rangle$.

Przykład 2. Wyznacz dziedzinę złożenia $g\big(f(x)\big)$, gdzie $f(x) = x^2 - 9$ i $g(u) = \frac{1}{u}$.

Krok 1. $g\big(f(x)\big) = \frac{1}{x^2 - 9}$, a $g$ wymaga $u \ne 0$.

Krok 2. $x^2 - 9 \ne 0$, czyli $x \ne -3$ i $x \ne 3$.

Odpowiedź. $D = \mathbb{R} \setminus \{-3,\ 3\}$.

Funkcja wewnętrzna i zewnętrzna - jak je rozpoznać

Żeby policzyć pochodną, trzeba najpierw zobaczyć, z jakich „klocków” zbudowana jest funkcja. Pomaga pytanie: co liczę na samym końcu, gdy wstawiam konkretną liczbę? Ostatnia operacja to funkcja zewnętrzna, wszystko pod nią - wewnętrzna.

W ostatnim wierszu funkcja wewnętrzna sama jest złożeniem - wtedy reguły używamy dwa razy (zob. przykład 6).

Reguła łańcuchowa

Twierdzenie (pochodna funkcji złożonej). Jeśli funkcja $f$ ma pochodną w punkcie $x$, a funkcja $g$ ma pochodną w punkcie $f(x)$, to złożenie $g \circ f$ ma pochodną w punkcie $x$ i

$\Big(g\big(f(x)\big)\Big)' = g'\big(f(x)\big) \cdot f'(x).$

Skąd ten wzór? Oznaczmy $u = f(x)$ i przyrost funkcji wewnętrznej $k = f(x + h) - f(x)$. Jeśli $k \ne 0$, iloraz różnicowy złożenia rozpisujemy na dwa ułamki:

$\frac{g\big(f(x + h)\big) - g\big(f(x)\big)}{h} = \frac{g(u + k) - g(u)}{k} \cdot \frac{f(x + h) - f(x)}{h}.$

Gdy $h \to 0$, także $k \to 0$ (funkcja $f$ jest ciągła), więc pierwszy ułamek dąży do $g'(u)$, a drugi do $f'(x)$. Ścisły dowód musi jeszcze osobno obsłużyć sytuację, w której $k = 0$ dla dowolnie małych $h$, ale wynik jest ten sam.

Intuicja: jeśli $u$ zmienia się $3$ razy szybciej niż $x$, a $y$ zmienia się $2$ razy szybciej niż $u$, to $y$ zmienia się $6$ razy szybciej niż $x$. Tempa zmian się mnożą. W zapisie Leibniza wygląda to jak skracanie ułamków: $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$.

Schemat liczenia pochodnej funkcji złożonej:

1. Rozpoznaj funkcję zewnętrzną $g$ i wewnętrzną $f$.
2. Policz pochodną zewnętrznej, zostawiając w środku funkcję wewnętrzną bez zmian.
3. Pomnóż przez pochodną funkcji wewnętrznej.
4. Uprość wynik.

Przykłady krok po kroku

Przykład 3. Oblicz pochodną funkcji $f(x) = (2x - 1)^5$ oraz $f'(1)$.

Krok 1. Zewnętrzna: $g(u) = u^5$, $g'(u) = 5u^4$. Wewnętrzna: $u = 2x - 1$, $u' = 2$.

Krok 2. Reguła łańcuchowa:

$f'(x) = 5(2x - 1)^4 \cdot 2 = 10(2x - 1)^4.$

Krok 3. $f'(1) = 10 \cdot 1^4 = 10$.

Odpowiedź. $f'(x) = 10(2x - 1)^4$, $f'(1) = 10$.

Sprawdzenie na mniejszej potędze. Dla $(2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$ bez reguły łańcuchowej dostajemy $8x - 4$, a z reguły: $2(2x - 1) \cdot 2 = 8x - 4$ - zgadza się. Dla piątej potęgi wymnażanie byłoby długie, a reguła daje wynik od razu.

Przykład 4. Oblicz pochodną funkcji $f(x) = \sqrt{x^2 + 4}$.

Krok 1. Zewnętrzna: $g(u) = \sqrt{u}$, $g'(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}}$. Wewnętrzna: $u = x^2 + 4$, $u' = 2x$. Wyrażenie pod pierwiastkiem jest zawsze dodatnie, więc pochodna istnieje dla każdego $x$.

Krok 2. Reguła łańcuchowa:

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 4}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}.$

Odpowiedź. $f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}$. Na przykład $f'(0) = 0$ (styczna pozioma w najniższym punkcie wykresu) i $f'(\sqrt{5}) = \frac{\sqrt{5}}{3}$.

Tak samo dla $y = \sqrt{x^2 + 5}$ dostajemy $y' = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 5}}$, więc w punkcie $(2,\ 3)$ nachylenie stycznej wynosi $\frac{2}{3}$:

Przykład 5. Oblicz pochodną funkcji $f(x) = \dfrac{1}{(x^2 + 1)^3}$ oraz $f'(1)$.

Krok 1. Zapis potęgowy: $f(x) = (x^2 + 1)^{-3}$. Zewnętrzna $g(u) = u^{-3}$, $g'(u) = -3u^{-4}$; wewnętrzna $u = x^2 + 1$, $u' = 2x$.

Krok 2. Reguła łańcuchowa:

$f'(x) = -3(x^2 + 1)^{-4} \cdot 2x = -\frac{6x}{(x^2 + 1)^4}.$

Krok 3. $f'(1) = -\frac{6}{2^4} = -\frac{6}{16} = -\frac{3}{8}$.

Odpowiedź. $f'(x) = -\frac{6x}{(x^2 + 1)^4}$, $f'(1) = -\frac{3}{8}$. Wzór na iloraz też by zadziałał, ale wymagałby różniczkowania $(x^2 + 1)^3$ - i tak przez regułę łańcuchową.

Przykład 6. Złożenie trzech funkcji. Oblicz pochodną $h(x) = \left(1 + \sqrt{2x + 1}\right)^3$ oraz $h'(4)$.

Krok 1. Rozkład od zewnątrz. Ostatnia operacja to trzecia potęga, pod nią $1 + \sqrt{2x + 1}$, a w pierwiastku $2x + 1$. Mamy więc trzy warstwy: $u^3$, potem $1 + \sqrt{w}$, potem $w = 2x + 1$.

Krok 2. Warstwa zewnętrzna: $3\left(1 + \sqrt{2x + 1}\right)^2$.

Krok 3. Warstwa środkowa (pochodna pierwiastka razy pochodna $2x + 1$):

$\left(1 + \sqrt{2x + 1}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{2x + 1}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}}.$

Krok 4. Mnożymy:

$h'(x) = 3\left(1 + \sqrt{2x + 1}\right)^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2x + 1}} = \frac{3\left(1 + \sqrt{2x + 1}\right)^2}{\sqrt{2x + 1}} \quad \left(x > -\tfrac{1}{2}\right).$

Krok 5. Dla $x = 4$: $\sqrt{9} = 3$, więc $h'(4) = \frac{3 \cdot 4^2}{3} = 16$.

Odpowiedź. $h'(4) = 16$.

Reguła łańcuchowa razem z iloczynem i ilorazem

W zadaniach rzadko występuje sama funkcja złożona. Najpierw ustalamy, jaka operacja jest najbardziej zewnętrzna (iloczyn? iloraz?), a regułę łańcuchową stosujemy wewnątrz.

Przykład 7 (iloczyn). Oblicz pochodną $f(x) = x(x^2 + 2)^3$ oraz $f'(1)$.

Krok 1. To iloczyn $u = x$ i $v = (x^2 + 2)^3$. Pochodna $v$ z reguły łańcuchowej: $v' = 3(x^2 + 2)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 2)^2$.

Krok 2. Wzór na iloczyn:

$f'(x) = 1 \cdot (x^2 + 2)^3 + x \cdot 6x(x^2 + 2)^2.$

Krok 3. Wyłączamy wspólny czynnik $(x^2 + 2)^2$:

$f'(x) = (x^2 + 2)^2\big(x^2 + 2 + 6x^2\big) = (x^2 + 2)^2(7x^2 + 2).$

Krok 4. $f'(1) = 3^2 \cdot 9 = 81$.

Odpowiedź. $f'(x) = (x^2 + 2)^2(7x^2 + 2)$, $f'(1) = 81$. Wyłączanie wspólnego czynnika zamiast wymnażania to dobry nawyk - postać iloczynowa od razu pokazuje znak pochodnej.

Przykład 8 (iloraz). Oblicz pochodną $f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ oraz $f'(0)$.

Krok 1. Wzór na iloraz z $u = x$, $u' = 1$ oraz $v = \sqrt{x^2 + 1}$, $v' = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ (jak w przykładzie 4):

$f'(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 1} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1}.$

Krok 2. Mnożymy licznik i mianownik przez $\sqrt{x^2 + 1}$:

$f'(x) = \frac{x^2 + 1 - x^2}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{1}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}}.$

Krok 3. $f'(0) = 1$.

Odpowiedź. $f'(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}}$, $f'(0) = 1$. Pochodna jest dodatnia dla każdego $x$, więc funkcja rośnie w całej dziedzinie.

Przykład 9 (iloraz jako funkcja wewnętrzna). Oblicz pochodną $f(x) = \left(\dfrac{x + 1}{x - 1}\right)^3$ dla $x \ne 1$ oraz $f'(0)$.

Krok 1. Zewnętrzna: $u^3$. Wewnętrzna: $u = \frac{x + 1}{x - 1}$, a jej pochodna ze wzoru na iloraz:

$u' = \frac{(x - 1) - (x + 1)}{(x - 1)^2} = -\frac{2}{(x - 1)^2}.$

Krok 2. Reguła łańcuchowa:

$f'(x) = 3\left(\frac{x + 1}{x - 1}\right)^2 \cdot \left(-\frac{2}{(x - 1)^2}\right) = -\frac{6(x + 1)^2}{(x - 1)^4}.$

Krok 3. $f'(0) = -\frac{6 \cdot 1}{1} = -6$.

Odpowiedź. $f'(x) = -\frac{6(x + 1)^2}{(x - 1)^4}$, $f'(0) = -6$.

Ciekawostka - funkcje trygonometryczne. Reguła łańcuchowa wyjaśnia, dlaczego trzy podobnie wyglądające funkcje mają zupełnie różne pochodne: $(\sin 2x)' = 2\cos 2x$, $(\sin^2 x)' = 2\sin x \cos x$, a $\left(\sin x^2\right)' = 2x \cos x^2$. W każdej z nich inna funkcja jest zewnętrzna.

Typowe błędy

• Zgubiona pochodna wewnętrzna. $\left((2x - 1)^5\right)' \ne 5(2x - 1)^4$ - brakuje czynnika $2$. Ten błąd jest najczęstszy, zwłaszcza gdy funkcja wewnętrzna to tylko $3x$ albo $-x$.
• Zmieniona funkcja wewnętrzna. W $g'\big(f(x)\big)$ środek przepisujemy bez zmian: $\left(\sqrt{x^2 + 4}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 4}} \cdot 2x$, a nie $\frac{1}{2\sqrt{2x}}$.
• Zgubiony znak przy minusie w środku. $\left((5 - x)^4\right)' = 4(5 - x)^3 \cdot (-1) = -4(5 - x)^3$.
• Odwrócone warstwy. W $(\sqrt{x} + 1)^3$ zewnętrzna jest trzecia potęga, a w $\sqrt{x^3 + 1}$ - pierwiastek. To różne funkcje i mają różne pochodne: $\frac{3(\sqrt{x} + 1)^2}{2\sqrt{x}}$ oraz $\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}}$.
• Złożenie mylone z iloczynem. $f\big(g(x)\big)$ to nie $f(x) \cdot g(x)$ i pochodna też jest inna.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć pochodną funkcji złożonej? Rozpoznaj funkcję zewnętrzną i wewnętrzną, policz pochodną zewnętrznej z niezmienionym „środkiem” i pomnóż przez pochodną wewnętrznej: $\big(g(f(x))\big)' = g'(f(x)) \cdot f'(x)$. Np. $\left((x^2 + 3)^4\right)' = 4(x^2 + 3)^3 \cdot 2x$.

Co to jest funkcja złożona? To funkcja postaci $g\big(f(x)\big)$: na argumencie działa najpierw funkcja $f$, a na jej wyniku funkcja $g$. Przykłady: $(3x + 1)^4$, $\sqrt{x^2 + 5}$, $\frac{1}{x^3 - 2}$.

Jak rozpoznać funkcję wewnętrzną i zewnętrzną? Wstaw w myślach konkretną liczbę i sprawdź, co liczysz na samym końcu - to funkcja zewnętrzna. W $\sqrt{x^2 + 5}$ na końcu wyciągasz pierwiastek, więc zewnętrzna to $\sqrt{u}$, a wewnętrzna to $x^2 + 5$.

Ile wynosi pochodna pierwiastka z funkcji?$\left(\sqrt{f(x)}\right)' = \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ tam, gdzie $f(x) > 0$. Na przykład $\left(\sqrt{x^2 + 4}\right)' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 4}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}$.

Jaka jest pochodna (ax + b) do potęgi n?$\big((ax + b)^n\big)' = n a (ax + b)^{n - 1}$ - wykładnik schodzi przed nawias, a współczynnik $a$ to pochodna funkcji wewnętrznej. Np. $\big((3x + 2)^4\big)' = 12(3x + 2)^3$.

Czy składanie funkcji jest przemienne? Nie. Dla $f(x) = 2x - 1$ i $g(x) = x^2$ mamy $g\big(f(x)\big) = (2x - 1)^2$, a $f\big(g(x)\big) = 2x^2 - 1$ - to różne funkcje, np. dla $x = 2$ dają $9$ i $7$.

Jak wyznaczyć dziedzinę funkcji złożonej? Bierzemy te $x$ z dziedziny funkcji wewnętrznej, dla których jej wartość należy do dziedziny funkcji zewnętrznej. Dla $\sqrt{4 - x^2}$ warunek $4 - x^2 \geq 0$ daje przedział $\langle -2;\ 2\rangle$.

Kiedy stosuje się regułę łańcuchową? Zawsze, gdy w miejscu zmiennej $x$ we wzorze stoi wyrażenie: pod potęgą, pod pierwiastkiem, w mianowniku jako całość podniesiona do potęgi. Jeśli funkcja wewnętrzna to samo $x$, reguła daje czynnik $1$ i zwykły wzór.

Przećwicz

• Pochodna funkcji złożonej - zadania → - 7 zadań: potęga funkcji liniowej, złożenia $f \circ g$ i $g \circ f$, pierwiastek z trójmianu, ułamek z potęgą w mianowniku, reguła łańcuchowa z iloczynem i z ilorazem oraz parametr wyznaczony z wartości pochodnej.
• Obliczanie pochodnych - zadania → - powtórka wzorów na sumę, iloczyn i iloraz.
• Cały zestaw: granica i pochodna funkcji - zadania →

Podsumowanie

• Funkcja złożona $g\big(f(x)\big)$: najpierw działa wewnętrzna $f$, potem zewnętrzna $g$.
• Składanie nie jest przemienne: $g \circ f \ne f \circ g$.
• Dziedzina złożenia: $x \in D_f$ oraz $f(x) \in D_g$.
• Reguła łańcuchowa: $\big(g(f(x))\big)' = g'\big(f(x)\big) \cdot f'(x)$ - pochodna zewnętrznej z niezmienionym środkiem razy pochodna wewnętrznej.
• $\big((ax + b)^n\big)' = na(ax + b)^{n - 1}$, $\left(\sqrt{f}\right)' = \frac{f'}{2\sqrt{f}}$.
• Przy kilku warstwach mnożymy pochodne wszystkich warstw, od zewnątrz do środka.
• W iloczynie i ilorazie regułę łańcuchową stosujemy do poszczególnych czynników.

Zobacz też

• Funkcja pochodna - wzory i reguły - poprzednia lekcja: pochodna potęgi, sumy, iloczynu i ilorazu.
• Styczna do wykresu funkcji - następna lekcja: jak z pochodnej wyznaczyć równanie stycznej.
• Tablica pochodnych - wszystkie wzory i reguły różniczkowania w jednym miejscu.
• Przesunięcie wykresu wzdłuż osi Ox - złożenie z funkcją $x - a$ w praktyce.
• Dziedzina funkcji - jak wyznaczać dziedzinę wyrażeń z pierwiastkiem i ułamkiem.