Wariacje z powtórzeniami i bez powtórzeń - wzór, przykłady, jak rozpoznać

Klasa 3 liceum i technikum

Wariacja $k$-wyrazowa z powtórzeniami zbioru $n$-elementowego to każdy $k$-wyrazowy ciąg, którego wyrazy należą do tego zbioru i mogą się powtarzać. Wariacja $k$-wyrazowa bez powtórzeń to każdy $k$-wyrazowy ciąg różnych elementów zbioru $n$-elementowego. W obu przypadkach kolejność ma znaczenie: ciągi $(1, 2, 3)$ i $(3, 2, 1)$ to dwie różne wariacje.

Wariacje to po prostu reguła mnożenia zastosowana do ciągu: każde miejsce w ciągu to jeden etap wyboru. Wzory są tylko skrótem tego rachunku - w zadaniach zawsze można wrócić do mnożenia „miejsce po miejscu”.

Wariacje z powtórzeniami: n do potęgi k

Przykład 1. Kłódka szyfrowa ma $3$ bębenki, na każdym cyfry od $0$ do $9$. Ile jest możliwych ustawień kłódki?

Każdy bębenek to jeden etap wyboru i na każdym mamy $10$ możliwości - niezależnie od tego, co ustawiono na pozostałych (cyfry mogą się powtarzać, np. $077$):

$10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^3 = 1000.$

Ogólnie: jeśli wypełniamy $k$ miejsc i na każde z nich mamy te same $n$ możliwości, to z reguły mnożenia

$\overline{V}_n^k = \underbrace{n \cdot n \cdot \ldots \cdot n}_{k \text{ czynników}} = n^k.$

Przykład 2. Rzucamy trzy razy sześcienną kostką i zapisujemy ciąg wyników. Ile jest możliwych ciągów? Tu $n = 6$ (wyniki jednego rzutu), $k = 3$ (liczba rzutów):

$6^3 = 216.$

Przykład 3 (kto wybiera?). Na ile sposobów można rozmieścić $4$ różne kule w $3$ szufladach, jeśli szuflada może pozostać pusta?

Tu łatwo pomylić $n$ i $k$. Zadajmy pytanie: kto dokonuje wyboru? Każda kula „wybiera” swoją szufladę - $4$ wybory (kule), w każdym $3$ możliwości (szuflady):

$3^4 = 81, \quad \text{a nie } 4^3 = 64.$

Wykładnik to liczba etapów (miejsc w ciągu, decyzji), podstawa - liczba możliwości w jednym etapie.

Wariacje bez powtórzeń: n!/(n − k)!

Przykład 4. Klasa liczy $28$ uczniów. Na ile sposobów można wybrać przewodniczącego, jego zastępcę i skarbnika, jeśli jedna osoba pełni tylko jedną funkcję?

Funkcje są różne, więc kolejność wyboru ma znaczenie (Ania jako przewodnicząca i Bartek jako zastępca to co innego niż odwrotnie). Przewodniczącego wybieramy na $28$ sposobów, zastępcę - już tylko spośród $27$ pozostałych, skarbnika - spośród $26$:

$V_{28}^3 = 28 \cdot 27 \cdot 26 = 19\,656.$

Ogólnie: przy $k$ miejscach i $n$ elementach, które nie mogą się powtarzać, liczba możliwości maleje o $1$ z każdym etapem. Mnożymy $k$ kolejnych liczb, zaczynając od $n$ w dół:

$V_n^k = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1).$

Ten sam iloczyn da się zapisać za pomocą silni. Silnia $n!$ to iloczyn wszystkich liczb naturalnych od $1$ do $n$, np. $5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$. Jeśli w iloczynie $n!$ skreślimy czynniki od $1$ do $n-k$, zostanie dokładnie nasz iloczyn:

$\frac{28!}{25!} = \frac{28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25!}{25!} = 28 \cdot 27 \cdot 26, \qquad \text{czyli} \qquad V_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}.$

W praktyce rachunkowej wygodniejsza jest postać iloczynowa - nikt nie liczy $28!$, żeby potem przez coś podzielić.

Z powtórzeniami czy bez? Porównanie

Przykład 5. Ile liczb trzycyfrowych można utworzyć z cyfr $1, 2, 3, 4, 5$, jeśli

a) cyfry mogą się powtarzać, b) cyfry nie mogą się powtarzać?

a) Każda z trzech cyfr na $5$ sposobów: $5^3 = 125$.

b) Pierwsza cyfra na $5$ sposobów, druga na $4$, trzecia na $3$: $V_5^3 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$.

Wśród cyfr nie ma zera, więc nie trzeba się martwić pierwszą cyfrą. Dla tego samego zbioru $5$ cyfr i różnych długości ciągu $k$ wyniki wyglądają tak:

Dwie obserwacje z tabeli. Po pierwsze, wariacji bez powtórzeń nie da się utworzyć, gdy $k > n$ - z $5$ cyfr nie ułożymy $6$ różnych. Po drugie, dla $k = n$ i $k = n - 1$ wychodzi to samo ($120$): gdy zostaje jedno miejsce i jedna cyfra, ostatni wybór jest wymuszony. Wariacja z $k = n$ to ustawienie wszystkich elementów, czyli permutacja.

Jak rozpoznać wariację

Zadaj sobie dwa pytania:

1. Czy kolejność ma znaczenie? Tak, jeśli zamiana dwóch wybranych elementów daje inny wynik (kod $12$ to nie kod $21$, prezes i skarbnik to różne funkcje). Jeśli kolejność nie ma znaczenia (wybieramy tylko grupę), to nie jest wariacja, tylko kombinacja.
2. Czy elementy mogą się powtarzać? Tak - kody, rzuty kostką, kule w szufladach ($n^k$). Nie - osoby na funkcjach, medale, liczby o różnych cyfrach ($\tfrac{n!}{(n-k)!}$).

Typowe błędy

• Zamiana podstawy z wykładnikiem. $4$ kule w $3$ szufladach to $3^4$, nie $4^3$. Wykładnik to liczba decyzji, podstawa - liczba możliwości w jednej decyzji.
• Zero na początku liczby. Wzór $V_n^k$ zakłada, że każdy element może stać na każdym miejscu. Ile liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach utworzymy z cyfr $0, 1, 2, 3$? Nie $V_4^3 = 24$, tylko $3 \cdot 3 \cdot 2 = 18$ - pierwsza cyfra nie może być zerem. Wtedy liczymy regułą mnożenia, zaczynając od pierwszej cyfry.
• Wariacja zamiast kombinacji. „Wybierz trzy osoby na wycieczkę” - kolejność nie gra roli, więc wynik z wariacji trzeba jeszcze podzielić przez $3!$.

Najczęstsze pytania

Czym różni się wariacja z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń? W wariacji z powtórzeniami ten sam element może wystąpić w ciągu kilka razy (kod PIN $1111$), a liczba możliwości wynosi $n^k$. W wariacji bez powtórzeń wszystkie wyrazy ciągu są różne (podium w biegu), a liczba możliwości wynosi $\tfrac{n!}{(n-k)!}$.

Jaki jest wzór na wariację bez powtórzeń?$V_n^k = \tfrac{n!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)$, czyli iloczyn $k$ kolejnych liczb naturalnych, zaczynając od $n$ w dół. Np. $V_{10}^3 = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$.

Jak rozpoznać, że w zadaniu jest wariacja? Wybieramy $k$ elementów i kolejność ma znaczenie - zamiana miejscami dwóch wybranych elementów daje inny wynik (kody, numery, ustawienie na podium, przydział różnych funkcji). Gdy kolejność nie ma znaczenia, jest to kombinacja.

Czy wariacja to to samo co permutacja? Permutacja to szczególny przypadek wariacji bez powtórzeń, w którym ustawiamy wszystkie elementy, czyli $k = n$. Wtedy $V_n^n = \tfrac{n!}{0!} = n!$.

Ile jest kodów PIN złożonych z czterech cyfr?$10^4 = 10\,000$ - każda z czterech cyfr na $10$ sposobów (to wariacja z powtórzeniami). Kodów o czterech różnych cyfrach jest $V_{10}^4 = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040$.

Na ile sposobów można rozmieścić k kul w n szufladach? Jeśli kule są różne, a szuflady mogą być puste lub zawierać wiele kul, to $n^k$ - każda kula niezależnie wybiera jedną z $n$ szuflad. Jeśli w każdej szufladzie może być co najwyżej jedna kula, to $\tfrac{n!}{(n-k)!}$.

Przećwicz

• Wariacje z powtórzeniami i bez - zadania → - podium, kody PIN, rzuty monetą, rozdzielanie nagród, sygnały z flag i obsadzanie funkcji (zadania z pełnym rozwiązaniem krok po kroku).
• Cały zestaw: kombinatoryka - zadania z rozwiązaniami →

Podsumowanie

• Wariacja to ciąg - kolejność ma znaczenie.
• Z powtórzeniami: $\overline{V}_n^k = n^k$ ($k$ etapów, w każdym $n$ możliwości).
• Bez powtórzeń: $V_n^k = n(n-1)\ldots(n-k+1) = \tfrac{n!}{(n-k)!}$, możliwe tylko dla $k \le n$.
• Oba wzory wynikają wprost z reguły mnożenia; gdy zadanie ma dodatkowe ograniczenia (zero na początku), liczymy regułą mnożenia miejsce po miejscu.
• Wariacja bez powtórzeń z $k = n$ to permutacja: $n!$.

Zobacz też

• Permutacje - następna lekcja: ustawianie wszystkich elementów, silnia i permutacje z powtórzeniami.
• Reguła mnożenia i reguła dodawania - skąd biorą się wzory na wariacje.
• Kombinatoryka - permutacje, wariacje, kombinacje - zestawienie wzorów.