Pole prostokąta, kwadratu, równoległoboku i rombu - wzory z sinusem i przekątnymi

Klasa 3 liceum i technikum

Pole równoległoboku to iloczyn boku i wysokości opuszczonej na ten bok, $P = a \cdot h_a$, albo - gdy znamy dwa boki i kąt między nimi - iloczyn boków i sinusa tego kąta, $P = ab \sin\alpha$. Prostokąt, kwadrat i romb to szczególne równoległoboki, więc ich wzory wynikają z tych dwóch: w prostokącie $\sin 90^\circ = 1$, a w rombie oba boki są równe.

Skąd biorą się same wzory $a \cdot b$, $a \cdot h$ i $\frac{ef}{2}$ (rozcinanie i przekładanie kawałków), pokazuje lekcja pole figury płaskiej. Tutaj zajmujemy się tym, co dzieje się w zadaniach: z jakich danych liczyć pole i jak z pola odzyskać boki, kąty i przekątne.

Wzór z sinusem kąta

Wysokość równoległoboku opuszczona na bok $a$ jest przyprostokątną trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej $b$ i kącie $\alpha$ naprzeciw niej, więc $h_a = b \sin\alpha$. Stąd

$P = a \cdot h_a = a \cdot b \cdot \sin\alpha.$

Kąty sąsiednie równoległoboku dają w sumie $180^\circ$, a $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$, więc nie ma znaczenia, czy weźmiemy kąt ostry, czy rozwarty. Ten sam wzór daje pole trójkąta $\frac{1}{2} ab \sin\gamma$ - równoległobok to dwa takie trójkąty (zob. pole trójkąta).

Przykład 1. Równoległobok ma boki $10$ i $7$, a jeden z jego kątów ma miarę $150^\circ$. Oblicz pole i obie wysokości.

Krok 1. Pole. $P = 10 \cdot 7 \cdot \sin 150^\circ = 70 \cdot \frac{1}{2} = 35$.

Krok 2. Wysokości. Z $P = a \cdot h_a$: $h_{10} = \frac{35}{10} = 3{,}5$ oraz $h_7 = \frac{35}{7} = 5$.

Odpowiedź. $P = 35$, wysokości $3{,}5$ (na bok $10$) i $5$ (na bok $7$). Dłuższa wysokość leży zawsze na krótszym boku.

Romb - trzy wzory na to samo pole

Romb jest równoległobokiem o równych bokach, więc $P = a \cdot h = a^2 \sin\alpha$. Jego przekątne są prostopadłe, więc dzielą go na cztery przystające trójkąty prostokątne o przyprostokątnych $\frac{e}{2}$ i $\frac{f}{2}$ - stąd $P = \frac{ef}{2}$. W zadaniu wybieramy ten wzór, który pasuje do danych.

Przykład 2. Romb ma wysokość $6$ i kąt ostry $30^\circ$. Oblicz jego bok i pole.

Krok 1. Bok. Wysokość $DH$ jest przyprostokątną trójkąta $AHD$ leżącą naprzeciw kąta $30^\circ$, a bok $a = |AD|$ - przeciwprostokątną:

$\sin 30^\circ = \frac{h}{a} \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{6}{1/2} = 12.$

Krok 2. Pole. $P = a \cdot h = 12 \cdot 6 = 72$. Sprawdzenie drugim wzorem: $a^2 \sin 30^\circ = 144 \cdot \frac{1}{2} = 72$.

Odpowiedź. Bok $12$, pole $72$.

Pułapka. Uczniowie często mnożą wysokość przez nieznany bok „na oko” albo podstawiają $\sin 30^\circ$ w złym miejscu ($a = 6 \cdot \sin 30^\circ = 3$). Rysunek rozstrzyga: przeciwprostokątna (bok rombu) jest dłuższa od przyprostokątnej (wysokości), więc $a > 6$.

Wzór z przekątnymi i kątem między nimi

Przekątne dowolnego czworokąta wypukłego dzielą go na cztery trójkąty. Jeśli przekątne mają długości $d_1$, $d_2$ i przecinają się pod kątem $\varphi$, to suma pól tych trójkątów (każde liczone wzorem $\frac{1}{2} xy \sin\varphi$, bo kąty przy punkcie przecięcia to $\varphi$ albo $180^\circ - \varphi$) daje

$P = \frac{1}{2}\, d_1 d_2 \sin\varphi.$

Dla rombu $\varphi = 90^\circ$ i wzór przechodzi w $\frac{ef}{2}$. W prostokącie obie przekątne mają długość $d$, więc $P = \frac{1}{2} d^2 \sin\varphi$, a w kwadracie dodatkowo $\varphi = 90^\circ$: $P = \frac{d^2}{2}$.

Przykład 3. Przekątne prostokąta mają długość $10$ i przecinają się pod kątem $30^\circ$. Oblicz pole prostokąta.

$P = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 \cdot \sin 30^\circ = 50 \cdot \frac{1}{2} = 25.$

Odpowiedź. $P = 25$. Wzór działa bez wyznaczania boków (które tu wynoszą $10 \sin 15^\circ$ i $10 \cos 15^\circ$ - liczby niewygodne).

Przykład 4. Kwadrat ma przekątną $6$. Oblicz jego pole i bok.

$P = \frac{d^2}{2} = \frac{36}{2} = 18, \qquad a = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}.$

Sprawdzenie: przekątna kwadratu o boku $a$ to $a\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 6$.

Przykład 5. Przekątne czworokąta wypukłego mają długości $12$ i $8$ i przecinają się pod kątem $60^\circ$. Oblicz jego pole.

$P = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 \cdot \sin 60^\circ = 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}.$

Odpowiedź. $24\sqrt{3} \approx 41{,}6$ - niezależnie od tego, czy czworokąt jest równoległobokiem, trapezem czy deltoidem.

Boki prostokąta z pola i obwodu

Gdy znamy pole $P$ i obwód $L$ prostokąta, jego boki są rozwiązaniami układu $a + b = \frac{L}{2}$, $ab = P$, czyli - ze wzorów Viète’a - pierwiastkami równania

$t^2 - \frac{L}{2}\, t + P = 0.$

Przykład 6. Prostokąt ma obwód $30$ i pole $54$. Oblicz długości jego boków.

Krok 1. Równanie. $a + b = 15$, $ab = 54$, więc $a$ i $b$ spełniają $t^2 - 15t + 54 = 0$.

Krok 2. Rozwiązanie. $\Delta = 225 - 216 = 9$, $t = \frac{15 \pm 3}{2}$, czyli $t = 9$ lub $t = 6$.

Odpowiedź. Boki mają długości $6$ i $9$. Sprawdzenie: $2(6 + 9) = 30$, $6 \cdot 9 = 54$.

Przykład 7. Ze sznurka długości $28$ m chcemy wyznaczyć prostokątną zagrodę o jak największym polu. Jakie powinna mieć wymiary?

Krok 1. Funkcja pola. Jeśli jeden bok ma $x$, to drugi ma $14 - x$, a pole $P(x) = x(14 - x) = -x^2 + 14x$ dla $x \in (0, 14)$.

Krok 2. Wierzchołek paraboli. Ramiona skierowane w dół, więc maksimum jest w wierzchołku $x = \frac{-14}{2 \cdot (-1)} = 7$, a $P(7) = 49$.

Odpowiedź. Kwadrat $7 \times 7$ m o polu $49$ m². Spośród prostokątów o danym obwodzie największe pole ma zawsze kwadrat - to ta sama metoda co w lekcji o wartości największej funkcji kwadratowej.

Przykład 8. Boki prostokąta są w stosunku $3 : 4$, a jego przekątna ma długość $20$. Oblicz pole.

Krok 1. Boki. Niech boki mają $3x$ i $4x$. Z twierdzenia Pitagorasa $9x^2 + 16x^2 = 400$, więc $25x^2 = 400$ i $x = 4$. Boki: $12$ i $16$.

Krok 2. Pole. $P = 12 \cdot 16 = 192$.

Odpowiedź. $P = 192$.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć pole równoległoboku, gdy nie znam wysokości? Gdy znasz dwa boki i kąt między nimi, użyj wzoru $P = ab \sin\alpha$. Gdy znasz przekątne i kąt między nimi, użyj $P = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\varphi$.

Jak obliczyć pole rombu, znając bok i kąt?$P = a^2 \sin\alpha$. Na przykład romb o boku $8$ i kącie $30^\circ$ ma pole $64 \cdot \frac{1}{2} = 32$.

Jak obliczyć pole kwadratu z przekątnej?$P = \frac{d^2}{2}$. Kwadrat o przekątnej $6$ ma pole $18$ - nie trzeba najpierw liczyć boku.

Czy pole rombu to połowa iloczynu przekątnych? Tak, $P = \frac{ef}{2}$, bo przekątne rombu są prostopadłe. Ten sam wzór działa dla każdego czworokąta o prostopadłych przekątnych (np. deltoidu i kwadratu).

Który prostokąt o danym obwodzie ma największe pole? Kwadrat. Przy obwodzie $L$ jego bok to $\frac{L}{4}$, a pole $\frac{L^2}{16}$.

Czy można obliczyć pole prostokąta, znając tylko przekątną? Nie - prostokątów o tej samej przekątnej jest nieskończenie wiele i mają różne pola (od prawie zera do $\frac{d^2}{2}$ dla kwadratu). Potrzebna jest jeszcze jedna dana: bok, kąt między przekątnymi albo stosunek boków.

Przećwicz

• Pola czworokątów → - działki, płytki, romb z obwodu i kąta, czworokąt z prostopadłymi przekątnymi, boki z pola i obwodu.
• Równoległobok i romb → - pole ze wzoru $ab \sin\alpha$, wysokości, romb z przekątnych.
• Prostokąt i kwadrat → - przekątne, kąty i obwody.

Podsumowanie

• Równoległobok: $P = a h_a = ab \sin\alpha$; kąt ostry i rozwarty dają ten sam sinus.
• Romb: $P = ah = a^2 \sin\alpha = \frac{ef}{2}$; prostokąt: $ab$; kwadrat: $a^2 = \frac{d^2}{2}$.
• Każdy czworokąt wypukły: $P = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\varphi$.
• Boki prostokąta z pola i obwodu to pierwiastki $t^2 - \frac{L}{2}t + P = 0$.
• Przy danym obwodzie największe pole ma kwadrat.