Pochodna a monotoniczność - jak wyznaczyć przedziały monotoniczności

Klasa 3 liceum i technikum

Przedziały monotoniczności funkcji różniczkowalnej wyznacza znak jej pochodnej: tam, gdzie pochodna jest dodatnia, funkcja rośnie, a tam, gdzie jest ujemna - maleje. Wystarczy więc rozwiązać nierówności $f'(x) > 0$ i $f'(x) < 0$ w dziedzinie funkcji, pamiętając, że twierdzenie dotyczy przedziałów, a nie dowolnych zbiorów.

To kolejna lekcja rozdziału elementy analizy matematycznej. W poprzedniej lekcji, o stycznej do wykresu funkcji, pochodna była nachyleniem stycznej w jednym punkcie. Teraz patrzymy na jej znak na całym przedziale. Definicję funkcji rosnącej i malejącej (przez porównywanie argumentów) znasz z lekcji monotoniczność funkcji - pochodna daje dużo szybszy sposób jej sprawdzania.

Dlaczego znak pochodnej mówi o monotoniczności

Pochodna $f'(x)$ to współczynnik kierunkowy stycznej. Jeśli w każdym punkcie przedziału styczna „idzie w górę” (ma dodatni współczynnik), to cały wykres na tym przedziale wznosi się - funkcja rośnie. Jeśli wszystkie styczne opadają - funkcja maleje.

Ścisłe uzasadnienie daje twierdzenie Lagrange’a o wartości średniej (w szkole tylko informacyjnie): dla $x_1 < x_2$ z przedziału istnieje punkt $c$ między nimi, w którym

$f(x_2) - f(x_1) = f'(c) \cdot (x_2 - x_1).$

Gdy $f' > 0$ w całym przedziale, prawa strona jest dodatnia, więc $f(x_2) > f(x_1)$ - dokładnie to jest definicja funkcji rosnącej.

Schemat wyznaczania przedziałów monotoniczności

1. Dziedzina funkcji - punkty spoza dziedziny dzielą prostą na osobne przedziały.
2. Pochodna $f'(x)$, najlepiej w postaci iloczynowej (rozłożona na czynniki).
3. Miejsca zerowe pochodnej i punkty, w których pochodna nie istnieje.
4. Znak pochodnej między tymi punktami - w tabeli albo ze szkicu wykresu pochodnej.
5. Wniosek: przedziały, na których $f' > 0$ (funkcja rośnie) i $f' < 0$ (funkcja maleje). Każdy przedział podajemy osobno.

Na końcach przedziałów monotoniczności - w punktach, gdzie $f'(x) = 0$ - stawiamy nawiasy domknięte, bo funkcja jest tam ciągła i monotoniczność obejmuje też ten punkt. Punkty spoza dziedziny zawsze zostają z nawiasem otwartym.

Wielomiany - przykłady

Przykład 1. Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji $f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x + 2$.

Krok 1. Dziedzina. Wielomian jest określony na całym $\mathbb{R}$.

Krok 2. Pochodna w postaci iloczynowej.

$f'(x) = -3x^2 + 12x - 9 = -3(x^2 - 4x + 3) = -3(x - 1)(x - 3).$

Krok 3. Miejsca zerowe pochodnej. $x = 1$ oraz $x = 3$.

Krok 4. Znak pochodnej. Pochodna to parabola o ujemnym współczynniku przy $x^2$, więc jest ujemna na zewnątrz przedziału $(1;\ 3)$ i dodatnia w jego środku.

Odpowiedź. Funkcja maleje w $(-\infty;\ 1\rangle$ i w $\langle 3;\ +\infty)$, rośnie w $\langle 1;\ 3\rangle$.

Przykład 2 (pierwiastek podwójny pochodnej). Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji $f(x) = x^4 - 4x^3$.

Krok 1. Pochodna.

$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3).$

Krok 2. Miejsca zerowe. $x = 0$ (pierwiastek podwójny) oraz $x = 3$.

Krok 3. Znak. Czynnik $4x^2$ jest nieujemny, więc znak pochodnej zależy tylko od $(x - 3)$: ujemny dla $x < 3$ (poza zerem), dodatni dla $x > 3$. Przy $x = 0$ pochodna nie zmienia znaku.

Odpowiedź. Funkcja maleje w $(-\infty;\ 3\rangle$ (w jednym kawałku - zero pochodnej w punkcie $0$ tego nie psuje) i rośnie w $\langle 3;\ +\infty)$.

Pochodna równa zero, a funkcja dalej rośnie

Najprostszy przykład to $f(x) = x^3$. Pochodna $f'(x) = 3x^2$ jest dodatnia wszędzie poza zerem, a w zerze jest równa $0$. Mimo to $x^3$ jest rosnąca na całym $\mathbb{R}$: dla $x_1 < x_2$ zawsze $x_1^3 < x_2^3$. W punkcie $(0, 0)$ wykres ma tylko poziomą styczną.

Stąd dwa ważne wnioski:

• twierdzenie „$f' > 0 \Rightarrow$ rośnie” działa tylko w jedną stronę: funkcja rosnąca może mieć pochodną równą zero w pojedynczych punktach;
• miejsce zerowe pochodnej to jeszcze nie zmiana monotoniczności - trzeba sprawdzić, czy pochodna zmienia znak (pełny przykład: zadanie z funkcją $x^3 + 3x^2 + 3x - 5$).

Funkcja wymierna - uwaga na dziedzinę

Przykład 3. Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji $f(x) = \dfrac{1}{x^2 - 1}$.

Krok 1. Dziedzina. $x^2 - 1 \neq 0$, więc $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$.

Krok 2. Pochodna. Ze wzoru na pochodną ilorazu (licznik to stała, jego pochodna to $0$):

$f'(x) = \frac{0 \cdot (x^2 - 1) - 1 \cdot 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-2x}{(x^2 - 1)^2}.$

Krok 3. Znak. Mianownik jest dodatni w całej dziedzinie, więc znak pochodnej to znak $-2x$: dodatni dla $x < 0$, ujemny dla $x > 0$. Punkty $-1$ i $1$ wpisujemy do tabeli, bo tam funkcja nie istnieje.

Odpowiedź. Funkcja rośnie w $(-\infty;\ -1)$ i w $(-1;\ 0\rangle$, maleje w $\langle 0;\ 1)$ i w $(1;\ +\infty)$.

Dlaczego nie wolno pisać sumy przedziałów

Weźmy funkcję homograficzną $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$, $D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}$. Jej pochodna:

$f'(x) = \frac{2(x - 1) - (2x + 1)}{(x - 1)^2} = \frac{-3}{(x - 1)^2} < 0.$

Pochodna jest ujemna w całej dziedzinie, ale dziedzina nie jest przedziałem. Twierdzenie mówi tylko, że funkcja maleje w $(-\infty;\ 1)$ oraz w $(1;\ +\infty)$ - osobno. Zapis „maleje w $(-\infty;\ 1) \cup (1;\ +\infty)$” jest błędny: $0 < 2$, a mimo to $f(0) = -1 < f(2) = 5$.

Ta sama ostrożność dotyczy każdej funkcji, której dziedzina ma „dziury” - o wykresie funkcji homograficznej więcej w lekcji o funkcji homograficznej.

Funkcja z pierwiastkiem - końce przedziałów

Przykład 4. Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji $f(x) = x - 2\sqrt{x}$.

Krok 1. Dziedzina. $D_f = \langle 0;\ +\infty)$.

Krok 2. Pochodna (dla $x > 0$, bo $\sqrt{x}$ nie ma pochodnej w zerze):

$f'(x) = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = 1 - \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}.$

Krok 3. Znak. Mianownik jest dodatni, więc $f'(x) < 0$ dla $0 < x < 1$ i $f'(x) > 0$ dla $x > 1$.

Krok 4. Końce. Funkcja jest ciągła w zerze, więc monotoniczność obejmuje też punkt $x = 0$: $f(0) = 0 > f(1) = -1$.

Odpowiedź. Funkcja maleje w $\langle 0;\ 1\rangle$ i rośnie w $\langle 1;\ +\infty)$.

Parametr: dla jakich m funkcja jest rosnąca w ℝ

Wielomian trzeciego stopnia z dodatnim współczynnikiem przy $x^3$ jest rosnący w $\mathbb{R}$ dokładnie wtedy, gdy jego pochodna (funkcja kwadratowa) jest nieujemna dla każdego $x$, czyli gdy wyróżnik pochodnej spełnia $\Delta \leq 0$.

Przykład 5. Dla jakich wartości parametru $m$ funkcja $f(x) = x^3 + mx^2 + 3x - 1$ jest rosnąca w $\mathbb{R}$?

Krok 1. Pochodna. $f'(x) = 3x^2 + 2mx + 3$ - parabola o ramionach skierowanych w górę.

Krok 2. Warunek. Funkcja jest rosnąca w $\mathbb{R}$, gdy $f'(x) \geq 0$ dla każdego $x$ i zeruje się co najwyżej w jednym punkcie. Dla paraboli o ramionach w górę oznacza to $\Delta \leq 0$.

Krok 3. Wyróżnik.

$\Delta = (2m)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 4m^2 - 36,$

$4m^2 - 36 \leq 0 \iff m^2 \leq 9 \iff m \in \langle -3;\ 3\rangle.$

Krok 4. Brzegi. Dla $m = 3$ pochodna to $3x^2 + 6x + 3 = 3(x + 1)^2$ - zeruje się tylko w $x = -1$, więc funkcja nadal jest rosnąca. Tak samo dla $m = -3$: $3(x - 1)^2$. Dlatego brzegi należą do odpowiedzi. Dla $|m| > 3$ pochodna jest ujemna między swoimi pierwiastkami i funkcja tam maleje.

Odpowiedź. $m \in \langle -3;\ 3\rangle$.

Zastosowanie: ile rozwiązań ma równanie

Funkcja rosnąca (albo malejąca) w przedziale przyjmuje każdą wartość co najwyżej raz. To daje prosty sposób na wykazanie, że równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Przykład 6. Wykaż, że równanie $x^3 + x - 3 = 0$ ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.

Krok 1. Monotoniczność. Dla $f(x) = x^3 + x - 3$ mamy $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$, więc $f$ jest rosnąca w $\mathbb{R}$ i ma co najwyżej jedno miejsce zerowe.

Krok 2. Istnienie. $f(1) = -1 < 0$, $f(2) = 7 > 0$, a $f$ jest ciągła - z własności Darboux ma miejsce zerowe w przedziale $(1;\ 2)$.

Odpowiedź. Rozwiązanie istnieje (krok 2) i jest jedyne (krok 1). Leży między $1$ a $2$ (w przybliżeniu $1{,}213$).

Typowe błędy

• Suma przedziałów zamiast osobnych przedziałów. Funkcja $\frac{2x + 1}{x - 1}$ maleje w $(-\infty;\ 1)$ i w $(1;\ +\infty)$, ale nie w ich sumie.
• Pominięcie dziedziny. Punkty wyłączone z dziedziny muszą trafić do tabeli znaków, nawet jeśli pochodna się w nich nie zeruje.
• Zgubiony znak współczynnika. W przykładzie 1 pochodna $-3(x - 1)(x - 3)$ jest ujemna „na zewnątrz” pierwiastków, a nie dodatnia - minus przed nawiasem odwraca cały schemat.
• Zmiana monotoniczności w każdym zerze pochodnej. Przy pierwiastku podwójnym (jak $4x^2$ w przykładzie 2) pochodna nie zmienia znaku i funkcja nie zmienia monotoniczności.
• Badanie znaku funkcji zamiast znaku pochodnej. O monotoniczności mówi znak $f'(x)$, a nie znak $f(x)$ - funkcja może rosnąć, mając wartości ujemne.

Najczęstsze pytania

Jak wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji? Wyznacz dziedzinę i pochodną, rozłóż pochodną na czynniki i ustal jej znak w tabeli. Funkcja rośnie tam, gdzie $f'(x) > 0$, i maleje tam, gdzie $f'(x) < 0$. Każdy przedział podaj osobno.

Jak sprawdzić, czy funkcja jest rosnąca? Policz pochodną. Jeśli $f'(x) > 0$ w całym przedziale (albo $f'(x) \geq 0$ i zeruje się tylko w pojedynczych punktach), funkcja jest w nim rosnąca. Na przykład $x^3 + x - 3$ ma pochodną $3x^2 + 1 > 0$, więc rośnie w $\mathbb{R}$.

Co oznacza dodatnia pochodna? Że w danym punkcie styczna do wykresu ma dodatni współczynnik kierunkowy, czyli wykres „idzie w górę”. Pochodna dodatnia w całym przedziale oznacza, że funkcja jest w nim rosnąca.

Czy przedziały monotoniczności są otwarte czy domknięte? W punktach, w których funkcja jest określona i ciągła (np. tam, gdzie $f'(x) = 0$), można stawiać nawias domknięty - oba zapisy są poprawne, a domknięty mówi więcej. Punkty spoza dziedziny zawsze mają nawias otwarty.

Dlaczego nie można napisać, że funkcja maleje w sumie przedziałów? Bo funkcja malejąca w każdym z dwóch rozłącznych przedziałów nie musi maleć w ich sumie. Dla $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1}$ jest $0 < 2$, a $f(0) = -1 < f(2) = 5$.

Dla jakich m funkcja jest rosnąca w ℝ? Dla wielomianu trzeciego stopnia z dodatnim współczynnikiem przy $x^3$ - wtedy, gdy wyróżnik pochodnej spełnia $\Delta \leq 0$. Na przykład $x^3 + mx^2 + 3x - 1$ rośnie w $\mathbb{R}$ dla $m \in \langle -3;\ 3\rangle$.

Czy funkcja rosnąca może mieć pochodną równą zero? Tak, w pojedynczych punktach. Funkcja $x^3$ jest rosnąca w $\mathbb{R}$, choć $f'(0) = 0$.

Czy jeśli pochodna jest równa zero, to funkcja ma ekstremum? Nie zawsze. Ekstremum wymaga zmiany znaku pochodnej - o tym w lekcji o ekstremach lokalnych.

Przećwicz

• Monotoniczność i ekstrema - zadania → - 12 zadań: przedziały monotoniczności wielomianów i funkcji wymiernych z tabelą znaków, funkcja z mianownikiem zmieniającym znak, parametr, dla którego funkcja jest monotoniczna w $\mathbb{R}$, dowód monotoniczności i liczba rozwiązań równania, ekstrema lokalne i wartości w przedziale.
• Cały zestaw: granica i pochodna funkcji - zadania →

Podsumowanie

• $f' > 0$ w przedziale ⇒ $f$ rośnie, $f' < 0$ ⇒ $f$ maleje, $f' = 0$ ⇒ $f$ stała.
• Pochodna równa zero w pojedynczych punktach nie psuje monotoniczności ($x^3$ jest rosnąca).
• Schemat: dziedzina → pochodna w postaci iloczynowej → miejsca zerowe → tabela znaków → wniosek.
• Przedziały monotoniczności podajemy osobno; punkty spoza dziedziny rozdzielają je i mają nawiasy otwarte.
• Wielomian trzeciego stopnia z dodatnim współczynnikiem przy $x^3$ rośnie w $\mathbb{R}$, gdy wyróżnik pochodnej spełnia $\Delta \leq 0$.

Zobacz też

• Styczna do wykresu funkcji - poprzednia lekcja: równanie stycznej i jej nachylenie.
• Ekstrema lokalne funkcji - następna lekcja: maksimum i minimum lokalne za pomocą pochodnej.
• Monotoniczność funkcji - definicja funkcji rosnącej i malejącej bez pochodnej.
• Pochodna funkcji - definicja, styczna, ekstrema i monotoniczność - zwięzłe zestawienie wzorów.
• Nierówności wielomianowe - jak ustalić znak wielomianu rozłożonego na czynniki.