Ciąg liczbowy - wzór ogólny, wzór rekurencyjny i wykres

Klasa 3 liceum i technikum

Ciąg liczbowy to funkcja, która każdej liczbie naturalnej dodatniej $n$ przyporządkowuje liczbę rzeczywistą $a_n$, nazywaną $n$-tym wyrazem ciągu. Ciąg zapisujemy jako $(a_n)$ albo wypisując kolejne wyrazy: $a_1, a_2, a_3, \dots$ Przykładowo ciąg kolejnych liczb nieparzystych $1, 3, 5, 7, \dots$ ma wzór ogólny $a_n = 2n - 1$.

Ta lekcja otwiera rozdział ciągi. Ciąg jest szczególnym przypadkiem funkcji: jej argumentami są numery $1, 2, 3, \dots$, a wartościami - wyrazy. Dlatego wszystko, co wiesz o wzorze i wykresie funkcji, przyda się tutaj, z jedną różnicą: argument nie może być ułamkiem ani liczbą ujemną.

Ciąg jako funkcja - co to znaczy

Wyobraź sobie ponumerowaną listę liczb. Numer miejsca to $n$, liczba stojąca na tym miejscu to $a_n$. Dla ciągu $3, 5, 7, 9, \dots$:

• na miejscu pierwszym stoi $a_1 = 3$,
• na miejscu drugim $a_2 = 5$,
• na miejscu czwartym $a_4 = 9$.

Formalnie: ciąg to funkcja $a\colon \mathbb{N}_+ \to \mathbb{R}$, a zamiast $a(n)$ piszemy krócej $a_n$. Zapis $a_n$ czytamy „a en” albo „en-ty wyraz ciągu a”.

Ciąg nieskończony ma wyraz dla każdej liczby naturalnej dodatniej (lista się nie kończy). Ciąg skończony jest określony tylko dla $n = 1, 2, \dots, k$ - na przykład ciąg dzielników liczby $12$ ułożonych rosnąco, $1, 2, 3, 4, 6, 12$, ma sześć wyrazów. W tym rozdziale, jeśli nie napisano inaczej, ciągi są nieskończone.

Wzór ogólny ciągu

Wzór ogólny (wzór na $n$-ty wyraz) pozwala obliczyć dowolny wyraz od razu, bez liczenia poprzednich. Wystarczy podstawić numer za $n$.

Przykład 1. Oblicz trzy pierwsze wyrazy i wyraz dziesiąty ciągu $a_n = 2n + 1$.

$a_1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3, \quad a_2 = 2 \cdot 2 + 1 = 5, \quad a_3 = 2 \cdot 3 + 1 = 7$

$a_{10} = 2 \cdot 10 + 1 = 21$

Odpowiedź. $a_1 = 3$, $a_2 = 5$, $a_3 = 7$, $a_{10} = 21$.

Przykład 2. Wypisz pięć pierwszych wyrazów ciągu $a_n = n^2 - 3n$.

$a_1 = 1 - 3 = -2, \quad a_2 = 4 - 6 = -2, \quad a_3 = 9 - 9 = 0, \quad a_4 = 16 - 12 = 4, \quad a_5 = 25 - 15 = 10$

Odpowiedź. $-2,\ -2,\ 0,\ 4,\ 10$. Wyrazy mogą się powtarzać - to nie jest błąd.

Przykład 3 (znak zmienia się co wyraz). Oblicz cztery pierwsze wyrazy ciągu $a_n = \dfrac{(-1)^n}{n}$.

Czynnik $(-1)^n$ jest równy $-1$ dla $n$ nieparzystych i $1$ dla $n$ parzystych, więc

$a_1 = -1, \quad a_2 = \frac{1}{2}, \quad a_3 = -\frac{1}{3}, \quad a_4 = \frac{1}{4}$

Odpowiedź. Wyrazy na przemian ujemne i dodatnie, coraz bliższe zeru.

Wyraz $a_{n+1}$, $a_{2n}$ i podobne

W zadaniach często trzeba zapisać wyraz o numerze $n + 1$ albo $2n$. Zasada jest ta sama co przy funkcjach: w miejsce każdego $n$ wstawiamy całe wyrażenie w nawiasie.

Przykład 4. Dla $a_n = n^2 + 1$ wyznacz $a_{n+1}$.

$a_{n+1} = (n + 1)^2 + 1 = n^2 + 2n + 1 + 1 = n^2 + 2n + 2$

Częsty błąd to zapis $a_{n+1} = n^2 + 1 + 1$ - dodaje się jedynkę do wyrazu, zamiast do numeru. Kontrola dla $n = 1$: $a_2 = 2^2 + 1 = 5$, a wzór daje $1 + 2 + 2 = 5$. Zgadza się.

Wzór ogólny z kilku pierwszych wyrazów

Gdy znamy kilka początkowych wyrazów, możemy szukać wzoru, który do nich pasuje. Pomaga porównanie wyrazu z numerem:

• $3, 7, 11, 15, \dots$ - każdy kolejny jest o $4$ większy, więc $a_n = 4n + \text{coś}$; dla $n = 1$ ma wyjść $3$, stąd $a_n = 4n - 1$;
• $1, 4, 9, 16, \dots$ - to kwadraty numerów: $a_n = n^2$;
• $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \dots$ - licznik to numer, mianownik o $1$ większy: $a_n = \frac{n}{n + 1}$.

Uwaga: kilka wyrazów nie wyznacza ciągu jednoznacznie - zawsze da się dobrać inny wzór, który daje te same początkowe wyrazy, a dalej się rozjeżdża. Taki zgadnięty wzór to hipoteza; w zadaniu z poleceniem „wykaż” trzeba go uzasadnić (na przykład indukcją matematyczną).

Wzór rekurencyjny ciągu

Wzór rekurencyjny podaje pierwszy wyraz (albo kilka pierwszych) oraz regułę, jak z wyrazu poprzedniego otrzymać następny. Wyrazy liczymy wtedy po kolei, jeden po drugim.

Przykład 5. Ciąg jest określony wzorem $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 3a_n - 1$. Oblicz $a_4$.

$a_2 = 3 \cdot 2 - 1 = 5, \quad a_3 = 3 \cdot 5 - 1 = 14, \quad a_4 = 3 \cdot 14 - 1 = 41$

Odpowiedź. $a_4 = 41$. Żeby dostać $a_4$, musieliśmy policzyć wszystkie wcześniejsze wyrazy - to główna wada wzoru rekurencyjnego.

Przykład 6 (ciąg Fibonacciego). $a_1 = 1$, $a_2 = 1$, $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$ - każdy wyraz to suma dwóch poprzednich:

$1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ \dots$

Tu reguła potrzebuje dwóch poprzednich wyrazów, dlatego na starcie podajemy dwa.

Oba wzory w tabeli opisują ten sam ciąg $3, 5, 7, 9, \dots$

Wykres ciągu

Wykres ciągu to zbiór punktów $(n, a_n)$ w układzie współrzędnych. Ponieważ $n$ przyjmuje tylko wartości $1, 2, 3, \dots$, wykres składa się z oddzielnych punktów - nie łączymy ich linią.

Przykład 7. Narysuj wykres ciągu $a_n = n^2 - 6n + 7$ dla $n = 1, 2, \dots, 6$.

$a_1 = 2, \quad a_2 = -1, \quad a_3 = -2, \quad a_4 = -1, \quad a_5 = 2, \quad a_6 = 7$

Punkty leżą na paraboli $y = x^2 - 6x + 7$, ale ciąg „widzi” ją tylko w punktach o całkowitych odciętych. Najmniejszy wyraz to $a_3 = -2$, bo wierzchołek paraboli wypada akurat w $x = 3$.

Które wyrazy spełniają warunek

Typowe pytania: „który wyraz jest równy…”, „ile wyrazów jest ujemnych”, „czy liczba … jest wyrazem ciągu”. Rozwiązujemy wtedy równanie albo nierówność z niewiadomą $n$ - i na końcu zostawiamy tylko liczby naturalne dodatnie.

Przykład 8. Który wyraz ciągu $a_n = n^2 - 3n$ jest równy $10$?

$n^2 - 3n = 10 \iff n^2 - 3n - 10 = 0 \iff (n - 5)(n + 2) = 0$

Rozwiązania $n = 5$ i $n = -2$. Numer wyrazu nie może być ujemny, więc zostaje $n = 5$.

Odpowiedź. $a_5 = 10$ (sprawdzenie: $25 - 15 = 10$).

Przykład 9. Ile wyrazów ciągu $a_n = n^2 - 8n + 7$ jest ujemnych?

$n^2 - 8n + 7 < 0 \iff (n - 1)(n - 7) < 0 \iff n \in (1, 7)$

Liczby naturalne z przedziału $(1, 7)$ to $2, 3, 4, 5, 6$.

Odpowiedź. Pięć wyrazów: $a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$. Wyrazy $a_1$ i $a_7$ są równe zeru, a nie ujemne - końce przedziału odpadają.

Przykład 10. Czy liczba $50$ jest wyrazem ciągu $a_n = 4n - 1$?

$4n - 1 = 50 \iff n = \frac{51}{4}$ - to nie jest liczba naturalna.

Odpowiedź. Nie, $50$ nie jest wyrazem tego ciągu (wyrazy to liczby dające resztę $3$ z dzielenia przez $4$).

Typowe błędy

• Łączenie punktów wykresu linią. Wykres ciągu to punkty; linia sugerowałaby wyrazy dla $n = 1{,}5$, których nie ma.
• Zostawienie ujemnego albo ułamkowego $n$ po rozwiązaniu równania. Numer wyrazu to zawsze liczba naturalna dodatnia.
• $a_{n+1}$ jako $a_n + 1$. Dla $a_n = n^2$ mamy $a_{n+1} = (n + 1)^2 = n^2 + 2n + 1$, a nie $n^2 + 1$.
• Liczenie wyrazu rekurencyjnego „na skróty” bez wyrazów pośrednich - wzór rekurencyjny zawsze liczymy po kolei.

Najczęstsze pytania

Co to jest ciąg liczbowy? To funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych dodatnich: każdemu numerowi $n = 1, 2, 3, \dots$ przyporządkowuje liczbę $a_n$, czyli $n$-ty wyraz ciągu. Na przykład $a_n = 2n - 1$ to ciąg liczb nieparzystych $1, 3, 5, \dots$

Jak obliczyć wyraz ciągu ze wzoru ogólnego? Podstaw numer wyrazu za $n$. Dla $a_n = 2n + 1$ wyraz dziesiąty to $a_{10} = 2 \cdot 10 + 1 = 21$.

Co to jest wzór rekurencyjny ciągu? To opis ciągu przez pierwszy wyraz (lub kilka pierwszych) i regułę obliczania kolejnego wyrazu z poprzednich, np. $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 3a_n - 1$. Wyrazy liczy się po kolei: $2, 5, 14, 41, \dots$

Czym różni się wzór ogólny od wzoru rekurencyjnego? Wzór ogólny daje dowolny wyraz od razu z numeru. Wzór rekurencyjny wymaga policzenia wszystkich wcześniejszych wyrazów, za to dobrze opisuje procesy przebiegające krok po kroku.

Jak wygląda wykres ciągu? To zbiór oddzielnych punktów $(n, a_n)$ dla $n = 1, 2, 3, \dots$ Punktów nie łączy się linią, bo między kolejnymi numerami nie ma innych wyrazów.

Jak sprawdzić, czy liczba jest wyrazem ciągu? Przyrównaj wzór ogólny do tej liczby i rozwiąż równanie z niewiadomą $n$. Liczba jest wyrazem ciągu tylko wtedy, gdy wyjdzie liczba naturalna dodatnia.

Jak obliczyć, ile wyrazów ciągu jest ujemnych? Rozwiąż nierówność $a_n < 0$ i policz liczby naturalne dodatnie w zbiorze rozwiązań. Dla $a_n = n^2 - 8n + 7$ wychodzi przedział $(1, 7)$, czyli pięć wyrazów.

Co to jest ciąg skończony? Ciąg określony tylko dla numerów $1, 2, \dots, k$, czyli mający $k$ wyrazów - na przykład ciąg dzielników liczby $12$: $1, 2, 3, 4, 6, 12$.

Przećwicz

• Wyrazy ciągu - zadania → - 7 zadań: wyrazy ze wzoru ogólnego, który wyraz ma daną wartość, ile wyrazów jest ujemnych albo całkowitych, $a_{n+1}$ i $a_{2n}$, ciągi rekurencyjne i ciąg okresowy.
• Cały zestaw: ciągi - zadania →

Podsumowanie

• Ciąg liczbowy to funkcja $n \mapsto a_n$ określona na $\mathbb{N}_+$; $a_n$ to $n$-ty wyraz.
• Wzór ogólny daje wyraz od razu z numeru; wzór rekurencyjny - z wyrazów poprzednich.
• Wyraz $a_{n+1}$ otrzymujemy, wstawiając $(n + 1)$ w miejsce każdego $n$.
• Wykres ciągu to oddzielne punkty $(n, a_n)$.
• Przy pytaniach „który wyraz”, „ile wyrazów” rozwiązujemy równanie lub nierówność i zostawiamy tylko naturalne dodatnie $n$.

Zobacz też

• Monotoniczność ciągu - następna lekcja: kiedy ciąg jest rosnący, a kiedy malejący.
• Ciąg arytmetyczny - pierwszy z dwóch najważniejszych rodzajów ciągów.
• Ciągi - przegląd pojęć i wzorów - zestawienie encyklopedyczne.
• Ciąg Eulera n² − n + 41 - ciąg, którego czterdzieści pierwszych wyrazów to liczby pierwsze.
• Ciąg harmoniczny - ciąg odwrotności liczb naturalnych.
• Pojęcie funkcji - ciąg to szczególny przypadek funkcji.