Granica funkcji w nieskończoności - wielomiany, ilorazy i pierwiastki

Klasa 3 liceum i technikum

Granica funkcji $f$ w plus nieskończoności to liczba $g$, do której zbliżają się wartości $f(x)$, gdy argument $x$ rośnie nieograniczenie. Zapisujemy $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = g$. Analogicznie $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = g$ oznacza, że wartości zbliżają się do $g$, gdy $x$ maleje nieograniczenie (przyjmuje coraz mniejsze liczby ujemne).

To kolejna lekcja rozdziału elementy analizy matematycznej. W poprzedniej poznaliśmy granice jednostronne, a wcześniej granicę funkcji w punkcie. Teraz argument nie zbliża się do żadnej liczby, tylko „ucieka” w prawo lub w lewo osi liczbowej. Rachunek jest bardzo podobny do obliczania granic ciągów - różnica polega głównie na tym, że funkcję badamy także przy $x \to -\infty$, a tam łatwo o błąd znaku.

Co znaczy x → +∞ - tabela wartości

Weźmy funkcję $f(x) = \dfrac{2x^2 - 1}{x^2 + 1}$ i policzmy jej wartości dla coraz większych $x$:

Wartości zbliżają się do $2$. Funkcja jest parzysta ($f(-x) = f(x)$), więc dla $x = -10, -100, -1000$ dostajemy te same liczby - granica w $-\infty$ też wynosi $2$.

Ile dokładnie brakuje do dwójki? Odejmijmy:

$2 - f(x) = \frac{2(x^2 + 1) - (2x^2 - 1)}{x^2 + 1} = \frac{3}{x^2 + 1}$

Ułamek $\frac{3}{x^2 + 1}$ jest dodatni i dowolnie mały, gdy $|x|$ jest duże. Chcemy na przykład, żeby różnica była mniejsza niż $0{,}01$: warunek $\frac{3}{x^2 + 1} < 0{,}01$ oznacza $x^2 + 1 > 300$, czyli $|x| > \sqrt{299} \approx 17{,}29$. Dla dowolnie małej dokładności $\varepsilon$ taki próg też istnieje - i to jest właśnie treść definicji.

Definicja granicy w nieskończoności

Definicja (ciągowa, Heinego). $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = g$, jeśli dla każdego ciągu argumentów $(x_n)$ rozbieżnego do $+\infty$ ciąg wartości $f(x_n)$ dąży do $g$. Granicę w $-\infty$ definiujemy tak samo, biorąc ciągi rozbieżne do $-\infty$.

Definicja „z progiem” (Cauchy’ego), informacyjnie. Dla każdego $\varepsilon > 0$ istnieje liczba $M$ taka, że dla wszystkich $x > M$ zachodzi $|f(x) - g| < \varepsilon$. W przykładzie wyżej dla $\varepsilon = 0{,}01$ wystarczy $M = 17{,}3$.

Z definicji Heinego wynika, że twierdzenia o działaniach na granicach działają tak samo jak dla ciągów: granica sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu (przy niezerowej granicy mianownika) to suma, różnica, iloczyn i iloraz granic.

Granice podstawowe: c/xᵏ → 0

Najważniejsza granica tej lekcji jest bardzo prosta:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0 \qquad \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0$

Gdy $x$ rośnie, ułamek $\frac{1}{x}$ maleje do zera przez wartości dodatnie (np. $\frac{1}{1000} = 0{,}001$), a gdy $x \to -\infty$ - przez wartości ujemne ($\frac{1}{-1000} = -0{,}001$). Ogólniej dla każdej stałej $c$ i każdego wykładnika $k > 0$:

Ostatni wiersz to już granice niewłaściwe - wynik nie jest liczbą. Omawiamy je dokładnie w następnej lekcji o granicy niewłaściwej funkcji.

Iloraz wielomianów - porównanie stopni

Gdy licznik i mianownik są wielomianami, przy $x \to \pm\infty$ oba rosną co do wartości bezwzględnej

• powstaje symbol nieoznaczony $\frac{\infty}{\infty}$. Sposób jest zawsze ten sam: dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $x$ występującą w mianowniku. Wtedy w mianowniku zostaje liczba różna od zera plus wyrazy typu $\frac{c}{x^k}$, które znikają.

Przykład 1. Oblicz $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{4x^3 - x + 2}{2x^3 + 5x^2}$.

Krok 1. Najwyższa potęga w mianowniku to $x^3$. Dzielimy przez nią każdy wyraz:

$\frac{4x^3 - x + 2}{2x^3 + 5x^2} = \frac{4 - \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x^3}}{2 + \frac{5}{x}}$

Krok 2. Ułamki $\frac{1}{x^2}$, $\frac{2}{x^3}$ i $\frac{5}{x}$ dążą do zera, więc

$\lim_{x \to +\infty} \frac{4x^3 - x + 2}{2x^3 + 5x^2} = \frac{4 - 0 + 0}{2 + 0} = 2$

Odpowiedź. Granica wynosi $2$ - to iloraz współczynników przy $x^3$: $\frac{4}{2}$.

Przykład 2. Oblicz $\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{3x + 7}{x^2 - 2x + 4}$.

Krok 1. Dzielimy przez $x^2$:

$\frac{3x + 7}{x^2 - 2x + 4} = \frac{\frac{3}{x} + \frac{7}{x^2}}{1 - \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2}}$

Krok 2. Licznik dąży do $0$, mianownik do $1$.

Odpowiedź. $\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{3x + 7}{x^2 - 2x + 4} = 0$. Mianownik ma wyższy stopień, więc „rośnie szybciej” i ułamek maleje do zera.

Przykład 3. Oblicz $\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{5 - x^2}{2x^2 + 3x}$.

Dzielimy przez $x^2$:

$\frac{5 - x^2}{2x^2 + 3x} = \frac{\frac{5}{x^2} - 1}{2 + \frac{3}{x}} \longrightarrow \frac{0 - 1}{2 + 0} = -\frac{1}{2}$

Odpowiedź. $-\frac{1}{2}$. Przy równych stopniach znak $x$ nie ma znaczenia - parzysta potęga w liczniku i w mianowniku skraca się bez śladu, więc w $+\infty$ granica też wynosi $-\frac{1}{2}$.

Wszystkie przypadki ilorazu wielomianów w jednej tabeli:

Ostatni przypadek - granicę nieskończoną i ustalanie jej znaku - opisujemy w lekcji o granicy niewłaściwej funkcji.

Pierwiastki i pułapka √(x²) = |x|

Gdy pod pierwiastkiem stoi wielomian, „wyciągamy” spod niego najwyższą potęgę. Trzeba przy tym pamiętać, że

$\sqrt{x^2} = |x| = \begin{cases} x & \text{dla } x \geq 0 \\ -x & \text{dla } x < 0 \end{cases}$

Przy $x \to +\infty$ argumenty są dodatnie, więc $\sqrt{x^2} = x$. Przy $x \to -\infty$ są ujemne i $\sqrt{x^2} = -x$. Zapomnienie o tym to najczęstszy błąd w granicach w minus nieskończoności.

Przykład 4. Oblicz granice funkcji $f(x) = \dfrac{3x + 2}{\sqrt{x^2 + 1}}$ w $+\infty$ i w $-\infty$.

Krok 1. Plus nieskończoność. Dla $x > 0$ mamy $\sqrt{x^2 + 1} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} = x\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}$. Dzielimy licznik i mianownik przez $x$:

$\frac{3x + 2}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{3 + \frac{2}{x}}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}} \longrightarrow \frac{3 + 0}{\sqrt{1 + 0}} = 3$

Krok 2. Minus nieskończoność. Dla $x < 0$ jest $\sqrt{x^2 + 1} = |x|\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} = -x\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}$. Po podzieleniu przez $x$ w mianowniku pojawia się minus:

$\frac{3x + 2}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{3 + \frac{2}{x}}{-\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}} \longrightarrow \frac{3 + 0}{-1} = -3$

Odpowiedź. $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 3$ oraz $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -3$. Ta sama funkcja ma dwie różne granice w nieskończonościach.

Rysunek pokazuje jeszcze jedną rzecz: wykres może przeciąć prostą, do której się zbliża. Równanie $\frac{3x + 2}{\sqrt{x^2 + 1}} = 3$ ma rozwiązanie $x = \frac{5}{12}$ (po podniesieniu do kwadratu $9x^2 + 12x + 4 = 9x^2 + 9$), a dalej wykres leży nad prostą $y = 3$ i opada do niej od góry. Granica mówi tylko, co dzieje się „daleko”, a nie że wykres nigdy nie dotknie prostej.

Różnica z pierwiastkiem - wyrażenie sprzężone

Wyrażenie $\sqrt{x^2 + 3x} - x$ przy $x \to +\infty$ to symbol $\infty - \infty$: oba składniki rosną nieograniczenie i nie wiadomo, który „wygra”. Policzmy kilka wartości:

Wygląda na to, że granica wynosi $1{,}5$. Udowodnijmy to rachunkiem.

Przykład 5. Oblicz $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 3x} - x\right)$.

Krok 1. Mnożymy i dzielimy przez wyrażenie sprzężone $\sqrt{x^2 + 3x} + x$. W liczniku powstaje różnica kwadratów, która usuwa pierwiastek:

$\sqrt{x^2 + 3x} - x = \frac{(x^2 + 3x) - x^2}{\sqrt{x^2 + 3x} + x} = \frac{3x}{\sqrt{x^2 + 3x} + x}$

Krok 2. Dzielimy przez $x$ (dla $x > 0$ jest $\sqrt{x^2 + 3x} = x\sqrt{1 + \frac{3}{x}}$):

$\frac{3x}{\sqrt{x^2 + 3x} + x} = \frac{3}{\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + 1} \longrightarrow \frac{3}{1 + 1} = \frac{3}{2}$

Odpowiedź. $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 3x} - x\right) = \frac{3}{2}$.

A co w minus nieskończoności? Dla $x \to -\infty$ symbolu nieoznaczonego nie ma: $\sqrt{x^2 + 3x}$ rośnie do $+\infty$, a $-x$ też jest dużą liczbą dodatnią. Suma dwóch wyrażeń dążących do $+\infty$ dąży do $+\infty$ - to granica niewłaściwa. Zanim zaczniesz mnożyć przez sprzężenie, sprawdź, czy w ogóle masz symbol nieoznaczony.

Granica funkcji a granica ciągu

Jeśli $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = g$, to w szczególności dla ciągu $x_n = n$ dostajemy $\lim\limits_{n \to \infty} f(n) = g$. Dlatego granicę ciągu $a_n = \frac{2n^2 - 1}{n^2 + 1}$ możemy odczytać z wykresu funkcji z początku lekcji: wynosi $2$. Rachunki dla ciągów z lekcji jak obliczyć granicę ciągu przenoszą się na funkcje niemal bez zmian.

Odwrotnie to nie działa. Funkcja $f(x) = \sin(\pi x)$ przyjmuje w każdej liczbie naturalnej wartość $0$, więc ciąg $f(n)$ dąży do zera. Granica funkcji w $+\infty$ jednak nie istnieje: dla ciągu $x_n = n + \frac{1}{2}$ wartości $f(x_n)$ to na przemian $1$ i $-1$. Definicja Heinego wymaga zgodności dla każdego ciągu argumentów, a tu dwa ciągi dają różne wyniki.

Granica w nieskończoności a asymptota pozioma

Jeśli $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = g$, to wykres funkcji dla dużych $x$ zbliża się do poziomej prostej $y = g$. Taką prostą nazywamy asymptotą poziomą wykresu w $+\infty$ (analogicznie w $-\infty$). Funkcja z przykładu 4 ma dwie różne asymptoty poziome: $y = 3$ w $+\infty$ i $y = -3$ w $-\infty$.

Dla funkcji wymiernych asymptoty poziome poznaliśmy już w lekcji o funkcji wymiernej. Pełne badanie asymptot - pionowych, poziomych i ukośnych - jest w lekcji asymptoty wykresu funkcji.

Typowe błędy

• $\sqrt{x^2} = x$ także dla ujemnych $x$. Przy $x \to -\infty$ jest $\sqrt{x^2} = -x$. W przykładzie 4 ten błąd daje $3$ zamiast $-3$.
• „$\frac{\infty}{\infty} = 1$”. Symbol nieoznaczony nie ma z góry ustalonej wartości: w przykładzie 1 wyszło $2$, w przykładzie 2 - zero.
• „$\infty - \infty = 0$”. Wyrażenie $\sqrt{x^2 + 3x} - x$ dąży do $\frac{3}{2}$, a nie do zera.
• Dzielenie przez potęgę z licznika, gdy mianownik ma niższy stopień. Wtedy w mianowniku zostaje zero i rachunek się sypie. Dziel przez najwyższą potęgę z mianownika.
• Mnożenie przez sprzężenie bez symbolu nieoznaczonego. Przy $x \to -\infty$ wyrażenie $\sqrt{x^2 + 3x} - x$ to $\infty + \infty$ - granica od razu wynosi $+\infty$.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć granicę funkcji w nieskończoności? Najpierw sprawdź, czy wynik nie jest oczywisty (np. $\frac{5}{x} \to 0$). Przy ilorazie wielomianów podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $x$ z mianownika, a przy różnicy z pierwiastkiem pomnóż przez wyrażenie sprzężone. Potem skorzystaj z tego, że $\frac{c}{x^k} \to 0$.

Ile wynosi granica 1/x w nieskończoności? Zero - zarówno przy $x \to +\infty$, jak i przy $x \to -\infty$. W pierwszym przypadku wartości $\frac{1}{x}$ są dodatnie, w drugim ujemne, ale w obu zbliżają się do zera.

Jak obliczyć granicę ilorazu wielomianów w nieskończoności? Porównaj stopnie. Gdy licznik ma niższy stopień - granica wynosi $0$; gdy stopnie są równe - granica to iloraz współczynników przy najwyższych potęgach; gdy licznik ma wyższy stopień - granica jest nieskończona ($+\infty$ albo $-\infty$).

Jak obliczyć granicę z pierwiastkiem w nieskończoności? Wyłącz spod pierwiastka najwyższą potęgę: $\sqrt{9x^2 + 1} = |x|\sqrt{9 + \frac{1}{x^2}}$. Przy $x \to +\infty$ jest $|x| = x$, a przy $x \to -\infty$ jest $|x| = -x$. Jeśli wyrażenie ma postać $\sqrt{A} - B$ z symbolem $\infty - \infty$, pomnóż je przez $\frac{\sqrt{A} + B}{\sqrt{A} + B}$.

Czy granica w plus i minus nieskończoności może być różna? Tak. Funkcja $\frac{3x + 2}{\sqrt{x^2 + 1}}$ ma w $+\infty$ granicę $3$, a w $-\infty$ granicę $-3$. Dla ilorazu wielomianów obie granice skończone są zawsze równe - różnice pojawiają się przy pierwiastkach i wartości bezwzględnej.

Czy każda funkcja ma granicę w nieskończoności? Nie. Funkcja $\sin x$ przy $x \to +\infty$ cały czas oscyluje między $-1$ a $1$ i do niczego się nie zbliża. Funkcja $x^2$ rośnie nieograniczenie - ma granicę niewłaściwą $+\infty$, ale nie ma granicy skończonej.

Jaki jest związek granicy w nieskończoności z asymptotą poziomą? Jeśli $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = g$, to prosta $y = g$ jest asymptotą poziomą wykresu w $+\infty$. Granice w $+\infty$ i $-\infty$ liczymy osobno, bo asymptoty poziome w obu kierunkach mogą być różne.

Przećwicz

• Granica funkcji w nieskończoności - zadania → - 7 zadań: iloraz wielomianów w $+\infty$ i $-\infty$, pierwiastek i pułapka $\sqrt{x^2} = |x|$, różnica z pierwiastkiem i wyrażenie sprzężone (także w $-\infty$), dwie różne granice w obu nieskończonościach oraz parametry, przy których granica ma zadaną wartość.
• Cały zestaw: granica i pochodna funkcji - zadania →

Podsumowanie

• $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = g$: wartości $f(x)$ zbliżają się do $g$, gdy $x$ rośnie nieograniczenie; granicę w $-\infty$ liczymy osobno.
• Podstawa rachunków: $\frac{c}{x^k} \to 0$ przy $x \to \pm\infty$ (dla $k > 0$).
• Iloraz wielomianów: dzielimy przez najwyższą potęgę z mianownika; licznik niższego stopnia - $0$, równe stopnie - iloraz współczynników, licznik wyższego stopnia - $\pm\infty$.
• $\sqrt{x^2} = |x|$: przy $x \to -\infty$ to $-x$, co zmienia znak wyniku.
• Symbol $\infty - \infty$ z pierwiastkiem usuwamy, mnożąc przez wyrażenie sprzężone.
• Skończona granica w $\pm\infty$ oznacza asymptotę poziomą.

Zobacz też

• Granice jednostronne funkcji - poprzednia lekcja: lewostronna i prawostronna granica w punkcie.
• Granica niewłaściwa funkcji - następna lekcja: kiedy wynik to $+\infty$ lub $-\infty$.
• Granica funkcji - zwięzłe zestawienie definicji i metod obliczania granic.
• Jak obliczyć granicę ciągu - te same chwyty (dzielenie przez najwyższą potęgę, sprzężenie) dla ciągów.
• Funkcja wymierna - asymptoty pionowe i poziome funkcji wymiernych.