Pole trapezu - wzór, trapez z czterech boków i z przekątnych

Klasa 3 liceum i technikum

Pole trapezu to iloczyn średniej arytmetycznej podstaw i wysokości: $P = \frac{a + b}{2} \cdot h$. Średnia podstaw to długość linii środkowej, więc pole trapezu równa się polu prostokąta o bokach $m$ i $h$. Skąd się bierze ten wzór (dwa trapezy składają się w równoległobok), pokazuje lekcja pole figury płaskiej.

W zadaniach podstawy zwykle są dane, a cała praca polega na znalezieniu wysokości. Poniżej są cztery typowe drogi: z kąta, z czterech boków, z przekątnych i z okręgu wpisanego.

Wysokość z kąta przy podstawie

Wysokość opuszczona z wierzchołka krótszej podstawy odcina trójkąt prostokątny, w którym znamy kąt i jeden bok. W trapezie prostokątnym ten trójkąt ma przyprostokątną równą różnicy podstaw.

Przykład 1. Trapez prostokątny ma podstawy $11$ i $6$, a kąt ostry $60^\circ$. Oblicz jego pole i dłuższe ramię.

Krok 1. Trójkąt prostokątny. Wysokość z końca krótszej podstawy odcina od dłuższej odcinek $11 - 6 = 5$, który leży przy kącie $60^\circ$.

Krok 2. Wysokość i ramię. $h = 5 \operatorname{tg} 60^\circ = 5\sqrt{3}$, a ramię $c = \frac{5}{\cos 60^\circ} = 10$.

Krok 3. Pole. $P = \frac{11 + 6}{2} \cdot 5\sqrt{3} = \frac{85\sqrt{3}}{2} = 42{,}5\sqrt{3}$.

Odpowiedź. $P = 42{,}5\sqrt{3} \approx 73{,}6$, dłuższe ramię ma długość $10$.

Trapez dany czterema bokami - przesunięcie ramienia

Gdy znamy obie podstawy i oba ramiona, a trapez nie jest równoramienny, przesuwamy jedno ramię równolegle tak, by wychodziło z wierzchołka drugiej podstawy. Powstaje trójkąt o bokach równych ramionom i różnicy podstaw - jego wysokość jest wysokością trapezu.

Przykład 2. Trapez ma podstawy $|AB| = 30$ i $|CD| = 9$ oraz ramiona $|AD| = 10$ i $|BC| = 17$. Oblicz jego pole.

Krok 1. Trójkąt pomocniczy. Prowadzimy $CE \parallel AD$, $E \in AB$. Czworokąt $AECD$ jest równoległobokiem, więc $|CE| = 10$ i $|AE| = 9$. Trójkąt $EBC$ ma boki $10$, $17$ i $30 - 9 = 21$.

Krok 2. Pole trójkąta wzorem Herona. Połowa obwodu $p = \frac{10 + 17 + 21}{2} = 24$:

$P_{EBC} = \sqrt{24 \cdot (24 - 10)(24 - 17)(24 - 21)} = \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{7056} = 84.$

Krok 3. Wysokość. Na boku $EB = 21$: $h = \frac{2 \cdot 84}{21} = 8$.

Krok 4. Pole trapezu. $P = \frac{30 + 9}{2} \cdot 8 = 156$.

Odpowiedź. $P = 156$. (Zamiast wzoru Herona można też ułożyć układ równań z twierdzenia Pitagorasa: $x^2 + h^2 = 100$, $(21 - x)^2 + h^2 = 289$ daje $x = 6$, $h = 8$.) Wzór Herona jest tu po prostu krótszy.

Trapez z przekątnych

Wzór $P = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\varphi$ działa w każdym czworokącie wypukłym, więc i w trapezie. Najczęstszy przypadek maturalny to trapez równoramienny o prostopadłych przekątnych.

Przekątne trapezu równoramiennego są równe i przecinają się w punkcie $S$ leżącym na osi symetrii. Gdy są prostopadłe, trójkąty $ABS$ i $CDS$ są prostokątne i równoramienne, więc ich wysokości (odcinki osi symetrii) mają długości $\frac{a}{2}$ i $\frac{b}{2}$. Razem tworzą wysokość trapezu:

$h = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} = \frac{a + b}{2} \quad\Longrightarrow\quad P = \frac{a + b}{2} \cdot h = h^2.$

Przykład 3. Trapez równoramienny o podstawach $13$ i $5$ ma prostopadłe przekątne. Oblicz jego wysokość, pole i długość przekątnej.

Krok 1. Wysokość. $h = \frac{13 + 5}{2} = 9$.

Krok 2. Pole. $P = h^2 = 81$.

Krok 3. Przekątna. Z drugiego wzoru $P = \frac{1}{2} d^2 \sin 90^\circ = \frac{d^2}{2}$, więc $d^2 = 162$ i $d = 9\sqrt{2}$.

Odpowiedź. $h = 9$, $P = 81$, przekątna $9\sqrt{2}$.

Pola czterech trójkątów wyznaczonych przez przekątne

Przekątne trapezu dzielą go na cztery trójkąty. Trójkąty $ABS$ i $CDS$ przy podstawach są podobne w skali $\frac{a}{b}$ (kąty naprzemianległe), więc ich pola są w stosunku $a^2 : b^2$. Trójkąty $BCS$ i $ADS$ przy ramionach mają równe pola: $P_{ABD} = P_{ABC}$ (wspólna podstawa $AB$ i ta sama wysokość), a po odjęciu wspólnego $P_{ABS}$ zostaje $P_{ADS} = P_{BCS}$. Ponieważ $S$ dzieli przekątne w stosunku $a : b$, pole bocznego trójkąta jest średnią geometryczną pól trójkątów przy podstawach.

Przykład 4. Przekątne trapezu $ABCD$ ($AB \parallel CD$) przecinają się w punkcie $S$. Pole trójkąta $ABS$ wynosi $36$, a pole trójkąta $CDS$ wynosi $4$. Oblicz pole trapezu i stosunek podstaw.

Krok 1. Stosunek podstaw. $\frac{a^2}{b^2} = \frac{36}{4} = 9$, więc $\frac{a}{b} = 3$.

Krok 2. Trójkąty boczne. $P_{BCS} = P_{ADS} = \sqrt{36 \cdot 4} = 12$.

Krok 3. Pole. $P = 36 + 4 + 12 + 12 = 64 = (6 + 2)^2$.

Odpowiedź. $P = 64$, a dłuższa podstawa jest $3$ razy dłuższa od krótszej.

Linia środkowa nie dzieli pola na pół

Linia środkowa dzieli wysokość na pół, ale tworzy dwa trapezy o różnych podstawach: dolny ma podstawy $a$ i $m$, górny $m$ i $b$. Ich pola mają się jak

$\frac{a + m}{m + b} = \frac{3a + b}{a + 3b}.$

Przykład 5. W trapezie z przykładu 2 ($a = 30$, $b = 9$, $h = 8$) linia środkowa ma długość $19{,}5$. Pola części: dolna $\frac{30 + 19{,}5}{2} \cdot 4 = 99$, górna $\frac{19{,}5 + 9}{2} \cdot 4 = 57$. Suma $156$ się zgadza, a stosunek $99 : 57 = 33 : 19$ to dokładnie $(3 \cdot 30 + 9) : (30 + 3 \cdot 9)$. Pole na pół dzieli dopiero odcinek o długości $\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$ - średnia kwadratowa podstaw.

Trapez opisany na okręgu

Gdy w trapez da się wpisać okrąg, okrąg jest styczny do obu podstaw, więc wysokość trapezu to średnica: $h = 2r$. Wtedy

$P = \frac{a + b}{2} \cdot 2r = r(a + b) = r \cdot p,$

gdzie $p = a + b = c + d$ to połowa obwodu - tak samo jak w każdym wielokącie opisanym na okręgu.

Przykład 6. Trapez równoramienny o podstawach $8$ i $2$ jest opisany na okręgu. Oblicz jego pole i promień okręgu.

Krok 1. Ramię. Z warunku $a + b = c + d$: $2c = 10$, $c = 5$.

Krok 2. Wysokość. Rzut ramienia na dłuższą podstawę ma długość $\frac{8 - 2}{2} = 3$, więc $h = \sqrt{25 - 9} = 4$ i $r = 2$.

Krok 3. Pole. $P = r(a + b) = 2 \cdot 10 = 20$, zgodnie z $\frac{8 + 2}{2} \cdot 4 = 20$.

Odpowiedź. $P = 20$, $r = 2$.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć pole trapezu, gdy nie znam wysokości? Wysokość wyznacz z trójkąta prostokątnego przy ramieniu (z kąta albo z twierdzenia Pitagorasa). Gdy znasz wszystkie cztery boki, przesuń jedno ramię i policz wysokość trójkąta o bokach równych ramionom i różnicy podstaw.

Jak obliczyć pole trapezu z przekątnych? Wzorem $P = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\varphi$, gdzie $\varphi$ to kąt między przekątnymi. W trapezie równoramiennym o prostopadłych przekątnych pole równa się kwadratowi wysokości.

Ile wynosi wysokość trapezu równoramiennego o prostopadłych przekątnych? Średnią arytmetyczną podstaw: $h = \frac{a + b}{2}$. Jest więc równa linii środkowej.

Czy linia środkowa dzieli trapez na dwie części o równych polach? Nie. Dzieli wysokość na pół, ale górna część jest węższa; pola są w stosunku $(3a + b) : (a + 3b)$.

Jakie pole ma trapez opisany na okręgu?$P = r(a + b)$, bo wysokość równa się średnicy okręgu.

Które trójkąty wyznaczone przez przekątne trapezu mają równe pola? Dwa trójkąty przy ramionach. Trójkąty przy podstawach są podobne i ich pola są w stosunku kwadratów podstaw.

Przećwicz

• Pola czworokątów → - działka w kształcie trapezu, trapez z czterech boków, trapez o prostopadłych przekątnych, pola trójkątów przy przekątnych.
• Trapez → - wysokość, kąty, linia środkowa i przekątne.
• Okrąg wpisany w czworokąt → - trapezy opisane na okręgu.

Podsumowanie

• $P = \frac{a + b}{2} \cdot h$: w zadaniu najpierw szukamy wysokości.
• Z czterech boków: przesunięcie ramienia daje trójkąt (ramiona, różnica podstaw), a jego wysokość to $h$.
• Trapez równoramienny o prostopadłych przekątnych: $h = \frac{a + b}{2}$ i $P = h^2$.
• Trójkąty przy podstawach mają pola w stosunku $a^2 : b^2$, trójkąty przy ramionach - równe pola.
• Trapez opisany na okręgu: $h = 2r$, $P = r(a + b)$.