Pole dowolnego czworokąta - sześć sposobów i zadania różne

Klasa 3 liceum i technikum

Pole dowolnego czworokąta oblicza się, dzieląc go przekątną na dwa trójkąty i dodając ich pola. Gdy znamy przekątne $d_1$, $d_2$ i kąt $\varphi$ między nimi, wystarcza wzór $P = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\varphi$. Gotowych wzorów „z boków” dla dowolnego czworokąta nie ma: cztery boki nie wyznaczają czworokąta (czworokąt z listewek można zgniatać), więc nie wyznaczają też pola.

Wzory na pola szczególnych czworokątów są w lekcjach pole prostokąta i równoległoboku i pole trapezu. Tutaj zbieramy sposoby na czworokąty „bez nazwy” i typowe zadania mieszane.

Sposób 1. Podział przekątną na dwa trójkąty

Wybieramy tę przekątną, która daje trójkąty o znanych bokach albo wysokościach. Często jeden z nich jest prostokątny, a drugi równoramienny.

Przykład 1. W czworokącie $ABCD$ kąt przy wierzchołku $A$ jest prosty, $|AB| = 6$, $|AD| = 8$ oraz $|BC| = |CD| = 13$. Oblicz pole czworokąta.

Krok 1. Przekątna. Trójkąt $ABD$ jest prostokątny, więc $|BD| = \sqrt{36 + 64} = 10$, a $P_{ABD} = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24$.

Krok 2. Trójkąt równoramienny. W trójkącie $BCD$ wysokość z wierzchołka $C$ pada na środek $M$ podstawy $BD$: $|CM| = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12$, więc $P_{BCD} = \frac{10 \cdot 12}{2} = 60$.

Krok 3. Suma. $P = 24 + 60 = 84$.

Odpowiedź. $P_{ABCD} = 84$.

Sposób 2. Przekątne i kąt między nimi

Wzór $P = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\varphi$ (wyprowadzony w lekcji pole prostokąta i równoległoboku) daje od razu jeszcze jeden wniosek: ponieważ $\sin\varphi \le 1$, pole czworokąta o danych przekątnych jest największe, gdy przekątne są prostopadłe.

Przykład 2. Przekątne czworokąta wypukłego mają długości $6$ i $10$. Jakie największe pole może mieć ten czworokąt? Przy jakim kącie między przekątnymi pole wynosi $15$?

Krok 1. Największe pole. $P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \sin\varphi = 30 \sin\varphi \le 30$, a równość zachodzi dla $\varphi = 90^\circ$.

Krok 2. Kąt. $30 \sin\varphi = 15$ daje $\sin\varphi = \frac{1}{2}$, czyli $\varphi = 30^\circ$ (kąt ostry między przekątnymi; rozwarty ma wtedy $150^\circ$).

Odpowiedź. Największe pole to $30$; pole $15$ odpowiada kątowi $30^\circ$ między przekątnymi.

Sposób 3. Czworokąt na kratce - prostokąt opisany

Gdy wierzchołki leżą w punktach kratowych (albo mają dane współrzędne), opisujemy na czworokącie prostokąt o bokach równoległych do osi i odejmujemy narożne trójkąty prostokątne. To ten sam sposób, którym w lekcji pole figury płaskiej liczyliśmy pole trójkąta.

Przykład 3. Oblicz pole czworokąta o wierzchołkach $A = (1, 0)$, $B = (7, 2)$, $C = (6, 6)$, $D = (0, 4)$.

Krok 1. Prostokąt opisany. Współrzędne $x$ zmieniają się od $0$ do $7$, a $y$ od $0$ do $6$: prostokąt $7 \times 6$ ma pole $42$.

Krok 2. Trójkąty narożne. Przyprostokątne odczytujemy z różnic współrzędnych:

$\frac{6 \cdot 2}{2} = 6, \qquad \frac{1 \cdot 4}{2} = 2, \qquad \frac{6 \cdot 2}{2} = 6, \qquad \frac{1 \cdot 4}{2} = 2.$

Krok 3. Różnica. $P = 42 - (6 + 2 + 6 + 2) = 26$.

Odpowiedź. $P = 26$. Ten czworokąt jest akurat równoległobokiem ($\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} = [6, 2]$), ale metoda działa dla każdego czworokąta, którego wierzchołki dotykają boków prostokąta.

Sposób 4. Równoległobok ze środków boków

Środki $K$, $L$, $M$, $N$ boków dowolnego czworokąta są wierzchołkami równoległoboku (tzw. równoległoboku Varignona). Odcinek $KL$ łączy środki boków trójkąta $ABC$, więc jest równoległy do przekątnej $AC$ i dwa razy od niej krótszy; tak samo $NM$. Boki równoległoboku są więc równe połowom przekątnych i tworzą ten sam kąt $\varphi$, co przekątne:

$P_{KLMN} = \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} \cdot \sin\varphi = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\, d_1 d_2 \sin\varphi = \frac{1}{2}\, P_{ABCD}.$

Przykład 4. Czworokąt ma pole $50$, a jego przekątne mają długości $12$ i $10$. Oblicz pole i obwód czworokąta, którego wierzchołkami są środki boków.

Odpowiedź. Pole $\frac{50}{2} = 25$, obwód $2 \cdot \frac{12}{2} + 2 \cdot \frac{10}{2} = 12 + 10 = 22$ (obwód równoległoboku Varignona to suma przekątnych). Uzasadnienie, że $KL \parallel AC$, jest w lekcji o twierdzeniu o odcinku łączącym środki boków trójkąta.

Sposób 5. Punkt wewnątrz równoległoboku

Dowolny punkt $X$ wewnątrz równoległoboku łączymy z wierzchołkami. Trójkąty $ABX$ i $CDX$ mają podstawy $|AB| = |CD| = a$, a ich wysokości $h_1$ i $h_2$ (odległości $X$ od prostych $AB$ i $CD$) sumują się do wysokości $h$ równoległoboku. Zatem

$P_{ABX} + P_{CDX} = \frac{a h_1}{2} + \frac{a h_2}{2} = \frac{a h}{2} = \frac{1}{2}\, P_{ABCD}.$

Przykład 5. Równoległobok $ABCD$ ma pole $48$, a $X$ jest punktem w jego wnętrzu. Pole trójkąta $ABX$ wynosi $10$, a pole trójkąta $BCX$ wynosi $15$. Oblicz pola trójkątów $CDX$ i $DAX$.

$P_{CDX} = 24 - 10 = 14, \qquad P_{DAX} = 24 - 15 = 9.$

Odpowiedź. $14$ i $9$. Sprawdzenie: $10 + 15 + 14 + 9 = 48$.

Sposób 6. Czworokąt opisany na okręgu

Jeśli w czworokąt da się wpisać okrąg o promieniu $r$, to łącząc środek okręgu z wierzchołkami, dzielimy czworokąt na cztery trójkąty o wysokościach $r$:

$P = \frac{r}{2}(a + b + c + d) = r \cdot p, \qquad p = \frac{a + b + c + d}{2}.$

Przykład 6. Czworokąt o obwodzie $40$ jest opisany na okręgu o promieniu $3$. Oblicz jego pole.

Odpowiedź. $P = 3 \cdot 20 = 60$. Wzór $P = rp$ działa dla każdego wielokąta opisanego na okręgu, także dla trójkąta.

Zmiana procentowa pola

Gdy zmieniamy wymiary figury o pewien procent, pole zmienia się o iloczyn czynników, a nie o sumę procentów.

Przykład 7. Długość prostokąta zwiększono o $20\%$, a szerokość zmniejszono o $20\%$. Jak zmieniło się pole?

$P' = 1{,}2a \cdot 0{,}8b = 0{,}96\, ab.$

Odpowiedź. Pole zmalało o $4\%$ - a nie „zostało bez zmian”, jak sugeruje dodanie $+20\% - 20\%$. Jeśli oba wymiary rosną o $10\%$, pole rośnie $1{,}1^2 = 1{,}21$ raza, czyli o $21\%$ - to szczególny przypadek zasady $k^2$ z lekcji o czworokątach podobnych.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć pole czworokąta, który nie jest prostokątem ani trapezem? Podziel go przekątną na dwa trójkąty i dodaj ich pola. Gdy znasz przekątne i kąt między nimi, użyj wzoru $P = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\varphi$.

Czy można obliczyć pole czworokąta, znając tylko długości boków? W ogólnym przypadku nie - czworokąt o danych bokach można odkształcać, a pole się wtedy zmienia. Wystarczą boki, gdy wiadomo coś więcej, np. że czworokąt jest wpisany w okrąg (wtedy pole jest wyznaczone jednoznacznie), albo gdy znamy też przekątną.

Jak obliczyć pole czworokąta o danych wierzchołkach? Opisz na nim prostokąt o bokach równoległych do osi i odejmij trójkąty narożne albo podziel go przekątną na dwa trójkąty i policz pole każdego z nich.

Jakie pole ma czworokąt utworzony ze środków boków? Połowę pola wyjściowego czworokąta. Jest on zawsze równoległobokiem, a jego obwód równa się sumie przekątnych.

Kiedy czworokąt o danych przekątnych ma największe pole? Gdy przekątne są prostopadłe; pole wynosi wtedy $\frac{1}{2} d_1 d_2$.

O ile procent zmieni się pole prostokąta, gdy jeden bok zwiększymy o 20%, a drugi zmniejszymy o 20%? Zmniejszy się o $4\%$, bo $1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96$.

Przećwicz

• Pola czworokątów → - czworokąt w układzie współrzędnych, podział przekątną, czworokąt opisany na okręgu, zmiana procentowa pola.
• Czworokąty - zadania mieszane → - zadania łączące kilka własności.
• Trapezoidy i deltoidy → - pole trapezoidu przez podział przekątną i ze wzoru z sinusem.

Podsumowanie

• Pole dowolnego czworokąta: podział przekątną na dwa trójkąty albo $P = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\varphi$.
• Przy danych przekątnych pole jest największe, gdy są prostopadłe.
• Na kratce: prostokąt opisany minus trójkąty narożne.
• Środki boków tworzą równoległobok o połowie pola; czworokąt opisany na okręgu ma pole $r \cdot p$.
• W równoległoboku $P_{ABX} + P_{CDX} = \frac{1}{2} P$ dla każdego punktu $X$ wewnątrz.
• Zmiany procentowe wymiarów mnożymy: $1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96$.