Suma i różnica sinusów i cosinusów - zamiana sumy na iloczyn

Klasa 3 liceum i technikum

Wzory na sumę i różnicę funkcji trygonometrycznych zamieniają sumę (albo różnicę) dwóch sinusów lub dwóch cosinusów na iloczyn funkcji połowy sumy i połowy różnicy kątów, np. $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$. Iloczyn jest w trygonometrii cenniejszy od sumy: iloczyn równa się zeru, gdy zeruje się któryś czynnik, więc te wzory są głównym narzędziem do rozwiązywania równań typu $\sin 3x + \sin x = 0$.

Skąd się biorą - wyprowadzenie

Wszystkie cztery wzory wynikają ze wzorów na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów. Zapiszmy dwa z nich dla kątów $u$ i $v$:

$\sin(u + v) = \sin u\cos v + \cos u\sin v, \qquad \sin(u - v) = \sin u\cos v - \cos u\sin v.$

Krok 1. Dodajemy stronami. Wyrazy $\cos u\sin v$ się redukują:

$\sin(u + v) + \sin(u - v) = 2\sin u\cos v.$

Krok 2. Zmieniamy oznaczenia. Chcemy mieć po lewej $\sin\alpha + \sin\beta$, więc kładziemy $\alpha = u + v$ i $\beta = u - v$. Z tego układu:

$u = \frac{\alpha + \beta}{2}, \qquad v = \frac{\alpha - \beta}{2}.$

Krok 3. Podstawiamy i dostajemy pierwszy wzór:

$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}.$

Pozostałe trzy powstają tak samo: odejmując wzory na $\sin(u \pm v)$ dostajemy $\sin\alpha - \sin\beta$, a dodając lub odejmując wzory na $\cos(u \pm v)$ - sumę i różnicę cosinusów. Przy różnicy cosinusów:

$\cos(u + v) - \cos(u - v) = (\cos u\cos v - \sin u\sin v) - (\cos u\cos v + \sin u\sin v) = -2\sin u\sin v.$

Stąd bierze się minus we wzorze na $\cos\alpha - \cos\beta$ - jedyny minus w całej czwórce.

Jak zapamiętać cztery wzory

Każdy wzór ma tę samą budowę: dwójka, połowa sumy kątów, połowa różnicy kątów. Zmieniają się tylko funkcje i znak.

Dwie praktyczne uwagi:

• przy sumie kolejność kątów jest obojętna, przy różnicy - nie: zamiana $\alpha$ z $\beta$ zmienia znak połowy różnicy, a więc i znak całego wyniku;
• $\cos$ jest funkcją parzystą, więc $\cos\frac{\alpha - \beta}{2} = \cos\frac{\beta - \alpha}{2}$ - przy cosinusie połowy różnicy nie trzeba pilnować kolejności. Na przykład $\cos x + \cos 5x = 2\cos 3x\cos(-2x) = 2\cos 3x\cos 2x$.

Iloczyn na sumę - wzory odwrotne

Równość z kroku 1 wyprowadzenia, czytana od prawej do lewej, zamienia iloczyn na sumę. Z wzorów na $\cos(u \pm v)$ powstają dwa kolejne:

$\sin\alpha\cos\beta = \tfrac{1}{2}\left[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)\right],$

$\cos\alpha\cos\beta = \tfrac{1}{2}\left[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)\right], \qquad \sin\alpha\sin\beta = \tfrac{1}{2}\left[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)\right].$

Te wzory przydają się, gdy iloczyn trzeba policzyć, a czynniki osobno nie mają ładnych wartości, oraz później w analizie (całkowanie iloczynów sinusów).

Przykład 1. Oblicz $\sin 75^\circ \cos 15^\circ$.

Ani $\sin 75^\circ$, ani $\cos 15^\circ$ nie ma w tablicy podstawowych wartości, ale suma i różnica kątów - tak:

$\sin 75^\circ \cos 15^\circ = \tfrac{1}{2}\left[\sin 90^\circ + \sin 60^\circ\right] = \tfrac{1}{2}\left(1 + \tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}.$

Odpowiedź. $\sin 75^\circ \cos 15^\circ = \frac{2 + \sqrt{3}}{4} \approx 0{,}933$.

Obliczanie wartości bez tablic

Wzory działają najlepiej, gdy połowa sumy i połowa różnicy kątów to kąty „tablicowe” ($30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$). Wartości, które się tu pojawiają, są w tabeli wartości funkcji trygonometrycznych.

Przykład 2. Oblicz $\sin 75^\circ + \sin 15^\circ$.

Krok 1. Połowa sumy: $\frac{75^\circ + 15^\circ}{2} = 45^\circ$, połowa różnicy: $\frac{75^\circ - 15^\circ}{2} = 30^\circ$.

Krok 2. Ze wzoru na sumę sinusów:

$\sin 75^\circ + \sin 15^\circ = 2\sin 45^\circ\cos 30^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}.$

Odpowiedź. $\sin 75^\circ + \sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6}}{2} \approx 1{,}225$.

Przykład 3. Oblicz $\cos 105^\circ - \cos 15^\circ$.

Połowa sumy to $60^\circ$, połowa różnicy $45^\circ$. Uwaga na minus we wzorze:

$\cos 105^\circ - \cos 15^\circ = -2\sin 60^\circ\sin 45^\circ = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{6}}{2}.$

Sprawdzenie znaku: $\cos 105^\circ$ jest ujemny, a $\cos 15^\circ$ dodatni, więc różnica musi być ujemna - zgadza się.

Przykład 4. Wykaż, że $\cos 20^\circ + \cos 100^\circ + \cos 140^\circ = 0$.

Krok 1. Łączymy pierwsze dwa składniki:

$\cos 20^\circ + \cos 100^\circ = 2\cos 60^\circ\cos 40^\circ = 2 \cdot \tfrac{1}{2} \cdot \cos 40^\circ = \cos 40^\circ.$

Krok 2. Zostaje $\cos 40^\circ + \cos 140^\circ = 2\cos 90^\circ\cos 50^\circ = 0$, bo $\cos 90^\circ = 0$. Ten sam wynik daje wzór redukcyjny$\cos 140^\circ = \cos(180^\circ - 40^\circ) = -\cos 40^\circ$.

Upraszczanie wyrażeń

Ilorazy sum sinusów i cosinusów często skracają się do jednej funkcji - po zamianie licznika i mianownika na iloczyny pojawia się wspólny czynnik.

Przykład 5. Uprość wyrażenie $\dfrac{\sin 3x + \sin x}{\cos 3x + \cos x}$.

Krok 1. Licznik i mianownik na iloczyny. Połowa sumy kątów to $2x$, połowa różnicy - $x$:

$\frac{\sin 3x + \sin x}{\cos 3x + \cos x} = \frac{2\sin 2x\cos x}{2\cos 2x\cos x}.$

Krok 2. Dziedzina. Mianownik $2\cos 2x\cos x$ musi być różny od zera, więc $\cos 2x \neq 0$ i $\cos x \neq 0$.

Krok 3. Skracamy przez $2\cos x$:

$\frac{2\sin 2x\cos x}{2\cos 2x\cos x} = \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \operatorname{tg} 2x.$

Odpowiedź. Wyrażenie jest równe $\operatorname{tg} 2x$ dla $\cos x \neq 0$ i $\cos 2x \neq 0$.

Przykład 6. Uprość $\dfrac{\sin 5x - \sin 3x}{\cos 5x + \cos 3x}$.

$\frac{\sin 5x - \sin 3x}{\cos 5x + \cos 3x} = \frac{2\cos 4x\sin x}{2\cos 4x\cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \operatorname{tg} x \qquad (\cos 4x \neq 0,\ \cos x \neq 0).$

Dowody w trójkącie

W trójkącie o kątach $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ zachodzi $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, więc połowa sumy dwóch kątów wiąże się z trzecim:

$\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}, \qquad \text{czyli} \qquad \sin\frac{\alpha + \beta}{2} = \cos\frac{\gamma}{2}, \quad \cos\frac{\alpha + \beta}{2} = \sin\frac{\gamma}{2}.$

To właśnie połowa sumy pojawia się we wzorach na sumę funkcji - dlatego tak dobrze pasują do zadań o trójkątach.

Przykład 7. Uzasadnij, że w każdym trójkącie $\cos\alpha + \cos\beta > 0$.

Krok 1. Zamieniamy sumę na iloczyn:

$\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}.$

Krok 2. Znak pierwszego czynnika. Ponieważ $\alpha + \beta < \pi$, mamy $0 < \frac{\alpha + \beta}{2} < \frac{\pi}{2}$, więc $\cos\frac{\alpha + \beta}{2} > 0$.

Krok 3. Znak drugiego czynnika. Kąty $\alpha$ i $\beta$ leżą w przedziale $(0;\ \pi)$, więc $|\alpha - \beta| < \pi$, czyli $\left|\frac{\alpha - \beta}{2}\right| < \frac{\pi}{2}$ i również $\cos\frac{\alpha - \beta}{2} > 0$.

Wniosek. Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest dodatni. W języku geometrii: trójkąt może mieć najwyżej jeden kąt rozwarty - suma cosinusów dwóch kątów nie może być ujemna.

Przykład 8. Udowodnij, że w trójkącie $\sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma = 4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}$.

Krok 1. Dwa pierwsze składniki. Ze wzoru na sumę sinusów i zależności dla połowy sumy:

$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2} = 2\cos\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}.$

Krok 2. Trzeci składnik. Ze wzoru na sinus podwojonego kąta:

$\sin\gamma = 2\sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\gamma}{2} = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}.$

Krok 3. Wyłączamy $2\cos\frac{\gamma}{2}$ i jeszcze raz stosujemy wzór na sumę cosinusów:

$L = 2\cos\frac{\gamma}{2}\left[\cos\frac{\alpha - \beta}{2} + \cos\frac{\alpha + \beta}{2}\right] = 2\cos\frac{\gamma}{2} \cdot 2\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2} = P.$

W nawiasie połowa sumy kątów $\frac{\alpha - \beta}{2}$ i $\frac{\alpha + \beta}{2}$ to $\frac{\alpha}{2}$, a połowa ich różnicy to $-\frac{\beta}{2}$ - cosinus „połyka” minus.

Do czego to służy - równania i fale

Równania. Suma sinusów różnych kątów jest trudna do rozwiązania wprost, ale po zamianie na iloczyn rozpada się na dwa równania elementarne:

$\sin 3x + \sin x = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 2\sin 2x\cos x = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \sin 2x = 0 \ \text{lub} \ \cos x = 0.$

Pełne rozwiązanie takich równań jest w lekcji jak rozwiązać równanie trygonometryczne. Na wykresie widać, skąd się biorą miejsca zerowe: funkcja $y = \sin x + \sin 3x$ zeruje się tam, gdzie $\sin 2x = 0$ albo $\cos x = 0$.

Dudnienie. Dwa dźwięki o bliskich częstotliwościach, np. 440 Hz i 444 Hz, dają razem $\sin(2\pi \cdot 440\,t) + \sin(2\pi \cdot 444\,t) = 2\sin(2\pi \cdot 442\,t)\cos(2\pi \cdot 2\,t)$. Słyszymy ton 442 Hz, którego głośność (czynnik z cosinusem) rośnie i maleje 4 razy na sekundę - tak stroi się gitarę „na ucho”: gdy dudnienie znika, struny brzmią tak samo.

Najczęstsze pytania

Jaki jest wzór na sumę sinusów?$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$: dwa razy sinus połowy sumy kątów razy cosinus połowy różnicy. Na przykład $\sin 75^\circ + \sin 15^\circ = 2\sin 45^\circ\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Jaki jest wzór na różnicę cosinusów?$\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}$. To jedyny z czterech wzorów z minusem przed dwójką - najczęstszy błąd to jego pominięcie.

Czy sin α + sin β = sin(α + β)? Nie. Na przykład $\sin 30^\circ + \sin 60^\circ = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \approx 1{,}37$, a $\sin 90^\circ = 1$. Sinus nie jest funkcją liniową - sumę sinusów zamienia się na iloczyn, a nie na sinus sumy.

Jak zamienić iloczyn sinusa i cosinusa na sumę? Wzorem $\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\left[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)\right]$. Na przykład $\sin 3x\cos x = \frac{1}{2}(\sin 4x + \sin 2x)$.

Po co zamieniać sumę funkcji trygonometrycznych na iloczyn? Głównie do rozwiązywania równań: iloczyn jest równy zeru, gdy zeruje się któryś czynnik, więc równanie $\sin 3x + \sin x = 0$ rozpada się na $\sin 2x = 0$ lub $\cos x = 0$. Pomaga też upraszczać ilorazy i dowodzić tożsamości w trójkącie.

Skąd się biorą wzory na sumę sinusów i cosinusów? Z wzorów na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów: dodając $\sin(u + v)$ i $\sin(u - v)$ dostajemy $2\sin u\cos v$, a podstawienie $u = \frac{\alpha + \beta}{2}$, $v = \frac{\alpha - \beta}{2}$ daje gotowy wzór.

Przećwicz

• Sumy na iloczyny - zadania → - obliczanie wartości bez tablic, zapis sumy w postaci iloczynu, upraszczanie ilorazów, zbiór wartości funkcji $f(x) = \sin x + \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$ i dowody w trójkącie.
• Na początek: cos 75° + cos 15° i sin 105° − sin 15°, trudniej: iloczyn sin 20° · sin 40° · sin 80°.
• Dalej: jak rozwiązać równanie trygonometryczne - sumy na iloczyny w akcji, razem z podstawieniem i rozkładem na czynniki.

Podsumowanie

• Sumę i różnicę dwóch sinusów lub dwóch cosinusów zamieniamy na iloczyn funkcji połowy sumy i połowy różnicy kątów, z dwójką przed iloczynem.
• Jedyny minus stoi we wzorze $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}$.
• Wzory odwrotne zamieniają iloczyn na sumę: $\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\left[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)\right]$ itd.
• Wszystkie wynikają z wzorów na $\sin(u \pm v)$ i $\cos(u \pm v)$ przez podstawienie $\alpha = u + v$, $\beta = u - v$.
• Służą do obliczania wartości bez tablic, upraszczania ilorazów, dowodów w trójkącie (gdzie $\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}$) i - przede wszystkim - do rozwiązywania równań trygonometrycznych.