Oblicz iloczyn sin 20° · sin 40° · sin 80°

Żaden z trzech sinusów nie ma „ładnej” wartości, ale wzory zamieniające iloczyn na sumę produkują kąty $60^\circ$ i $100^\circ$, z którymi już sobie poradzimy.

Krok 1. Pierwszy iloczyn na sumę. Ze wzoru $\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}\left[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)\right]$:

$\sin 20^\circ\sin 40^\circ = \frac{1}{2}\left[\cos(-20^\circ) - \cos 60^\circ\right] = \frac{1}{2}\cos 20^\circ - \frac{1}{4}.$

Krok 2. Mnożymy przez $\sin 80^\circ$:

$\sin 20^\circ\sin 40^\circ\sin 80^\circ = \frac{1}{2}\cos 20^\circ\sin 80^\circ - \frac{1}{4}\sin 80^\circ.$

Krok 3. Drugi iloczyn na sumę. Ze wzoru $\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\left[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)\right]$ dla $\alpha = 80^\circ$, $\beta = 20^\circ$:

$\sin 80^\circ\cos 20^\circ = \frac{1}{2}\left[\sin 100^\circ + \sin 60^\circ\right] = \frac{1}{2}\sin 80^\circ + \frac{\sqrt{3}}{4},$

bo ze wzoru redukcyjnego$\sin 100^\circ = \sin(180^\circ - 80^\circ) = \sin 80^\circ$.

Krok 4. Składamy:

$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\sin 80^\circ + \frac{\sqrt{3}}{4}\right) - \frac{1}{4}\sin 80^\circ = \frac{1}{4}\sin 80^\circ + \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{1}{4}\sin 80^\circ = \frac{\sqrt{3}}{8}.$

Składniki z $\sin 80^\circ$ znoszą się - i właśnie dlatego wynik jest dokładny.

Krok 5. Kontrola przybliżona. $0{,}342 \cdot 0{,}643 \cdot 0{,}985 \approx 0{,}2165$, a $\frac{\sqrt{3}}{8} \approx 0{,}2165$.

Odpowiedź. $\sin 20^\circ \cdot \sin 40^\circ \cdot \sin 80^\circ = \frac{\sqrt{3}}{8}$.