Wykaż, że sin 10° + sin 50° = sin 70°, i oblicz cos 15° · cos 75°

Krok 1. a) Dwa pierwsze składniki. Połowa sumy kątów $10^\circ$ i $50^\circ$ to $30^\circ$, połowa różnicy - $20^\circ$ (cosinus jest parzysty, więc kolejność nie ma znaczenia):

$\sin 10^\circ + \sin 50^\circ = 2\sin 30^\circ\cos 20^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 20^\circ = \cos 20^\circ.$

Krok 2. a) Porównanie z $\sin 70^\circ$. Kąty $20^\circ$ i $70^\circ$ dopełniają się do $90^\circ$, więc $\cos 20^\circ = \sin 70^\circ$. Zatem

$\sin 10^\circ + \sin 50^\circ - \sin 70^\circ = \cos 20^\circ - \sin 70^\circ = 0.$

Krok 3. b) Iloczyn na sumę. Ze wzoru $\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\left[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)\right]$:

$\cos 15^\circ \cdot \cos 75^\circ = \frac{1}{2}\left[\cos 90^\circ + \cos(-60^\circ)\right] = \frac{1}{2}\left(0 + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}.$

Krok 4. Inny sposób b). Ponieważ $\cos 75^\circ = \sin 15^\circ$, iloczyn to $\sin 15^\circ\cos 15^\circ = \frac{1}{2}\sin 30^\circ = \frac{1}{4}$ - ze wzoru na sinus podwojonego kąta.

Odpowiedź. a) Równość jest prawdziwa, bo $\sin 10^\circ + \sin 50^\circ = \cos 20^\circ = \sin 70^\circ$; b) $\cos 15^\circ \cdot \cos 75^\circ = \frac{1}{4}$.