Uprość (sin 7x − sin 3x)/(cos 7x + cos 3x) i udowodnij wzór na tangens połowy sumy

Krok 1. a) Licznik i mianownik na iloczyny. Połowa sumy kątów $7x$ i $3x$ to $5x$, połowa różnicy - $2x$:

$\sin 7x - \sin 3x = 2\cos 5x\sin 2x, \qquad \cos 7x + \cos 3x = 2\cos 5x\cos 2x.$

Krok 2. a) Dziedzina. Mianownik $2\cos 5x\cos 2x \neq 0$, czyli $\cos 5x \neq 0$ i $\cos 2x \neq 0$:

$x \neq \frac{\pi}{10} + \frac{k\pi}{5} \quad \text{oraz} \quad x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, \qquad k \in \mathbb{Z}.$

Krok 3. a) Skracanie przez $2\cos 5x$:

$\frac{2\cos 5x\sin 2x}{2\cos 5x\cos 2x} = \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \operatorname{tg} 2x.$

Krok 4. b) Dowód. Przekształcamy lewą stronę - licznik i mianownik mają te same połowy sumy i różnicy:

$L = \frac{2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}}{2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}} = \frac{\sin\frac{\alpha + \beta}{2}}{\cos\frac{\alpha + \beta}{2}} = \operatorname{tg}\frac{\alpha + \beta}{2} = P.$

Skracanie jest poprawne, bo z założenia mianownik $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$ jest różny od zera, więc oba jego czynniki są niezerowe.

Odpowiedź. a) Wyrażenie jest równe $\operatorname{tg} 2x$ dla $\cos 5x \neq 0$ i $\cos 2x \neq 0$; b) tożsamość zachodzi - lewa strona po zamianie sum na iloczyny skraca się do $\operatorname{tg}\frac{\alpha + \beta}{2}$.

Uwaga: w a) sama odpowiedź „$\operatorname{tg} 2x$” to za mało. Funkcja $\operatorname{tg} 2x$ istnieje np. dla $x = \frac{\pi}{10}$, a wyjściowe wyrażenie - nie, bo wtedy $\cos 5x = 0$ i mianownik się zeruje.