Zapisz w postaci iloczynu: sin 5x + sin 3x, cos 7x − cos 3x, cos x + cos 5x

Krok 1. a) Suma sinusów. Połowa sumy kątów: $\frac{5x + 3x}{2} = 4x$, połowa różnicy: $\frac{5x - 3x}{2} = x$.

$\sin 5x + \sin 3x = 2\sin 4x\cos x.$

Krok 2. b) Różnica cosinusów. Połowa sumy: $\frac{7x + 3x}{2} = 5x$, połowa różnicy: $\frac{7x - 3x}{2} = 2x$. We wzorze na różnicę cosinusów stoi minus:

$\cos 7x - \cos 3x = -2\sin 5x\sin 2x.$

Krok 3. c) Suma cosinusów. Połowa sumy: $\frac{x + 5x}{2} = 3x$, połowa różnicy: $\frac{x - 5x}{2} = -2x$. Cosinus jest funkcją parzystą, więc $\cos(-2x) = \cos 2x$:

$\cos x + \cos 5x = 2\cos 3x\cos(-2x) = 2\cos 3x\cos 2x.$

Krok 4. Sprawdzenie dla $x = \frac{\pi}{6}$ (w części a): lewa strona $\sin\frac{5\pi}{6} + \sin\frac{\pi}{2} = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$, prawa $2\sin\frac{2\pi}{3}\cos\frac{\pi}{6} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$ - zgadza się.

Odpowiedź. a) $2\sin 4x\cos x$; b) $-2\sin 5x\sin 2x$; c) $2\cos 3x\cos 2x$.

Uwaga: w b) bez minusa wynik ma zły znak - dla $x = \frac{\pi}{6}$ lewa strona to $\cos\frac{7\pi}{6} - \cos\frac{\pi}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, a $2\sin\frac{5\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3} = +\frac{\sqrt{3}}{2}$.