Główna › Zadania › Wzory i równania trygonometryczne › Sumy na iloczyny › Udowodnij, że w trójkącie cos α + cos β + cos γ = 1 + 4 sin(α/2) sin(β/2) sin(γ/2) Udowodnij, że w trójkącie cos α + cos β + cos γ = 1 + 4 sin(α/2) sin(β/2) sin(γ/2) Szkoła średnia trudne
Kąty α \alpha α β \beta β γ \gamma γ
cos α + cos β + cos γ = 1 + 4 sin α 2 sin β 2 sin γ 2 , \cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma = 1 + 4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}, cos α + cos β + cos γ = 1 + 4 sin 2 α sin 2 β sin 2 γ ,
i wywnioskuj stąd, że cos α + cos β + cos γ > 1 \cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma > 1 cos α + cos β + cos γ > 1
Rozwiązanie Pokaż rozwiązanie krok po kroku Ukryj rozwiązanie Krok 1. Związek kątów. Z α + β + γ = π \alpha + \beta + \gamma = \pi α + β + γ = π α + β 2 = π 2 − γ 2 \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2} 2 α + β = 2 π − 2 γ
cos α + β 2 = sin γ 2 . \cos\frac{\alpha + \beta}{2} = \sin\frac{\gamma}{2}. cos 2 α + β = sin 2 γ .
Krok 2. Suma dwóch pierwszych cosinusów:
cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α − β 2 = 2 sin γ 2 cos α − β 2 . \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2} = 2\sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}. cos α + cos β = 2 cos 2 α + β cos 2 α − β = 2 sin 2 γ cos 2 α − β .
Krok 3. Trzeci cosinus. Ze wzoru cos 2 t = 1 − 2 sin 2 t \cos 2t = 1 - 2\sin^2 t cos 2 t = 1 − 2 sin 2 t t = γ 2 t = \frac{\gamma}{2} t = 2 γ sin γ 2 \sin\frac{\gamma}{2} sin 2 γ cos α + β 2 \cos\frac{\alpha + \beta}{2} cos 2 α + β
cos γ = 1 − 2 sin 2 γ 2 = 1 − 2 sin γ 2 cos α + β 2 . \cos\gamma = 1 - 2\sin^2\frac{\gamma}{2} = 1 - 2\sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\alpha + \beta}{2}. cos γ = 1 − 2 sin 2 2 γ = 1 − 2 sin 2 γ cos 2 α + β .
Krok 4. Dodajemy i wyłączamy 2 sin γ 2 2\sin\frac{\gamma}{2} 2 sin 2 γ
L = 1 + 2 sin γ 2 [ cos α − β 2 − cos α + β 2 ] . L = 1 + 2\sin\frac{\gamma}{2}\left[\cos\frac{\alpha - \beta}{2} - \cos\frac{\alpha + \beta}{2}\right]. L = 1 + 2 sin 2 γ [ cos 2 α − β − cos 2 α + β ] .
Krok 5. Różnica cosinusów w nawiasie. Połowa sumy kątów α − β 2 \frac{\alpha - \beta}{2} 2 α − β α + β 2 \frac{\alpha + \beta}{2} 2 α + β α 2 \frac{\alpha}{2} 2 α − β 2 -\frac{\beta}{2} − 2 β
cos α − β 2 − cos α + β 2 = − 2 sin α 2 sin ( − β 2 ) = 2 sin α 2 sin β 2 . \cos\frac{\alpha - \beta}{2} - \cos\frac{\alpha + \beta}{2} = -2\sin\frac{\alpha}{2}\sin\left(-\frac{\beta}{2}\right) = 2\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}. cos 2 α − β − cos 2 α + β = − 2 sin 2 α sin ( − 2 β ) = 2 sin 2 α sin 2 β .
Minus ze wzoru znosi się z minusem z nieparzystości sinusa.
Krok 6. Wynik. Podstawiamy do kroku 4:
L = 1 + 2 sin γ 2 ⋅ 2 sin α 2 sin β 2 = 1 + 4 sin α 2 sin β 2 sin γ 2 = P . L = 1 + 2\sin\frac{\gamma}{2} \cdot 2\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2} = 1 + 4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2} = P. L = 1 + 2 sin 2 γ ⋅ 2 sin 2 α sin 2 β = 1 + 4 sin 2 α sin 2 β sin 2 γ = P .
Krok 7. Wniosek. Każdy kąt trójkąta leży w ( 0 ; π ) (0;\ \pi) ( 0 ; π ) ( 0 ; π 2 ) \left(0;\ \frac{\pi}{2}\right) ( 0 ; 2 π ) cos α + cos β + cos γ > 1 \cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma > 1 cos α + cos β + cos γ > 1
Sprawdzenie na trójkącie równobocznym: 3 cos 60 ∘ = 3 2 3\cos 60^\circ = \frac{3}{2} 3 cos 6 0 ∘ = 2 3 1 + 4 sin 3 30 ∘ = 1 + 4 ⋅ 1 8 = 3 2 1 + 4\sin^3 30^\circ = 1 + 4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{2} 1 + 4 sin 3 3 0 ∘ = 1 + 4 ⋅ 8 1 = 2 3
Odpowiedź. Tożsamość zachodzi dla każdego trójkąta, a ponieważ sin α 2 sin β 2 sin γ 2 > 0 \sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2} > 0 sin 2 α sin 2 β sin 2 γ > 0
Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →
Podobne zadania 